Kvantitativno preučevanje dinamike in kinematike rotacijskega gibanja zahteva poznavanje vztrajnostnega momenta materialne točke in togega telesa glede na os vrtenja. V članku bomo razmislili, o katerem parametru govorimo, in podali tudi formulo za njegovo določitev.
Splošne informacije o fizični količini
Najprej definirajmo vztrajnostni moment materialne točke in togega telesa, nato pa pokažimo, kako ga je treba uporabiti pri reševanju praktičnih problemov.
Pod navedeno fizično karakteristiko za točko z maso m, ki se vrti okoli osi na razdalji r, je mišljena naslednja vrednost:
I=mr².
Kjer sledi, da je merska enota preučevanega parametra kilogrami na kvadratni meter (kgm²).
Če se namesto točke okoli osi vrti telo kompleksne oblike, ki ima v sebi poljubno porazdelitev mase, se določi njegov vztrajnostni momenttorej:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Kjer je ρ gostota telesa. Z uporabo integralne formule lahko določite vrednost I za popolnoma kateri koli sistem vrtenja.
Vztrajnostni moment ima popolnoma enak pomen za rotacijo kot masa za translacijsko gibanje. Na primer, vsi vedo, da je najlažje vrteti krpo za tla okoli osi, ki poteka skozi njen ročaj, kot pa skozi pravokotno. To je posledica dejstva, da je vztrajnostni moment v prvem primeru veliko manjši kot v drugem.
I vrednost za telesa različnih oblik
Pri reševanju problemov iz fizike za vrtenje je pogosto potrebno poznati vztrajnostni moment za telo določene geometrijske oblike, na primer za valj, kroglo ali palico. Če uporabimo zgoraj napisano formulo za I, potem je enostavno dobiti ustrezen izraz za vsa označena telesa. Spodaj so formule za nekatere od njih:
palica: I=1 / 12ML²;
valj: I=1 / 2MR²;
krogla: I=2 / 5MR².
Tukaj je I podana za os vrtenja, ki poteka skozi masno središče telesa. Pri cilindru je os vzporedna z generatorjem figure. Vztrajnostni moment za druga geometrijska telesa in možnosti za lokacijo rotacijskih osi najdete v ustreznih tabelah. Upoštevajte, da je za določitev različnih številk dovolj vedeti samo en geometrijski parameter in maso telesa.
Steinerjev izrek in formula
Moment vztrajnosti je mogoče določiti, če se os vrtenja nahaja na neki oddaljenosti od telesa. Če želite to narediti, morate poznati dolžino tega segmenta in vrednost IO telesa glede na os, ki poteka skozi središče njegove mase, ki mora biti vzporedna s tisto pod upoštevanje. Vzpostavljanje povezave med parametrom IO in neznano vrednostjo I je določeno v Steinerjevem izreku. Vztrajnostni moment materialne točke in togega telesa je matematično zapisan na naslednji način:
I=IO+ Mh2.
Tukaj je M masa telesa, h je razdalja od središča mase do osi vrtenja, glede na katero je treba izračunati I. Ta izraz je enostavno dobiti sami, če uporabite integralno formulo za I in upoštevajte, da so vse točke telesa na razdalji r=r0 + h.
Steinerjev izrek močno poenostavi definicijo I za številne praktične situacije. Na primer, če morate najti I za palico dolžine L in mase M glede na os, ki poteka skozi njen konec, vam uporaba Steinerjevega izreka omogoča, da zapišete:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Lahko si ogledate ustrezno tabelo in vidite, da vsebuje točno to formulo za tanko palico z osjo vrtenja na koncu.
Enačba trenutka
V fiziki vrtenja obstaja formula, imenovana enačba momentov. Izgleda takole:
M=Iα.
Tukaj je M moment sile, α je kotni pospešek. Kot lahko vidite, sta vztrajnostni moment materialne točke in togega telesa ter moment sile linearno povezana drug z drugim. Vrednost M določa možnost, da neka sila F ustvari rotacijsko gibanje s pospeškom α v sistemu. Za izračun M uporabite naslednji preprost izraz:
M=Fd.
Kjer je d ramena trenutka, ki je enaka razdalji od vektorja sile F do osi vrtenja. Manjša kot je roka d, manjša je zmožnost sile, da ustvari rotacijo sistema.
Enačba trenutkov v svojem pomenu je popolnoma skladna z Newtonovim drugim zakonom. V tem primeru igram vlogo inercialne mase.
Primer reševanja problemov
Zamislimo si sistem, ki je valj, pritrjen na navpično os z breztežno vodoravno palico. Znano je, da sta os vrtenja in glavna os cilindra vzporedni drug z drugim, razdalja med njima pa je 30 cm Masa valja je 1 kg, njegov polmer pa 5 cm. Sila 10 N tangenta na trajektorijo vrtenja deluje na lik, katerega vektor poteka skozi glavno os cilindra. Treba je določiti kotni pospešek figure, ki ga bo ta sila povzročila.
Najprej izračunajmo vztrajnostni moment cilindra I. Če želite to narediti, uporabite Steinerjev izrek, imamo:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Pred uporabo trenutne enačbe moratedoločimo moment sile M. V tem primeru imamo:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Zdaj lahko določite pospešek:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Izračunani kotni pospešek kaže, da se bo vsako sekundo hitrost cilindra povečala za 5,2 vrtljajev na sekundo.
