Pomemben geometrijski predmet, ki se preučuje v ravnem prostoru, je ravna črta. V tridimenzionalnem prostoru je poleg ravne črte tudi ravnina. Oba predmeta sta priročno definirana z uporabo vektorjev smeri. Kaj je to, kako se ti vektorji uporabljajo za določanje enačb premice in ravnine? Ta in druga vprašanja so zajeta v članku.
Neposredna linija in kako jo definirati
Vsak študent ima dobro predstavo o tem, o katerem geometrijskem predmetu govori. Z vidika matematike je ravna črta množica točk, ki v primeru njihove poljubne parne povezave vodijo v niz vzporednih vektorjev. Ta definicija črte se uporablja za pisanje enačbe zanjo v dveh in treh dimenzijah.
Za opis obravnavanega enodimenzionalnega objekta se uporabljajo različne vrste enačb, ki so navedene na spodnjem seznamu:
- splošen pogled;
- parametrično;
- vektor;
- kanonično ali simetrično;
- v segmentih.
Vsaka od teh vrst ima nekaj prednosti pred drugimi. Na primer, enačba v segmentih je primerna za uporabo pri preučevanju obnašanja premice glede na koordinatne osi, splošna enačba je priročna pri iskanju smeri, pravokotne na dano ravno črto, pa tudi pri izračunu kota njene presečišče z osjo x (za ravno ohišje).
Ker je tema tega članka povezana z usmerjevalnim vektorjem ravne črte, bomo nadalje obravnavali samo enačbo, kjer je ta vektor temeljen in je eksplicitno vsebovan, to je vektorski izraz..
Določanje ravne črte skozi vektor
Predpostavimo, da imamo vektor v¯ z znanimi koordinatami (a; b; c). Ker obstajajo tri koordinate, je vektor podan v prostoru. Kako ga upodobiti v pravokotnem koordinatnem sistemu? To se naredi zelo preprosto: na vsaki od treh osi se izriše segment, katerega dolžina je enaka ustrezni koordinati vektorja. Točka presečišča treh pravokotnic, obnovljenih na ravnine xy, yz in xz, bo konec vektorja. Njegov začetek je točka (0; 0; 0).
Kljub temu dani položaj vektorja ni edini. Podobno lahko narišemo v¯ tako, da njegov izvor postavimo na poljubno točko v prostoru. Ti argumenti pravijo, da je nemogoče nastaviti določeno vrstico z uporabo vektorja. Določa družino neskončnega števila vzporednih vrstic.
Zdajdoloči neko točko P(x0; y0; z0) prostora. In postavili smo pogoj: ravna črta mora potekati skozi P. V tem primeru mora vektor v¯ vsebovati tudi to točko. Zadnje dejstvo pomeni, da lahko eno samo vrstico definiramo s pomočjo P in v¯. Zapisano bo kot naslednja enačba:
Q=P + λ × v¯
Tukaj je Q katera koli točka, ki pripada premici. To točko lahko dobimo z izbiro ustreznega parametra λ. Napisana enačba se imenuje vektorska enačba, v¯ pa vektor smeri premice. Če ga razporedimo tako, da gre skozi P in spremenimo njegovo dolžino s parametrom λ, dobimo vsako točko Q kot ravno črto.
V koordinatni obliki bo enačba zapisana na naslednji način:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
In v izrecni (parametrični) obliki lahko napišete:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Če izključimo tretjo koordinato v zgornjih izrazih, dobimo vektorske enačbe premice na ravnini.
Za katere naloge je koristno poznati vektor smeri ?
Praviloma gre za naloge za določanje vzporednosti in pravokotnosti premic. Prav tako se neposredni vektor, ki določa smer, uporablja pri izračunu razdalje med ravnimi črtami in točko ter premico za opis obnašanja ravne črte glede na ravnino.
Dvapremice bodo vzporedne, če so njuni vektorji smeri. V skladu s tem je pravokotnost premic dokazana z uporabo pravokotnosti njihovih vektorjev. Pri tovrstnih težavah je dovolj, da izračunamo skalarni produkt obravnavanih vektorjev, da dobimo odgovor.
