Dokaj pogosto se v matematiki pojavljajo številne težave in vprašanja, mnogi odgovori pa niso vedno jasni. Nobena izjema ni bila taka tema, kot je kardinalnost sklopov. Pravzaprav to ni nič drugega kot številčni izraz števila predmetov. V splošnem smislu je niz aksiom; nima definicije. Temelji na poljubnih predmetih oziroma njihovem nizu, ki je lahko prazen, končen ali neskončen. Poleg tega vsebuje cela ali naravna števila, matrike, zaporedja, segmente in vrstice.
O obstoječih spremenljivkah
Nulen ali prazen niz brez notranje vrednosti se šteje za kardinalni element, ker je podmnožica. Zbirka vseh podmnožic neprazne množice S je množica množic. Tako se šteje, da je nabor moči danega niza veliko, predstavljiv, vendar en sam. Ta množica se imenuje množica potenk S in je označena s P (S). Če S vsebuje N elementov, potem P(S) vsebuje 2^n podmnožic, saj je podmnožica P(S) bodisi ∅ bodisi podmnožica, ki vsebuje r elementov iz S, r=1, 2, 3, … Sestavljena je iz vsega neskončneganiz M imenujemo močnostna količina in je simbolično označen s P (M).
Elementi teorije množic
To področje znanja je razvil George Cantor (1845-1918). Danes se uporablja v skoraj vseh vejah matematike in je njen temeljni del. V teoriji množic so elementi predstavljeni v obliki seznama in so podani z vrstami (prazna množica, posamezna, končna in neskončna množica, enaka in enakovredna, univerzalna), zveza, presečišče, razlika in seštevanje števil. V vsakdanjem življenju pogosto govorimo o zbirki predmetov, kot so šop ključev, jata ptic, paket kart itd. V 5. razredu matematike in naprej obstajajo naravna, cela, prosta in sestavljena števila.
Upoštevamo lahko naslednje sklope:
- naravna števila;
- črke abecede;
- primarne kvote;
- trikotniki z različnimi stranicami.
Vidi se, da so ti določeni primeri dobro definirani nizi predmetov. Razmislite o še nekaj primerih:
- pet najbolj znanih znanstvenikov na svetu;
- sedem lepih deklet v družbi;
- trije najboljši kirurgi.
Ti primeri kardinalnosti niso dobro opredeljene zbirke predmetov, ker se merila za "najbolj znan", "najlepši", "najboljši" razlikujejo od osebe do osebe.
Seti
Ta vrednost je dobro opredeljeno število različnih predmetov. Ob predpostavki, da:
- wordset je sinonim, agregat, razred in vsebuje elemente;
- predmeti, člani so enaki;
- skupine so običajno označene z velikimi črkami A, B, C;
- elementi kompleta so predstavljeni z majhnimi črkami a, b, c.
Če je "a" element množice A, potem pravimo, da "a" pripada A. Označimo besedno zvezo "pripada" z grškim znakom "∈" (epsilon). Tako se izkaže, da je a ∈ A. Če je 'b' element, ki ne pripada A, je to predstavljen kot b ∉ A. Nekatere pomembne množice, ki se uporabljajo v matematiki 5. razreda, so predstavljene s tremi naslednjimi metodami:
- aplikacije;
- registri ali tabelarni;
- pravilo za ustvarjanje formacije.
Pri natančnejšem pregledu obrazec za prijavo temelji na naslednjem. V tem primeru je podan jasen opis elementov niza. Vsi so zaprti v kodrastih oklepajih. Na primer:
- nabor lihih števil, manjših od 7 - zapisano kot {manj kot 7};
- nabor številk, večjih od 30 in manjših od 55;
- število učencev v razredu, ki tehta več kot učitelj.
V obliki registra (tabela) so elementi niza navedeni v paru oklepajev {} in ločeni z vejicami. Na primer:
- Naj N označuje množico prvih petih naravnih števil. Zato je N=→ registrski obrazec
- Nabor vseh samoglasnikov angleške abecede. Zato je V={a, e, i, o, u, y} → registrski obrazec
- Množica vseh lihih števil je manjša od 9. Zato je X={1, 3, 5, 7} → oblikaregister
- Nabor vseh črk v besedi "Matematika". Zato je Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registrski obrazec
- W je niz zadnjih štirih mesecev v letu. Zato je W={september, oktober, november, december} → register.
Upoštevajte, da vrstni red, v katerem so navedeni elementi, ni pomemben, vendar se ne smejo ponavljati. Uveljavljena oblika konstrukcije, v danem primeru pravilo, formula ali operator je zapisana v parih oklepajev, tako da je množica pravilno definirana. V obliki graditelja naborov morajo imeti vsi elementi enako lastnost, da postanejo član zadevne vrednosti.
