Leonhard Euler (1707-1783) - slavni švicarski in ruski matematik, član Sankt Peterburške akademije znanosti, je večino svojega življenja preživel v Rusiji. Najbolj znan na področju matematične analize, statistike, računalništva in logike je Eulerjev krog (Euler-Vennov diagram), ki se uporablja za označevanje obsega konceptov in nizov elementov.
John Venn (1834-1923) - angleški filozof in logik, soavtor Euler-Venn diagrama.
združljivi in nezdružljivi koncepti
Pod pojmom v logiki pomeni obliko mišljenja, ki odraža bistvene značilnosti razreda homogenih predmetov. Označeni so z eno ali skupino besed: »zemljevid sveta«, »dominantni kvinta-sedmint akord«, »ponedeljek« itd.
V primeru, ko elementi obsega enega pojma v celoti ali delno spadajo v obseg drugega, govorimo o kompatibilnih konceptih. Če pa noben element obsega določenega pojma ne spada v obseg drugega, imamo nezdružljive koncepte.
Po drugi strani ima vsaka vrsta koncepta svoj nabor možnih razmerij. Za združljive koncepte so to:
- identiteta (ekvivalentnost) količin;
- prečkanje (delno ujemanje)količine;
- podreditev (podreditev).
Za nezdružljivo:
- podreditev (koordinacija);
- nasprotno (kontraralnost);
- protislovje (protislovje).
Shematsko so razmerja med koncepti v logiki običajno označena z Euler-Vennovimi krogi.
Ekvivalentna razmerja
V tem primeru pojmi pomenijo isti predmet. V skladu s tem je obseg teh konceptov popolnoma enak. Na primer:
A - Sigmund Freud;
B je ustanovitelj psihoanalize.
Ali:
A je kvadrat;
B je enakostranični pravokotnik;
C je enakokoten romb.
Popolnoma sovpadajoči Eulerjev krog se uporablja za označevanje.
križje (delno ujemanje)
Ta kategorija vključuje koncepte, ki imajo skupne elemente, ki so povezani s križanjem. To pomeni, da je obseg enega od konceptov delno vključen v obseg drugega:
A - učitelj;
B je ljubitelj glasbe.
Kot je razvidno iz tega primera, se obsegi pojmov delno ujemajo: določena skupina učiteljev se lahko izkaže za ljubitelje glasbe in obratno - med ljubitelji glasbe so lahko predstavniki učiteljskega poklica. Podoben odnos bo v primeru, ko je koncept A na primer "državljan", B pa "voznik".
Podrejenost (podrejenost)
Shematsko označeni kot Eulerjevi krogi različnih meril. Odnosimed pojmi v tem primeru je značilno, da je podrejeni pojem (manjši po obsegu) v celoti vključen v podrejeni (po obsegu večji). Hkrati pa podrejeni koncept ne izčrpa popolnoma podrejenega.
Na primer:
A - drevo;
B - bor.
Koncept B bo podrejen konceptu A. Ker bor pripada drevesom, postane koncept A v tem primeru podrejen in "vsrka" obseg koncepta B.
Koordinacija (koordinacija)
Relacija označuje dva ali več konceptov, ki se izključujejo, vendar pripadajo določenemu skupnemu generičnemu krogu. Na primer:
A – klarinet;
B - kitara;
C - violina;
D je glasbilo.
Pojmovi A, B, C se med seboj ne sekajo, vendar vsi spadajo v kategorijo glasbil (koncept D).
Nasprotno (nasprotno)
Nasprotna razmerja med pojmi pomenijo, da ti koncepti pripadajo istemu rodu. Hkrati ima eden od konceptov določene lastnosti (značilnosti), drugi pa jih zanika in jih nadomešča z nasprotnimi v naravi. Tako imamo opravka z antonimi. Na primer:
A je škrat;
B je velikan.
Eulerjev krog z nasprotnimi razmerji med pojmije razdeljen na tri segmente, od katerih prvi ustreza konceptu A, drugi konceptu B, tretji pa vsem ostalim možnim konceptom.
