Steinerjev izrek ali izrek vzporednih osi za izračun vztrajnostnega momenta

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Pri matematičnem opisu rotacijskega gibanja je pomembno poznati vztrajnostni moment sistema glede na os. V splošnem primeru postopek za iskanje te količine vključuje izvedbo procesa integracije. Tako imenovani Steinerjev izrek olajša izračun. Podrobneje razmislimo o tem v članku.

Kaj je vztrajnostni moment?

Preden podamo formulacijo Steinerjevega izreka, se je treba ukvarjati s samim konceptom vztrajnostnega momenta. Recimo, da obstaja telo določene mase in poljubne oblike. To telo je lahko bodisi materialna točka ali kateri koli dvodimenzionalni ali tridimenzionalni predmet (palica, valj, krogla itd.). Če se zadevni predmet giblje okrog neke osi s konstantnim kotnim pospeškom α, potem lahko zapišemo naslednjo enačbo:

M=Iα

Tukaj vrednost M predstavlja skupni moment sil, ki daje pospešek α celotnemu sistemu. Imenuje se koeficient sorazmernosti med njima - Ivztrajnostni moment. Ta fizična količina se izračuna po naslednji splošni formuli:

I=∫_m (r²dm)

Tukaj je r razdalja med elementom z maso dm in rotacijsko osjo. Ta izraz pomeni, da je treba najti vsoto produktov kvadratov razdalj r² in osnovne mase dm. To pomeni, da vztrajnostni moment ni čista lastnost telesa, kar ga razlikuje od linearne vztrajnosti. Odvisno je od porazdelitve mase po predmetu, ki se vrti, pa tudi od razdalje do osi in od orientacije telesa glede nanjo. Na primer, palica bo imela drugačen I, če se zavrti okoli središča mase in okoli konca.

Moment vztrajnosti in Steinerjev izrek

Sloviti švicarski matematik Jakob Steiner je dokazal izrek o vzporednih oseh in vztrajnostnem momentu, ki zdaj nosi njegovo ime. Ta izrek predpostavlja, da je vztrajnostni moment za absolutno katero koli togo telo poljubne geometrije glede na neko os vrtenja enak vsoti vztrajnostnega momenta okoli osi, ki seka masno središče telesa in je vzporedna s prvim., in zmnožek telesne mase pomnožen s kvadratom razdalje med tema osema. Matematično je ta formulacija zapisana na naslednji način:

I_Z=I_O + ml²

I_Z in I_O - vztrajnostni trenutki okoli Z-osi in z njo vzporedne osi O, ki poteka skozi središče mase telesa, l - razdalja med črtama Z in O.

Izrek omogoča, če poznamo vrednost I_O, da izračunamokateri koli drug trenutek I_Z o osi, ki je vzporedna z O.

Dokaz teorema

Formulo Steinerjevega izreka lahko enostavno dobite sami. Če želite to narediti, upoštevajte poljubno telo na ravnini xy. Izhodišče koordinat naj poteka skozi masno središče tega telesa. Izračunajmo vztrajnostni moment I_O, ki poteka skozi izhodišče pravokotno na ravnino xy. Ker je razdalja do katere koli točke telesa izražena s formulo r=√ (x² + y²), dobimo integral:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Zdaj premaknimo os vzporedno vzdolž osi x za razdaljo l, na primer v pozitivni smeri, potem bo izračun za novo os vztrajnostnega trenutka videti takole:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Razširimo celoten kvadrat v oklepajih in razdelimo integrande, dobimo:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Prvi od teh izrazov je vrednost I_O, tretji člen po integraciji daje izraz l²m, in tukaj je drugi člen nič. Ničelnost navedenega integrala je posledica dejstva, da je vzet iz produkta x in masnih elementov dm, ki je vpovprečje daje nič, saj je središče mase v izhodišču. Kot rezultat dobimo formulo Steinerjevega izreka.

Obravnavani primer na ravnini lahko posplošimo na tridimenzionalno telo.

Preverjanje Steinerjeve formule na primeru palice

Dajmo preprost primer, da pokažemo, kako uporabiti zgornji izrek.

Znano je, da je za palico dolžine L in mase m vztrajnostni moment I_O (os poteka skozi središče mase) enak m L² /12 in trenutek I_Z (os poteka skozi konec palice) je enak mL 2^{/3. Te podatke preverimo s Steinerjevim izrekom. Ker je razdalja med obema osema L/2, dobimo trenutek I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

To pomeni, da smo preverili Steinerjevo formulo in dobili enako vrednost za I_Z kot v viru.

Podobne izračune je mogoče izvesti za druga telesa (valj, krogla, disk), pri čemer pridobimo potrebne vztrajnostne momente in brez izvedbe integracije.

Vztrajnostni moment in pravokotne osi

Obravnavani izrek se nanaša na vzporedne osi. Za popolnost informacij je koristno podati tudi izrek za pravokotne osi. Formulira se na naslednji način: za ravno predmet poljubne oblike bo vztrajnostni moment okoli osi, pravokotne nanj, enak vsoti dveh vztrajnostnih momentov okoli dveh medsebojno pravokotnih in ležečihv ravnini objekta osi, pri čemer vse tri osi potekajo skozi isto točko. Matematično je to zapisano takole:

I_z=I_x + I_y

Tukaj so z, x, y tri medsebojno pravokotne rotacijske osi.

Bistvena razlika med tem izrekom in Steinerjevim izrekom je, da se uporablja samo za ravne (dvodimenzionalne) trdne predmete. Kljub temu se v praksi pogosto uporablja, miselno razreže telo na ločene plasti in nato doda dobljene vztrajnostne momente.