V tej obliki predstavitve niza je element niza opisan z znakom "x" ali katero koli drugo spremenljivko, ki ji sledi dvopičje (":" ali "|" se uporablja za označevanje). Naj bo na primer P množica štetljivih števil, večjih od 12. P v obliki graditelja množic je zapisano kot - {šteto število in večje od 12}. Bralo se bo na določen način. To pomeni, da je "P niz elementov x, tako da je x štetljiv in večji od 12."
Rešen primer z uporabo treh načinov predstavitve nizov: število celih števil med -2 in 3. Spodaj so primeri različnih vrst nizov:
- Prazen ali ničelni niz, ki ne vsebuje nobenega elementa in je označen s simbolom ∅ in se bere kot phi. V obliki seznama je ∅ zapisano {}. Končni niz je prazen, saj je število elementov 0. Na primer, niz celih vrednosti je manjši od 0.
- Očitno ne bi smelo biti <0. Zato je taprazen komplet.
- Nabor, ki vsebuje samo eno spremenljivko, se imenuje enojni niz. Ni niti preprost niti sestavljen.
končni niz
Množica, ki vsebuje določeno število elementov, se imenuje končna ali neskončna množica. Prazen se nanaša na prvo. Na primer, niz vseh barv v mavrici.
Neskončnost je niz. Elementov v njem ni mogoče našteti. To pomeni, da vsebuje podobne spremenljivke, se imenuje neskončna množica. Primeri:
- moč množice vseh točk v ravnini;
- nabor vseh praštevil.
Toda razumeti morate, da vseh kardinalnosti združitve množice ni mogoče izraziti v obliki seznama. Na primer realna števila, saj njihovi elementi ne ustrezajo nobenemu posebnemu vzorcu.
Kardinalna številka niza je število različnih elementov v dani količini A. Označena je z n (A).
Na primer:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Zato je n (A)=4.
- B=niz črk v besedi ALGEBRA.
Ekvivalentni kompleti za primerjavo nizov
Dve kardinalnosti množice A in B sta takšni, če je njuna kardinalna številka enaka. Simbol za enakovredni niz je "↔". Na primer: A ↔ B.
Enaki nizi: dve kardinalnosti množic A in B, če vsebujeta iste elemente. Vsak koeficient iz A je spremenljivka iz B in vsak od B je določena vrednost A. Zato je A=B. Različne vrste kardinalnih zvez in njihove definicije so razložene s pomočjo navedenih primerov.
Bistvo končnosti in neskončnosti
Kakšne so razlike med kardinalnostjo končne in neskončne množice?
Prva vrednost ima naslednje ime, če je prazna ali ima končno število elementov. V končnem nizu je mogoče podati spremenljivko, če ima omejeno število. Na primer, z uporabo naravnega števila 1, 2, 3. In postopek navajanja se konča pri nekem N. Število različnih elementov, preštetih v končnem nizu S, je označeno z n (S). Imenuje se tudi red ali kardinal. Simbolično označeno po standardnem principu. Torej, če je množica S ruska abeceda, potem vsebuje 33 elementov. Pomembno si je tudi zapomniti, da se element ne pojavi več kot enkrat v nizu.
Neskončno v nizu
Množica se imenuje neskončna, če elementov ni mogoče našteti. Če ima neomejeno (to je nešteto) naravno število 1, 2, 3, 4 za katero koli n. Množico, ki ni končna, imenujemo neskončna. Zdaj lahko razpravljamo o primerih obravnavanih številčnih vrednosti. Možnosti končne vrednosti:
- Naj Q={naravna števila manjša od 25}. Potem je Q končna množica in n (P)=24.
- Naj R={cela števila med 5 in 45}. Potem je R končna množica in n (R)=38.
- Naj je S={števila po modulu 9}. Potem je S={-9, 9} je končna množica in n (S)=2.
- Nabor vseh ljudi.
- Število vseh ptic.
Neskončni primeri:
- število obstoječih točk na ravnini;
- število vseh točk v segmentu črte;
- množica pozitivnih celih števil, deljivih s 3, je neskončna;
- vsa cela in naravna števila.
Tako je iz zgornjega sklepanja jasno, kako razlikovati med končnimi in neskončnimi množicami.
Moč kontinuumskega niza
Če primerjamo nabor in druge obstoječe vrednosti, je naboru priložen dodatek. Če je ξ univerzalen in je A podmnožica ξ, potem je komplement od A število vseh elementov ξ, ki niso elementi A. Simbolično je komplement A glede na ξ A'. Na primer, 2, 4, 5, 6 so edini elementi ξ, ki ne pripadajo A. Zato je A'={2, 4, 5, 6}
Niz s kardinalnostnim kontinuumom ima naslednje značilnosti:
- komplement univerzalne količine je zadevna prazna vrednost;
- ta spremenljivka z ničelnim nizom je univerzalna;
- znesek in njegov dodatek sta ločena.