Protislovje (protislovje)
V tem primeru sta oba pojma vrsti istega rodu. Kot v prejšnjem primeru, eden od konceptov nakazuje določene lastnosti (značilnosti), drugi pa jih zanika. Vendar v nasprotju z razmerjem nasprotij drugi, nasprotni koncept ne nadomešča zanikanih lastnosti z drugimi, alternativnimi. Na primer:
A je težka naloga;
B je lahka naloga (ne-A).
Izražajoč obseg tovrstnih konceptov je Eulerjev krog razdeljen na dva dela - tretjega, vmesnega člena v tem primeru ne obstaja. Tako so pojmi tudi protipomenski. Hkrati eden od njih (A) postane pozitiven (potrjuje neko lastnost), drugi (B ali ne-A) pa postane negativen (negira ustrezno lastnost): "bel papir" - "ne bel papir", " nacionalna zgodovina« – »tuja zgodovina« itd.
Tako je razmerje volumnov pojmov med seboj ključna značilnost, ki opredeljuje Eulerjeve kroge.
Odnosi med nizi
Treba je razlikovati tudi med pojmi elementov in množic, katerih prostornina je prikazana z Eulerjevimi krogi. Koncept množice je izposojen iz matematične znanosti in ima precej širok pomen. Primeri v logiki in matematiki ga prikazujejo kot določen niz predmetov. Sami predmeti soelementov tega sklopa. "Mnogi so mnogi mišljeni kot eno" (Georg Kantor, ustanovitelj teorije množic).
Sklopi so označeni z velikimi črkami: A, B, C, D… itd., elementi nizov so označeni z malimi črkami: a, b, c, d… itd. Primeri niza so lahko študenti, ki so v eni učilnici, knjige na določeni polici (ali na primer vse knjige v določeni knjižnici), strani v dnevniku, jagode na gozdni jasi itd.
Če določena množica ne vsebuje enega samega elementa, se imenuje prazen in označen z znakom Ø. Na primer, množica presečišč vzporednih premic, množica rešitev enačbe x2=-5.
Reševanje težav
Eulerjevi krogi se aktivno uporabljajo za reševanje velikega števila problemov. Primeri v logiki jasno kažejo povezavo med logičnimi operacijami in teorijo množic. V tem primeru se uporabljajo tabele resnic pojmov. Na primer, krog z oznako A predstavlja regijo resnice. Torej bo območje zunaj kroga predstavljalo napačno. Če želite določiti območje diagrama za logično operacijo, morate zasenčiti območja, ki definirajo Eulerjev krog, v katerem bodo njegove vrednosti za elementa A in B resnične.
Uporaba Eulerjevih krogov je našla široko praktično uporabo v različnih panogah. Na primer, v situaciji s poklicno izbiro. Če subjekta skrbi izbira prihodnjega poklica, ga lahko vodijo naslednja merila:
W – kaj rad počnem?
D – kaj počnem?
P– kako lahko dobro zaslužim?
Narišimo to kot diagram: Eulerjevi krogi (primeri v logiki - presečna relacija):
Rezultat bodo tisti poklici, ki bodo na presečišču vseh treh krogov.
Euler-Venn krogi zasedajo ločeno mesto v matematiki (teoriji množic) pri izračunu kombinacij in lastnosti. Eulerjevi krogi množice elementov so zaprti v podobi pravokotnika, ki označuje univerzalno množico (U). Namesto krogov se lahko uporabijo tudi druge zaprte figure, vendar se bistvo tega ne spremeni. Številke se sekajo med seboj, glede na pogoje problema (v najbolj splošnem primeru). Te številke je treba tudi ustrezno označiti. Elementi obravnavanih množic so lahko točke, ki se nahajajo znotraj različnih segmentov diagrama. Na podlagi tega lahko senčite določena področja in s tem označite novonastale sklope.
S temi množicami je mogoče izvajati osnovne matematične operacije: seštevanje (vsota nizov elementov), odštevanje (razlika), množenje (produkt). Poleg tega je zahvaljujoč Euler-Vennovim diagramom mogoče primerjati sklope po številu elementov, vključenih v njih, ne da bi jih šteli.