V primeru nalog za izračun razdalj med črtami in točkami je vektor smeri eksplicitno vključen v ustrezno formulo. Zapišimo:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Tukaj P1P2¯ - zgrajeno na točkah P1 in P 2 usmerjeni segment. Točka P2 je poljubna, leži na premici z vektorjem v¯, medtem ko je točka P1 tista, do katere naj bi bila razdalja biti odločen. Lahko je neodvisen ali pripada drugi črti ali ravnini.
Upoštevajte, da je smiselno izračunati razdaljo med črtami samo, če sta vzporedni ali sekajo. Če se sekata, potem je d nič.
Zgornja formula za d velja tudi za izračun razdalje med ravnino in z njo vzporedno premo, le da bi v tem primeru moral P1 pripadati ravnini.
Rešimo več težav, da bolje pokažemo, kako uporabiti obravnavani vektor.
Problem z vektorsko enačbo
Znano je, da je ravna črta opisana z naslednjo enačbo:
y=3 × x - 4
Napišite ustrezen izrazvektorska oblika.
To je tipična enačba ravne črte, ki jo pozna vsak šolar in je zapisana v splošni obliki. Pokažimo, kako ga prepisati v vektorski obliki.
Izraz je mogoče predstaviti kot:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Vidi se, da če ga odprete, dobite izvirno enakost. Zdaj razdelimo njegovo desno stran na dva vektorja, tako da samo eden od njih vsebuje x, imamo:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Iz oklepajev je treba vzeti x, ga označiti z grškim simbolom in zamenjati vektorje desne strani:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Dobili smo vektorsko obliko izvirnega izraza. Vektorske koordinate premice so (1; 3).
Naloga določanja relativnega položaja vrstic
V presledku sta podani dve vrstici:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Ali so vzporedni, sekajo ali sekajo?
Vektorja, ki niso nič (-1; 3; 1) in (1; 2; 0) bodo vodila za te vrstice. Te enačbe izrazimo v parametrični obliki in koordinate prve nadomestimo z drugo. Dobimo:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Nadomestimo najdeni parameter λ v zgornji enačbi, dobimo:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Parameter γ ne more prevzeti dveh različnih vrednosti hkrati. To pomeni, da premici nimata ene skupne točke, torej sekata. Niso vzporedni, saj vektorji, ki niso nič, niso vzporedni drug z drugim (za njihovo vzporednost mora obstajati število, ki bi z množenjem z enim vektorjem vodilo do koordinat drugega).
Matematični opis letala
Za nastavitev ravnine v vesolju damo splošno enačbo:
A × x + B × y + C × z + D=0
Tukaj latinične velike črke predstavljajo določene številke. Prvi trije od njih določajo koordinate normalnega vektorja ravnine. Če je označena z n¯, potem:
n¯=(A; B; C)
Ta vektor je pravokoten na ravnino, zato se imenuje vodilo. Njegovo poznavanje, pa tudi znane koordinate katere koli točke, ki pripada ravnini, enolično določajo slednjo.
Če točka P(x1; y1; z1) pripada ravnino, potem se prestrezanje D izračuna na naslednji način:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Rešimo nekaj problemov z uporabo splošne enačbe za ravnino.
Naloga zaiskanje normalnega vektorja ravnine
Ravnina je definirana na naslednji način:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Kako najti vektor smeri zanjo?
Iz zgornje teorije sledi, da so koordinate normalnega vektorja n¯ koeficienti pred spremenljivkami. V zvezi s tem, da bi našli n¯, je treba enačbo zapisati v splošni obliki. Imamo:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Potem je normalni vektor ravnine:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Problem sestavljanja enačbe ravnine
Podane so koordinate treh točk:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Kako bo izgledala enačba ravnine, ki vsebuje vse te točke.
Preko treh točk, ki ne pripadajo isti premici, je mogoče narisati samo eno ravnino. Da bi našli njeno enačbo, najprej izračunamo vektor smeri ravnine n¯. To naredimo takole: poiščemo poljubna dva vektorja, ki pripadata ravnini, in izračunamo njihov vektorski produkt. To bo dalo vektor, ki bo pravokoten na to ravnino, to je n¯. Imamo:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Vzemite točko M1za risanjeravninski izrazi. Dobimo:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Pridobili smo splošni izraz tipa za ravnino v prostoru tako, da smo zanjo najprej definirali vektor smeri.
Lastnost navzkrižnega produkta si je treba zapomniti pri reševanju problemov z ravninami, saj vam omogoča, da na preprost način določite koordinate normalnega vektorja.