Na primer:
- Naj je število naravnih števil univerzalna množica in A sodo. Potem je A '{x: x neparen niz z istimi številkami}.
- Naj ξ=niz črk v abecedi. A=niz soglasnikov. Nato A '=število samoglasnikov.
- Dopolnitev univerzalnega niza je prazna količina. Lahko ga označimo z ξ. Potem je ξ '=množica tistih elementov, ki niso vključeni v ξ. Prazna množica φ je zapisana in označena. Zato je ξ=φ. Tako je dopolnilo k univerzalnemu nizu prazno.
V matematiki se "kontinuum" včasih uporablja za predstavljanje prave črte. In na splošno, za opis podobnih predmetov:
- kontinuum (v teoriji množic) - realna črta ali ustrezna kardinalna številka;
- linear - kateri koli urejen niz, ki si deli določene lastnosti realne črte;
- kontinuum (v topologiji) - neprazen kompakten povezan metrični prostor (včasih Hausdorff);
- hipoteza, da nobena neskončna množica ni večja od celih števil, ampak manjša od realnih števil;
- moč kontinuuma je kardinalno število, ki predstavlja velikost množice realnih števil.
V bistvu kontinuum (meritve), teorije ali modeli, ki pojasnjujejo postopne prehode iz enega stanja v drugo brez nenadnih sprememb.
Problemi združitve in križišča
Znano je, da je presečišče dveh ali več nizov število, ki vsebuje vse elemente, ki so skupni v teh vrednostih. Besedne naloge na množicah se rešujejo, da dobimo osnovne ideje o uporabi lastnosti zveze in preseka množic. Rešene glavne težave z besedami nakompleti izgledajo takole:
Naj sta A in B dve končni množici. Takšni so, da je n (A)=20, n (B)=28 in n (A ∪ B)=36, poiščite n (A ∩ B)
Razmerje v nizih z Vennovim diagramom:
- Unijo dveh nizov lahko predstavimo z zasenčenim območjem, ki predstavlja A ∪ B. A ∪ B, ko sta A in B disjunktni množici.
- Presečišče dveh nizov lahko predstavimo z Vennovim diagramom. Z zasenčenim območjem, ki predstavlja A ∩ B.
- Razliko med obema nizoma lahko predstavimo z Vennovimi diagrami. Z zasenčenim območjem, ki predstavlja A - B.
- Razmerje med tremi nizi z uporabo Vennovega diagrama. Če ξ predstavlja univerzalno količino, so A, B, C tri podmnožice. Tukaj se vsi trije sklopi prekrivajo.
Povzetek informacij o nizu
Kardinalnost niza je opredeljena kot skupno število posameznih elementov v nizu. Zadnja podana vrednost je opisana kot število vseh podmnožic. Pri proučevanju tovrstnih vprašanj so potrebne metode, metode in rešitve. Torej, za kardinalnost niza lahko naslednji primeri služijo kot:
Naj je A={0, 1, 2, 3}| |=4, kjer je | A | predstavlja kardinalnost niza A.
Zdaj lahko najdete svoj napajalni paket. Precej preprosto je tudi. Kot že rečeno, je nabor moči nastavljen iz vseh podmnožic danega števila. Torej bi morali v bistvu definirati vse spremenljivke, elemente in druge vrednosti A,ki so {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Zdaj izračun moči P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, ki ima 16 elementov. Tako je kardinalnost množice A=16. Očitno je to dolgočasna in okorna metoda za reševanje tega problema. Vendar pa obstaja preprosta formula, po kateri lahko neposredno poznate število elementov v nizu moči danega števila. | P |=2 ^ N, kjer je N število elementov v nekem A. To formulo lahko dobimo s preprosto kombinatoriko. Torej je vprašanje 2^11, saj je število elementov v nizu A 11.
Torej, niz je katera koli številčno izražena količina, ki je lahko kateri koli možen predmet. Na primer avtomobili, ljudje, številke. V matematičnem smislu je ta koncept širši in bolj posplošen. Če so v začetnih fazah razvrščene številke in možnosti za njihovo rešitev, so v srednji in višji stopnji pogoji in naloge zapleteni. Dejansko je kardinalnost združitve množice določena s pripadnostjo predmeta kateri koli skupini. To pomeni, da en element pripada razredu, vendar ima eno ali več spremenljivk.
