Da bi razumeli, kaj so ekstremne točke funkcije, sploh ni treba vedeti o prisotnosti prvega in drugega izvoda ter razumeti njihov fizični pomen. Najprej morate razumeti naslednje:
- ekstremi funkcije povečajo ali, nasprotno, minimizirajo vrednost funkcije v poljubno majhni soseščini;
- Na točki ekstrema ne bi smelo biti prekinitve funkcije.
In zdaj isto, samo v preprostem jeziku. Poglejte konico kemičnega svinčnika. Če je pisalo postavljeno navpično, s pisalnim koncem navzgor, bo sredina kroglice skrajna točka - najvišja točka. V tem primeru govorimo o maksimumu. Zdaj, če obrnete pisalo s pisalnim koncem navzdol, bo na sredini kroglice že minimalna funkcija. S pomočjo tukaj podane slike si lahko predstavljate navedene manipulacije za pisalni svinčnik. Torej so ekstremi funkcije vedno kritične točke: njeni maksimumi ali minimumi. Sosednji del grafikona je lahko poljubno oster ali gladek, vendar mora obstajati na obeh straneh, le v tem primeru je točka ekstrem. Če je grafikon prisoten samo na eni strani, ta točka ne bo ekstrem, tudi če je na eni straniizpolnjeni so ekstremni pogoji. Zdaj pa preučimo ekstreme funkcije z znanstvenega vidika. Da bi se točka štela za ekstrem, je potrebno in zadostno, da:
- prva izpeljanka je bila enaka nič ali pa ni obstajala na točki;
- prva izpeljanka je na tej točki spremenila predznak.
Pogoj se z vidika izpeljank višjega reda razlaga nekoliko drugače: za funkcijo, ki je diferencialna v točki, zadostuje, da obstaja izpeljanka neparnega reda, ki ni enaka nič, medtem ko je vse izpeljanke nižjega reda morajo obstajati in biti enake nič. To je najpreprostejša razlaga izrekov iz učbenikov višje matematike. Toda za najbolj navadne ljudi je vredno razložiti to točko s primerom. Osnova je navadna parabola. Takoj naredite rezervacijo, na ničelni točki ima minimum. Samo malo matematike:
- prva izpeljanka (X2)|=2X, za ničelno točko 2X=0;
- druga izpeljanka (2X)|=2, za ničelno točko 2=2.
To je preprosta ilustracija pogojev, ki določajo ekstreme funkcije tako za izpeljanke prvega reda kot za izpeljanke višjega reda. K temu lahko dodamo, da je druga izpeljanka ravno enaka izpeljanka lihega reda, neenaka nič, o čemer smo govorili malo višje. Ko gre za ekstreme funkcije dveh spremenljivk, morajo biti izpolnjeni pogoji za oba argumenta. Kdajpride do posploševanja, nato se uporabijo delne izpeljanke. To pomeni, da je za prisotnost ekstrema v točki potrebno, da sta oba izpeljanka prvega reda enaka nič ali vsaj eden od njiju ne obstaja. Za zadostnost prisotnosti ekstremuma se raziskuje izraz, ki je razlika med zmnožkom odvodov drugega reda in kvadratom mešanega odvoda drugega reda funkcije. Če je ta izraz večji od nič, potem obstaja ekstrem, in če je nič, potem vprašanje ostaja odprto in potrebne so dodatne raziskave.
