Pitagora je trdil, da je število skupaj z osnovnimi elementi osnova sveta. Platon je verjel, da število povezuje pojav in noumen, pomaga pri spoznavanju, merjenju in sklepanju. Aritmetika izhaja iz besede "arithmos" - število, začetek začetkov v matematiki. Lahko opiše kateri koli predmet - od osnovnega jabolka do abstraktnih presledkov.
Potrebe kot razvojni dejavnik
V zgodnjih fazah oblikovanja družbe so bile potrebe ljudi omejene na potrebo po štetju - ena vreča žita, dve vreči žita itd. Za to so zadostovala naravna števila, katerih nabor je neskončno pozitivno zaporedje celih števil N.
Pozneje, z razvojem matematike kot znanosti, se je pojavila potreba po ločenem polju celih števil Z - vključuje negativne vrednosti in nič. Njegov videz na ravni gospodinjstva je izzvalo dejstvo, da je bilo v primarnem računovodstvu treba nekako popravitidolgovi in izgube. Na znanstveni ravni so negativna števila omogočila reševanje najpreprostejših linearnih enačb. Med drugim je zdaj mogoča podoba trivialnega koordinatnega sistema, saj se je pojavila referenčna točka.
Naslednji korak je bila potreba po uvedbi delnih števil, saj znanost ni mirovala, je vedno več odkritij zahtevalo teoretično podlago za nov zagon rasti. Tako se je pojavilo polje racionalnih števil Q.
Nazadnje je racionalnost prenehala zadovoljevati zahteve, ker so vsi novi sklepi zahtevali utemeljitev. Pojavilo se je polje realnih števil R, Evklidovo delo o nesorazmernosti določenih veličin zaradi njihove iracionalnosti. To pomeni, da so stari grški matematiki število postavili ne le kot konstanto, ampak tudi kot abstraktno količino, za katero je značilno razmerje med nesorazmernimi količinami. Zaradi dejstva, da so se pojavila realna števila, so količine, kot sta "pi" in "e", "ugledale luč", brez katerih sodobna matematika ne bi mogla potekati.
Končna novost je bilo kompleksno število C. Odgovorilo je na številna vprašanja in ovrglo predhodno uvedene postulate. Zaradi hitrega razvoja algebre je bil izid predvidljiv - ob realnih številkah je bilo reševanje številnih problemov nemogoče. Na primer, zaradi kompleksnih števil je izstopala teorija strun in kaosa, enačbe hidrodinamike pa so se razširile.
Teorija nizov. Cantor
Koncept neskončnosti v vsakem trenutkupovzročila polemiko, saj ga ni bilo mogoče niti dokazati niti ovreči. V kontekstu matematike, ki je delovala s strogo preverjenimi postulati, se je to najbolj jasno pokazalo, še posebej, ker je teološki vidik še vedno imel težo v znanosti.
Vendar se je po zaslugi dela matematika Georga Kantorja sčasoma vse postavilo na svoje mesto. Dokazal je, da obstaja neskončno število neskončnih množic in da je polje R večje od polja N, tudi če oba nimata konca. Sredi 19. stoletja so njegove ideje glasno imenovali neumnost in zločin proti klasičnim, neomajnim kanonom, a čas je vse postavil na svoje mesto.
Osnovne lastnosti polja R
Realna števila nimajo le enakih lastnosti kot podmnožice, ki so vanje vključene, ampak jih zaradi obsega elementov dopolnjujejo tudi druge:
- Nič obstaja in pripada polju R. c + 0=c za katero koli c iz R.
- Nič obstaja in pripada polju R. c x 0=0 za kateri koli c iz R.
- Relacija c: d za d ≠ 0 obstaja in velja za vse c, d iz R.
- Polje R je urejeno, to je, če je c ≦ d, d ≦ c, potem je c=d za kateri koli c, d iz R.
- Seštevek v polju R je komutativen, t.j. c + d=d + c za poljubno c, d iz R.
- Množenje v polju R je komutativno, t.j. c x d=d x c za poljubno c, d iz R.
- Seštevek v polju R je asociativen, t.j. (c + d) + f=c + (d + f) za vse c, d, f iz R.
- Množenje v polju R je asociativno, t.j. (c x d) x f=c x (d x f) za vse c, d, f iz R.
- Za vsako številko v polju R obstaja nasprotje, tako da je c + (-c)=0, kjer je c, -c iz R.
- Za vsako število iz polja R obstaja svojo inverzno, tako da je c x c-1 =1, kjer je c, c-1 od R.
- Enota obstaja in pripada R, torej c x 1=c, za katero koli c iz R.
- Zakon o porazdelitvi velja, tako da c x (d + f)=c x d + c x f, za vse c, d, f iz R.
- V polju R nič ni enaka ena.
- Polje R je prehodno: če je c ≦ d, d ≦ f, potem je c ≦ f za kateri koli c, d, f iz R.
- V polju R sta vrstni red in seštevanje povezana: če je c ≦ d, potem c + f ≦ d + f za vse c, d, f iz R.
- V polju R sta vrstni red in množenje povezana: če je 0 ≦ c, 0 ≦ d, potem je 0 ≦ c x d za kateri koli c, d iz R.
- Tako negativna kot pozitivna realna števila sta neprekinjena, to pomeni, da za katero koli c, d iz R obstaja f iz R, tako da je c ≦ f ≦ d.
Modul v polju R
Realne številke vključujejo modul.
Označeno kot |f| za katero koli f iz R. |f|=f, če sta 0 ≦ f in |f|=-f, če je 0 > f. Če upoštevamo modul kot geometrijsko količino, potem je to prevožena razdalja - ni pomembno, ali ste "prešli" nič na minus ali naprej na plus.
Kompleksna in realna števila. Kakšne so podobnosti in kakšne razlike?
Na splošno so kompleksna in realna števila eno in isto, razen tegaimaginarna enota i, katere kvadrat je -1. Elemente polj R in C lahko predstavimo z naslednjo formulo:
c=d + f x i, kjer d, f pripadata polju R in je i imaginarna enota
Da bi v tem primeru dobili c iz R, je f preprosto nastavljen na nič, to pomeni, da ostane le pravi del števila. Ker ima polje kompleksnih števil enak nabor lastnosti kot polje realnih števil, je f x i=0, če je f=0.
Glede praktičnih razlik, na primer v polju R, kvadratna enačba ni rešena, če je diskriminanta negativna, medtem ko polje C ne nalaga takšne omejitve zaradi uvedbe imaginarne enote i.
Rezultati
"Kocke" aksiomov in postulatov, na katerih temelji matematika, se ne spreminjajo. Zaradi povečanja informiranosti in uvajanja novih teorij se na nekatere od njih postavijo naslednje »opeke«, ki lahko v prihodnosti postanejo osnova za naslednji korak. Na primer, naravna števila, kljub dejstvu, da so podmnožica realnega polja R, ne izgubijo svojega pomena. Na njih temelji vsa osnovna aritmetika, s katero se začne človeško poznavanje sveta.
S praktičnega vidika so realna števila videti kot ravna črta. Na njem lahko izberete smer, označite izvor in korak. Ravna črta je sestavljena iz neskončnega števila točk, od katerih vsaka ustreza enemu realnemu številu, ne glede na to, ali je racionalno ali ne. Iz opisa je razvidno, da govorimo o konceptu, na katerem temeljita tako matematika na splošno kot matematična analiza nasploh.posebno.
