V matematiki in procesiranju je koncept analitičnega signala (na kratko - C, AC) kompleksna funkcija, ki nima negativnih frekvenčnih komponent. Resnični in namišljeni deli tega pojava so resnične funkcije, ki so med seboj povezane s Hilbertovo transformacijo. Analitični signal je precej pogost pojav v kemiji, katerega bistvo je podobno matematični definiciji tega pojma.
nastopi
Analitična predstavitev realne funkcije je analitični signal, ki vsebuje izvirno funkcijo in njeno Hilbertovo transformacijo. Ta predstavitev olajša številne matematične manipulacije. Glavna ideja je, da so negativne frekvenčne komponente Fourierjeve transformacije (ali spektra) realne funkcije odveč zaradi hermitske simetrije takega spektra. Te negativne frekvenčne komponente lahko zavržete brezizguba informacij, če se želite namesto tega ukvarjati s kompleksno funkcijo. To naredi nekatere atribute lastnosti bolj dostopne in olajša pridobivanje modulacijskih in demodulacijskih tehnik, kot je SSB.
Negativne komponente
Dokler funkcija, s katero se manipulira, nima negativnih frekvenčnih komponent (tj. je še vedno analitična), je pretvorba iz kompleksnega nazaj v realno preprosto stvar zavrženja imaginarnega dela. Analitična predstavitev je posplošitev koncepta vektorja: medtem ko je vektor omejen na časovno nespremenljivo amplitudo, fazo in frekvenco, kvalitativna analiza analitičnega signala omogoča časovno spremenljive parametre.
Trenutna amplituda, trenutna faza in frekvenca se v nekaterih aplikacijah uporabljajo za merjenje in odkrivanje lokalnih značilnosti C. Druga uporaba analitične predstavitve se nanaša na demodulacijo moduliranih signalov. Polarne koordinate priročno ločujejo učinke AM in fazne (ali frekvenčne) modulacije ter učinkovito demodulirajo določene vrste.
Potem lahko preprost nizkoprepustni filter z realnimi koeficienti odreže del, ki nas zanima. Drug motiv je znižanje največje frekvence, ki znižuje minimalno frekvenco za vzorčenje brez vzdevka. Frekvenčni premik ne spodkopava matematične uporabnosti predstavitve. Tako je v tem smislu pretvorba navzdol še vedno analitična. Vendar ponovna vzpostavitev resnične reprezentacijeni več preprosto izvleči prave komponente. Morda bo potrebna pretvorba navzgor, in če je signal vzorčen (diskretni čas), bo morda potrebna tudi interpolacija (navzgor vzorčenje), da se izognete vzdevku.
Spremenljivke
Koncept je dobro opredeljen za posamezne spremenljive pojave, ki so običajno začasni. Ta časovnost zmede številne začetnike matematike. Za dve ali več spremenljivk je mogoče analitični C definirati na različne načine, spodaj pa sta predstavljena dva pristopa.
Resnični in namišljeni deli tega pojava ustrezata dvema elementoma monogenega signala z vektorsko vrednostjo, kot je definirano za podobne pojave z eno spremenljivko. Vendar pa je monogeno mogoče na preprost način razširiti na poljubno število spremenljivk in ustvariti (n + 1)-dimenzionalno vektorsko funkcijo za primer signalov n spremenljivk.
pretvorba signala
Resnični signal lahko pretvorite v analitičnega tako, da dodate namišljeno (Q) komponento, ki je Hilbertova transformacija realne komponente.
Mimogrede, to ni novo pri digitalni obdelavi. Eden od tradicionalnih načinov za generiranje AM z enim stranskim pasom (SSB), fazna metoda, vključuje ustvarjanje signalov z generiranjem Hilbertove transformacije zvočnega signala v analognem omrežju upor-kondenzator. Ker ima samo pozitivne frekvence, ga je enostavno pretvoriti v modulirani RF signal samo z enim stranskim pasom.
Definicijska formule
Analitični signalni izraz je holomorfna kompleksna funkcija, definirana na meji zgornje kompleksne polravnine. Meja zgornje polravnine sovpada z naključno, zato je C podana s preslikavo fa: R → C. Od sredine prejšnjega stoletja, ko je Denis Gabor leta 1946 predlagal uporabo tega pojava za preučevanje konstantne amplitude in faze, je signal našel številne aplikacije. Posebnost tega pojava je bila poudarjena [Vak96], kjer se je pokazalo, da fizikalnim pogojem za amplitudo, fazo in frekvenco ustreza le kvalitativna analiza analitičnega signala..
