Poliedri so že v starih časih pritegnili pozornost matematikov in znanstvenikov. Egipčani so zgradili piramide. In Grki so preučevali "pravilne poliedre". Včasih jih imenujemo platonska telesa. "Tradicionalni poliedri" so sestavljeni iz ravnih ploskev, ravnih robov in oglišč. Toda glavno vprašanje je bilo vedno, katera pravila morajo izpolnjevati ti ločeni deli, pa tudi, katere dodatne globalne pogoje je treba izpolniti, da se predmet šteje za polieder. Odgovor na to vprašanje bo predstavljen v članku.
Težave v definiciji
Iz česa je sestavljena ta številka? Polieder je zaprta trdna oblika, ki ima ravne ploskve in ravne robove. Zato lahko prvi problem njegove definicije imenujemo prav strani figure. Niso vsi obrazi, ki ležijo v ravninah, vedno znak poliedra. Vzemimo za primer "trikotni cilinder". Iz česa je sestavljena? Del njegove površine trije v parihsekajočih se navpičnih ravnin ne moremo šteti za poligone. Razlog je v tem, da nima vrhov. Površina takšne figure je oblikovana na podlagi treh žarkov, ki se srečajo na eni točki.
Še ena težava - letala. V primeru "trikotnega cilindra" leži v njihovih neomejenih delih. Šteje se, da je figura konveksna, če je v njej tudi odsek, ki povezuje kateri koli dve točki v množici. Naj vam predstavimo eno od njihovih pomembnih lastnosti. Za konveksne množice je množica skupnih točk množici enaka. Obstaja še ena vrsta figur. To so nekonveksni 2D poliedri, ki imajo bodisi zareze ali luknje.
Oblike, ki niso poliedri
Ploska množica točk je lahko drugačna (na primer nekonveksna) in ne izpolnjuje običajne definicije poliedra. Tudi preko njega je omejena z odseki vrstic. Linije konveksnega poliedra so sestavljene iz konveksnih figur. Vendar ta pristop k definiciji izključuje figuro, ki gre v neskončnost. Primer tega bi bili trije žarki, ki se ne srečajo na isti točki. Toda hkrati so povezani z oglišči druge figure. Tradicionalno je bilo za polieder pomembno, da je sestavljen iz ravnih površin. Toda sčasoma se je koncept razširil, kar je privedlo do bistvenega izboljšanja razumevanja prvotnega "ožjega" razreda poliedrov, pa tudi do nastanka nove, širše definicije.
pravilno
Predstavimo še eno definicijo. Pravilen polieder je polieder, v katerem je vsaka ploskev kongruentna pravilnakonveksnih mnogokotnikov in vsa oglišča so "enaka". To pomeni, da ima vsako točko enako število pravilnih mnogokotnikov. Uporabite to definicijo. Tako lahko najdete pet pravilnih poliedrov.
Prvi koraki do Eulerjevega izreka za poliedre
Grki so vedeli za poligon, ki se danes imenuje pentagram. Ta mnogokotnik bi lahko imenovali pravilen, ker so vse njegove stranice enake dolžine. Obstaja še ena pomembna opomba. Kot med dvema zaporednima stranicama je vedno enak. Vendar, ko je narisan v ravnini, ne definira konveksne množice in stranice poliedra se sekajo. Vendar temu ni bilo vedno tako. Matematiki že dolgo razmišljajo o ideji "nekonveksnih" pravilnih poliedrov. Pentagram je bil eden izmed njih. Dovoljeni so bili tudi "zvezdasti poligoni". Odkritih je bilo več novih primerov "pravilnih poliedrov". Zdaj se imenujejo Kepler-Poinsot poliedri. Kasneje sta G. S. M. Coxeter in Branko Grünbaum razširila pravila in odkrila druge "pravilne poliedre".
Poliedrska formula
Sistematično preučevanje teh številk se je začelo relativno zgodaj v zgodovini matematike. Leonhard Euler je bil prvi, ki je opazil, da za konveksne 3D poliedre velja formula, ki povezuje število njihovih vozlišč, ploskev in robov.
Izgleda takole:
V + F - E=2, kjer je V število poliedrskih vozlišč, F število robov poliedrov, E pa število obrazov.
Leonhard Euler je Švicarmatematik, ki velja za enega največjih in najbolj produktivnih znanstvenikov vseh časov. Večino svojega življenja je bil slep, vendar mu je izguba vida dala razlog, da postane še bolj produktiven. Po njem je poimenovanih več formul, tista, ki smo jo pravkar pogledali, pa se včasih imenuje formula Eulerjevega poliedra.
