Kateti in hipotenuza sta strani pravokotnega trikotnika. Prvi so odseki, ki mejijo na pravi kot, hipotenuza pa je najdaljši del figure in je nasproti kota pri 90o. Pitagorejski trikotnik je tisti, katerega stranice so enake naravnim številom; njihove dolžine se v tem primeru imenujejo "pitagorejska trojka".
egipčanski trikotnik
Da bi se današnja generacija naučila geometrijo v obliki, kot jo poučujejo v šoli zdaj, se je razvijala že nekaj stoletij. Temeljna točka je Pitagorejev izrek. Stranice pravokotnega trikotnika (številka je znana po vsem svetu) so 3, 4, 5.
Le malo ljudi ne pozna fraze "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh." Vendar pa izrek dejansko zveni takole: c2 (kvadrat hipotenuze)=a2+b2(vsota krakov kvadratov).
Med matematiki se trikotnik s stranicami 3, 4, 5 (cm, m itd.) imenuje "egipčanski". Zanimivo je, da je polmer kroga, ki je vpisan v sliko, enak eni. Ime je nastalo okoli 5. stoletja pred našim štetjem, ko so grški filozofi potovali v Egipt.
Pri gradnji piramid so arhitekti in geodeti uporabili razmerje 3:4:5. Takšne strukture so se izkazale za sorazmerne, prijetne za oko in prostorne, poleg tega pa so se redko zrušile.
Da bi zgradili pravi kot, so graditelji uporabili vrv, na katero je bilo vezanih 12 vozlov. V tem primeru se je verjetnost sestave pravokotnega trikotnika povečala na 95%.
Znaki enakih številk
- Ostri kot v pravokotnem trikotniku in velika stranica, ki sta enaka enakim elementom v drugem trikotniku, je nesporen znak enakosti številk. Ob upoštevanju vsote kotov je enostavno dokazati, da sta tudi drugi ostri koti enaki. Tako so trikotniki v drugem elementu enaki.
- Ko sta dve figuri postavljeni drug na drugega, ju zavrtite tako, da skupaj postaneta en enakokraki trikotnik. Glede na svojo lastnost so stranice oziroma hipotenuze enake, prav tako koti pri bazi, kar pomeni, da so te številke enake.
S prvim znakom je zelo enostavno dokazati, da so trikotniki res enaki, glavno je, da sta dve manjši strani (tj. kraki) enaki.
Trikotniki bodo enaki v funkciji II, katere bistvo je enakost kraka in ostrega kota.
Lastnosti trikotnika s pravim kotom
Višina, znižana pod pravim kotom, razdeli lik na dva enaka dela.
Stranice pravokotnega trikotnika in njegovo mediano je enostavno prepoznati po pravilu: mediana, ki je spuščena na hipotenuzo, je enaka njeni polovici. Površino figure je mogoče najti tako s Heronovo formulo kot s trditvijo, da je enaka polovici produkta nog.
V pravokotnem trikotniku lastnosti kotov pri 30o, 45o in 60o.
- S kotom, ki je 30o, ne pozabite, da bo nasprotni krak enak 1/2 največje stranice.
- Če je kot 45o, je tudi drugi ostri kot 45o. To pomeni, da je trikotnik enakokraki in da so njegovi kraki enaki.
- Lastnost kota 60o je, da ima tretji kot stopinjsko mero 30o.
Območje je enostavno ugotoviti z eno od treh formul:
- skozi višino in stran, na kateri pade;
- po Heronovi formuli;
- na straneh in kotu med njimi.
Strenice pravokotnega trikotnika oziroma kraki se zbližajo z dvema višinama. Da bi našli tretjega, je treba upoštevati nastali trikotnik in nato s pomočjo Pitagorejskega izreka izračunati zahtevano dolžino. Poleg te formule obstaja tudi razmerje med dvakratno površino in dolžino hipotenuze. Najpogostejši izraz med študenti je prvi, saj zahteva manj izračunov.
Toremi, uporabljeni za pravokotniktrikotnik
Geometrija pravokotnega trikotnika vključuje uporabo izrekov, kot so:
- Pitagorov izrek. Njegovo bistvo je v tem, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog. V evklidski geometriji je ta relacija ključna. Formulo lahko uporabite, če je podan trikotnik, na primer SNH. SN je hipotenuza in jo je treba najti. Nato SN2=NH2+HS2.
- Kosinusni izrek. Posplošuje Pitagorov izrek: g2=f2+s2-2fscos kota med njima. Na primer, podan trikotnik DOB. Noga DB in hipotenuza DO sta znani, poiskati je treba OB. Nato ima formula naslednjo obliko: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos kot D. Posledice so tri: kot trikotnika bo oster, če kvadrat dolžine tretjine odštejemo od vsote kvadratov obeh stranic, mora biti rezultat manjši od nič. Kot je tup, če je ta izraz večji od nič. Kot je pravi kot, če je enak nič.
- Sinusni izrek. Prikazuje razmerje med stranicami in nasprotnimi koti. Z drugimi besedami, to je razmerje dolžin stranic in sinusov nasprotnih kotov. V trikotniku HFB, kjer je hipotenuza HF, bo res: HF/sin kota B=FB/sin kota H=HB/sin kota F.