Zadnji dosežki
V zadnjih nekaj desetletjih se je pojavilo zanimanje za preučevanje signala v številnih dimenzijah, motivirano s problemi, ki se pojavljajo na področjih, od obdelave slik/videa do večdimenzionalnih oscilatornih procesov v fiziki, kot so seizmični, elektromagnetni in gravitacijskih valov. Na splošno velja, da se je treba za pravilno posplošitev analitičnega C (kvalitativne analize) na primer več dimenzij zanašati na algebraično konstrukcijo, ki razširja navadna kompleksna števila na priročen način. Takšne konstrukcije se običajno imenujejo hiperkompleksna števila [SKE].
Nazadnje bi moralo biti mogoče zgraditi hiperkompleksni analitični signal fh: Rd → S, kjer je predstavljen nek splošni hiperkompleksni algebraični sistem, ki naravno razširi vse zahtevane lastnosti, da dobimo trenutno amplitudo infaza.
Študij
Številni prispevki so posvečeni različnim vprašanjem, ki se nanašajo na pravilno izbiro hiperkompleksnega številskega sistema, definicijo hiperkompleksne Fourierjeve transformacije in frakcijske Hilbertove transformacije za preučevanje trenutne amplitude in faze. Večina tega dela je temeljila na lastnostih različnih prostorov, kot so Cd, kvaternioni, Clearonove algebre in Cayley-Dixonove konstrukcije.
Naprej bomo našteli le nekatera dela, ki so posvečena preučevanju signala v mnogih dimenzijah. Kolikor vemo, so bila prva dela o multivariatni metodi pridobljena v zgodnjih devetdesetih letih prejšnjega stoletja. Ti vključujejo Ellovo delo [Ell92] o hiperkompleksnih transformacijah; Bulowovo delo o posploševanju metode analitične reakcije (analitični signal) na številne meritve [BS01] in delo Felsberga in Sommerja o monogenih signalih.
Nadaljnje možnosti
Pričakujemo, da bo hiperkompleksni signal razširil vse uporabne lastnosti, ki jih imamo v primeru 1D. Najprej moramo biti sposobni izluščiti in posplošiti trenutno amplitudo in fazo na meritve. Drugič, Fourierjev spekter kompleksnega analitičnega signala se vzdržuje samo pri pozitivnih frekvencah, zato pričakujemo, da bo hiperkompleksna Fourierjeva transformacija imela svoj hipervaluirani spekter, ki se bo vzdrževal le v nekem pozitivnem kvadrantu hiperkompleksnega prostora. Ker je zelo pomembno.
Tretjič, konjugirajte dele kompleksnega konceptaanalitičnega signala so povezane s Hilbertovo transformacijo in lahko pričakujemo, da morajo biti konjugirane komponente v hiperkompleksnem prostoru povezane tudi z neko kombinacijo Hilbertovih transformacij. In končno, hiperkompleksni signal je treba definirati kot razširitev neke hiperkompleksne holomorfne funkcije več hiperkompleksnih spremenljivk, definiranih na meji neke oblike v hiperkompleksnem prostoru.
Te težave obravnavamo v zaporednem vrstnem redu. Najprej si ogledamo Fourierjevo integralno formulo in pokažemo, da je Hilbertova transformacija v 1-D povezana s spremenjeno formulo Fourierjevega integrala. To dejstvo nam omogoča, da definiramo trenutno amplitudo, fazo in frekvenco brez sklicevanja na hiperkompleksne številske sisteme in holomorfne funkcije.
Sprememba integralov
Nadaljujemo z razširitvijo spremenjene formule Fourierjevega integrala na več dimenzij in določimo vse potrebne fazno zamaknjene komponente, ki jih lahko zberemo v trenutno amplitudo in fazo. Drugič, preidemo na vprašanje obstoja holomorfnih funkcij več hiperkompleksnih spremenljivk. Po [Sch93] se izkaže, da je komutativna in asociativna hiperkompleksna algebra, ki jo generira niz eliptičnih (e2i=−1) generatorjev, primeren prostor za življenje hiperkompleksnega analitičnega signala, tako hiperkompleksno algebro imenujemo Schaefersov prostor in označimo toSd.
Zato je hiperkompleks analitičnih signalov definiran kot holomorfna funkcija na meji polidiska / zgornje polovice ravnine v nekem hiperkompleksnem prostoru, ki ga imenujemo splošni Schaefersov prostor in ga označujemo s Sd. Nato opazimo veljavnost Cauchyjeve integralne formule za funkcije Sd → Sd, ki so izračunane nad hiperpovršino znotraj polidiska v Sd in izpeljemo ustrezne delne Hilbertove transformacije, ki povezujejo hiperkompleksne konjugirane komponente. Končno se izkaže, da je Fourierjeva transformacija z vrednostmi v Schaefersovem prostoru podprta le pri nenegativnih frekvencah. Zahvaljujoč temu članku ste se naučili, kaj je analitični signal.