Eno pojasnilo. Eulerjeva formula pa deluje samo za poliedre, ki sledijo določenim pravilom. Ležijo v tem, da obrazec ne sme imeti nobenih lukenj. In nesprejemljivo je, da se prekriža. Polieder tudi ne more biti sestavljen iz dveh delov, ki sta združena skupaj, kot sta dve kocki z istim vrhom. Euler je omenil rezultate svojih raziskav v pismu Christianu Goldbachu leta 1750. Kasneje je objavil dva članka, v katerih je opisal, kako je poskušal najti dokaz za svoje novo odkritje. Pravzaprav obstajajo oblike, ki dajejo drugačen odgovor na V + F - E. Odgovor na vsoto F + V - E=X se imenuje Eulerjeva karakteristika. Ima še en vidik. Nekatere oblike imajo lahko celo negativno Eulerjevo lastnost
Teorija grafov
Včasih trdijo, da je Descartes Eulerjev izrek izpeljal prej. Čeprav je ta znanstvenik odkril dejstva o tridimenzionalnih poliedrih, ki bi mu omogočila, da izpelje želeno formulo, tega dodatnega koraka ni naredil. Danes je Euler zaslužen za "očeta" teorije grafov. S svojimi idejami je rešil problem konigsberškega mostu. Toda znanstvenik na polieder ni pogledal v kontekstuteorija grafov. Euler je poskušal dokazati formulo, ki temelji na razgradnji poliedra na enostavnejše dele. Ta poskus ne ustreza sodobnim standardom dokazovanja. Čeprav Euler ni podal prve pravilne utemeljitve svoje formule, ni mogoče dokazati domnev, ki niso bile narejene. Vendar pa rezultati, ki so bili kasneje utemeljeni, omogočajo uporabo Eulerjevega izreka tudi v današnjem času. Prvi dokaz je pridobil matematik Adrian Marie Legendre.
Dokaz Eulerjeve formule
Euler je poliedrsko formulo najprej oblikoval kot izrek o poliedrih. Danes se pogosto obravnava v splošnejšem kontekstu povezanih grafov. Na primer, kot strukture, sestavljene iz točk in odsekov, ki jih povezujejo, ki so v istem delu. Augustin Louis Cauchy je bil prvi, ki je našel to pomembno povezavo. Služil je kot dokaz Eulerjevega izreka. V bistvu je opazil, da je graf konveksnega poliedra (ali tega, kar se danes imenuje tak) topološko homeomorfen krogli, ima planarno povezan graf. kaj je to? Ravninski graf je tisti, ki je bil narisan v ravnini tako, da se njegovi robovi srečajo ali sekajo le v točki. Tu je bila najdena povezava med Eulerjevim izrekom in grafi.
Eden od pokazateljev pomembnosti rezultata je, da je David Epstein uspel zbrati sedemnajst različnih dokazov. Obstaja veliko načinov za utemeljitev Eulerjeve poliedrske formule. V nekem smislu so najbolj očitni dokazi metode, ki uporabljajo matematično indukcijo. Rezultat je mogoče dokazatirisanje vzdolž števila robov, ploskov ali vozlišč grafa.
Dokaz Rademacherja in Toeplitza
Še posebej privlačen je naslednji dokaz Rademacherja in Toeplitza, ki temelji na pristopu Von Staudta. Za utemeljitev Eulerjevega izreka predpostavimo, da je G povezan graf, vstavljen v ravnino. Če ima sheme, je mogoče iz vsake od njih izločiti en rob, tako da se ohrani lastnost, da ostane povezan. Obstaja korespondenca ena proti ena med odstranjenimi deli za prehod na povezani graf brez zaprtja in tistimi, ki niso neskončen rob. Ta raziskava je privedla do razvrstitve "orientabilnih površin" glede na tako imenovano Eulerjevo karakteristiko.
Jordanska krivulja. Izrek
Glavna teza, ki se neposredno ali posredno uporablja pri dokazovanju formule poliedrov Eulerjevega izreka za grafe, je odvisna od Jordanove krivulje. Ta ideja je povezana s posploševanjem. Pravi, da vsaka preprosta zaprta krivulja razdeli ravnino na tri sklope: točke na njej, znotraj in zunaj nje. Ker se je zanimanje za Eulerjevo poliedrsko formulo razvilo v devetnajstem stoletju, je bilo veliko poskusov, da bi jo posplošili. Ta raziskava je postavila temelje za razvoj algebraične topologije in jo povezala z algebro in teorijo števil.
