Trikotnik je ena najpogostejših geometrijskih oblik, ki jo poznamo že v osnovni šoli. Vsak učenec se pri pouku geometrije sooča z vprašanjem, kako najti površino trikotnika. Kakšne so torej značilnosti iskanja območja dane figure? V tem članku bomo obravnavali osnovne formule, potrebne za izvedbo takšne naloge, in analizirali vrste trikotnikov.
Vrste trikotnikov
Površino trikotnika lahko najdete na popolnoma različne načine, saj v geometriji obstaja več kot ena vrsta figure, ki vsebuje tri kote. Te vrste vključujejo:
- Ostri trikotnik.
- pod kotom.
- Ekvilateralno (pravilno).
- Pravokotni trikotnik.
- enakokraki.
Pobližje si oglejmo vsako od obstoječih vrst trikotnikov.
Akutnotrikotnik
Takšen geometrijski lik velja za najpogostejšega pri reševanju geometrijskih problemov. Ko je treba narisati poljuben trikotnik, priskoči na pomoč ta možnost.
V ostrem trikotniku, kot pove že ime, so vsi koti ostri in seštevajo do 180°.
Obt-kotni trikotnik
Ta trikotnik je tudi zelo pogost, vendar je nekoliko manj pogost kot ostrokotni. Na primer, pri reševanju trikotnikov (to pomeni, da poznate več njegovih stranic in kotov in morate najti preostale elemente) včasih morate ugotoviti, ali je kot tup ali ne. Kosinus tupega kota je negativno število.
V tupokotnem trikotniku vrednost enega od kotov presega 90°, tako da lahko preostala dva kota zavzameta majhne vrednosti (na primer 15° ali celo 3°).
Če želite najti površino trikotnika te vrste, morate poznati nekaj odtenkov, o katerih bomo govorili kasneje.
pravilni in enakokraki trikotniki
Pravilen mnogokotnik je figura, ki vključuje n kotov in so vse stranice in koti enaki. To je pravi trikotnik. Ker je vsota vseh kotov trikotnika 180°, je vsak od treh kotov 60°.
Pravilen trikotnik zaradi svoje lastnosti imenujemo tudi enakostranični lik.
Omeniti velja tudi, da vpravilen trikotnik je lahko vpisan samo z enim krogom in okoli njega je lahko opisan samo en krog, njihova središča pa se nahajajo na eni točki.
Poleg enakostraničnega tipa lahko izberemo tudi enakokraki trikotnik, ki se od njega nekoliko razlikuje. V takem trikotniku sta dve strani in dva kota enaki drug drugemu, tretja stranica (ki ji mejijo enaka kota) pa je osnova.
Slika prikazuje enakokraki trikotnik DEF, katerega kota D in F sta enaka, DF pa je osnova.
Pravokotni trikotnik
Pravokotni trikotnik je poimenovan tako, ker je eden od njegovih kotov pravi kot, torej enak 90°. Preostala dva kota seštejeta do 90°.
Največja stranica takšnega trikotnika, ki leži nasproti kotu 90°, je hipotenuza, drugi dve strani pa sta kraki. Za to vrsto trikotnikov velja Pitagorov izrek:
Vsota kvadratov dolžin katet je enaka kvadratu dolžine hipotenuze.
Slika prikazuje pravokoten trikotnik BAC s hipotenuzo AC in krakoma AB in BC.
Če želite najti površino trikotnika s pravim kotom, morate poznati številčne vrednosti njegovih krakov.
Pojdimo na formule za iskanje površine te figure.
Osnovne formule površine
V geometriji obstajata dve formuli, ki sta primerni za iskanje površine večine vrst trikotnikov, in sicer za ostrokotne, topokotne, pravilne inenakokraki trikotniki. Analizirajmo vsakega od njih.
Ob strani in višini
Ta formula je univerzalna za iskanje površine figure, ki jo razmišljamo. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate dolžino stranice in dolžino narisane višine. Sama formula (polovica produkta osnove in višine) izgleda takole:
S=½AH, kjer je A stranica danega trikotnika in H višina trikotnika.
Na primer, če želite najti površino ostrokotnega trikotnika ACB, morate njegovo stran AB pomnožiti z višino CD in dobljeno vrednost deliti z dva.
Vendar na ta način ni vedno lahko najti površine trikotnika. Če želite na primer uporabiti to formulo za topokotni trikotnik, morate nadaljevati eno od njegovih stranic in šele nato ji narisati višino.
V praksi se ta formula uporablja pogosteje kot druge.
Na dveh straneh in kotu
Ta formula je, tako kot prejšnja, primerna za večino trikotnikov in je po svojem pomenu posledica formule za iskanje površine ob strani in višini trikotnika. To pomeni, da je obravnavano formulo mogoče zlahka izpeljati iz prejšnje. Njeno besedilo izgleda takole:
S=½sinOAB, kjer sta A in B strani trikotnika, O pa je kot med stranicama A in B.
Spomni, da si lahko sinus kota ogledamo v posebni tabeli, poimenovani po izjemnem sovjetskem matematiku V. M. Bradisu.
In zdaj pojdimo na druge formule,primeren samo za izjemne vrste trikotnikov.
Površina pravokotnega trikotnika
Poleg univerzalne formule, ki vključuje potrebo po risanju višine v trikotniku, lahko površino trikotnika, ki vsebuje pravi kot, najdemo po njegovih krakih.
Tako je površina trikotnika, ki vsebuje pravi kot, polovica produkta njegovih krakov ali:
S=½ab, kjer sta a in b kraka pravokotnega trikotnika.
pravilni trikotnik
Ta vrsta geometrijskih figur se razlikuje po tem, da je njeno območje mogoče najti z določeno vrednostjo samo ene od njenih strani (ker so vse stranice pravilnega trikotnika enake). Torej, ko ste se srečali z nalogo "najdi površino trikotnika, ko so stranice enake", morate uporabiti naslednjo formulo:
S=A2√3 / 4, kjer je A stranica enakostraničnega trikotnika.
Heron's Formula
Zadnja možnost za iskanje površine trikotnika je Heronova formula. Če ga želite uporabiti, morate poznati dolžine treh strani figure. Heronova formula izgleda takole:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), kjer so a, b in c stranice tega trikotnika.
Včasih je dana naloga: "površina pravilnega trikotnika - poiščite dolžino njegove stranice." V tem primeru morate uporabiti že znano formulo za iskanje površine pravilnega trikotnika in iz nje izpeljati vrednost stranice (ali kvadrata):
A2=4S / √3.
Izpitne težave
Pri opravilih GIAV matematiki je veliko formul. Poleg tega je pogosto treba najti površino trikotnika na karirastem papirju.
V tem primeru je najbolj priročno narisati višino na eno od stranic figure, določiti njeno dolžino po celicah in uporabiti univerzalno formulo za iskanje površine:
S=½AH.
Torej, po preučevanju formul, predstavljenih v članku, ne boste imeli težav pri iskanju površine kakršnega koli trikotnika.