Moebiusova skupina
Kmalu je bilo odkrito, da je nekatere površine mogoče na dosleden način "usmeriti" le lokalno, ne globalno. Kot ilustracija tega je znana Möbiusova skupinapovršine. Nekoliko prej jo je odkril Johann Listing. Ta koncept vključuje pojem rodu grafa: najmanjše število deskriptorjev g. Dodati ga je treba površini krogle in ga lahko vdelamo na razširjeno površino tako, da se robovi stikajo le na ogliščih. Izkazalo se je, da lahko vsako orientacijsko površino v evklidskem prostoru obravnavamo kot kroglo z določenim številom ročajev.
Eulerjev diagram
Znanstvenik je naredil še eno odkritje, ki se uporablja še danes. Ta tako imenovani Eulerjev diagram je grafični prikaz krogov, ki se običajno uporablja za ponazoritev odnosov med nizi ali skupinami. Grafikoni običajno vključujejo barve, ki se mešajo na območjih, kjer se krogi prekrivajo. Kompleti so predstavljeni prav s krogi ali ovali, čeprav se zanje lahko uporabijo tudi druge figure. Vključitev je predstavljena s prekrivanjem elips, imenovanih Eulerjev krog.
Predstavljajo množice in podmnožice. Izjema so krogi, ki se ne prekrivajo. Eulerjevi diagrami so tesno povezani z drugimi grafičnimi predstavitvami. Pogosto so zmedeni. Ta grafični prikaz se imenuje Vennovi diagrami. Glede na zadevne sklope sta lahko obe različici videti enaki. Vendar pa v Vennovih diagramih prekrivajoči se krogi ne označujejo nujno skupnosti med množicami, temveč le možno logično razmerje, če njihove oznake niso vsekajoči krog. Obe možnosti sta bili sprejeti za poučevanje teorije množic kot del novega matematičnega gibanja iz šestdesetih let prejšnjega stoletja.
Fermatova in Eulerjeva izreka
Euler je pustil opazen pečat v matematiki. Algebraično teorijo števil je obogatil po njem poimenovan izrek. Je tudi posledica drugega pomembnega odkritja. To je tako imenovani splošni algebraični Lagrangeov izrek. Eulerjevo ime je povezano tudi s Fermatovim malim izrekom. Pravi, da če je p praštevilo in a je celo število, ki ni deljivo s p, potem:
ap-1 - 1 je deljivo s p.
Včasih ima isto odkritje drugačno ime, ki ga največkrat najdemo v tuji literaturi. Sliši se kot Fermatov božični izrek. Stvar je v tem, da je odkritje postalo znano po pismu znanstvenika, poslanem na predvečer 25. decembra 1640. Toda sama izjava se je že srečala. Uporabil ga je drugi znanstvenik po imenu Albert Girard. Fermat je samo poskušal dokazati svojo teorijo. Avtor v drugem pismu namiguje, da ga je navdihnila metoda neskončnega spusta. Vendar ni predložil nobenega dokaza. Kasneje se je na isto metodo obrnil tudi Eider. In za njim - številni drugi znani znanstveniki, vključno z Lagrangeom, Gaussom in Minkoskyjem.
Lastnosti identitet
Fermatov mali izrek se imenuje tudi poseben primer izreka iz teorije števil zaradi Eulerja. V tej teoriji Eulerjeva identitetna funkcija šteje pozitivna cela števila do danega celega števila n. So enakovredni glede nan. Eulerjev izrek v teoriji števil je napisan z grško črko φ in izgleda kot φ(n). Bolj formalno ga lahko definiramo kot število celih številk k v območju 1 ≦ k ≦ n, za katerega je največji skupni delitelj gcd(n, k) 1. Zapis φ(n) lahko imenujemo tudi Eulerjeva phi funkcija. Cela števila k te oblike včasih imenujemo celotna. V središču teorije števil je Eulerjeva identitetna funkcija multiplikativna, kar pomeni, da če sta dve števili m in n sopraprosti, potem je φ(mn)=φ(m)φ(n). Prav tako ima ključno vlogo pri definiranju šifrirnega sistema RSA.
Eulerjeva funkcija je bila uvedena leta 1763. Vendar takrat matematik zanjo ni izbral nobenega posebnega simbola. V publikaciji iz leta 1784 je Euler to funkcijo podrobneje preučil in za njeno predstavitev izbral grško črko π. James Sylvester je skoval izraz "skupaj" za to funkcijo. Zato se imenuje tudi Eulerjev vsota. Skupni φ(n) pozitivnega celega števila n, večjega od 1, je število pozitivnih celih števil, manjših od n, ki so relativno praštevilna do n. φ(1) je definirana kot 1. Eulerjeva funkcija ali funkcija phi(φ) je zelo pomembna teoretična funkcija, ki je globoko povezana s praštevili in tako imenovanim vrstnim redom celih števil.
