Ena od značilnih lastnosti katerega koli valovanja je njegova sposobnost loma na ovirah, katerih velikost je primerljiva z valovno dolžino tega vala. Ta lastnost se uporablja v tako imenovanih difrakcijskih rešetkah. Kaj so in kako jih je mogoče uporabiti za analizo emisijskih in absorpcijskih spektrov različnih materialov, je razloženo v članku.
Fenomen difrakcije
Ta pojav je v spreminjanju poti premočrtnega širjenja vala, ko se na njegovi poti pojavi ovira. Za razliko od loma in odboja je difrakcija opazna le pri zelo majhnih ovirah, katerih geometrijske dimenzije so reda valovne dolžine. Obstajata dve vrsti difrakcije:
- val, ki se upogiba okoli predmeta, ko je valovna dolžina veliko večja od velikosti tega predmeta;
- razpršitev vala pri prehodu skozi luknje različnih geometrijskih oblik, ko so dimenzije lukenj manjše od valovne dolžine.
Fenomen uklona je značilen za zvočna, morska in elektromagnetna valovanja. V nadaljevanju članka bomo obravnavali difrakcijsko rešetko samo za svetlobo.
Fenomen interference
Difrakcijski vzorci, ki se pojavljajo na različnih ovirah (okrogle luknje, reže in rešetke), so posledica ne samo uklona, ampak tudi interferenc. Bistvo slednjega je superpozicija valov drug na drugega, ki jih oddajajo različni viri. Če ti viri sevajo valove, medtem ko med njimi ohranjajo fazno razliko (lastnost koherence), potem je mogoče opaziti stabilen interferenčni vzorec v času.
Položaj maksimumov (svetla območja) in minimumov (temne cone) je razložen na naslednji način: če dva vala prispeta na dano točko v protifazi (eden z največjo in drugi z minimalno absolutno amplitudo), potem se "uničijo" drug drugega in na točki se opazi minimum. Nasprotno, če dva vala prideta v isti fazi do točke, se bosta medsebojno okrepila (največ).
Oba pojava je prvi opisal Anglež Thomas Young leta 1801, ko je preučeval difrakcijo na dveh režah. Vendar je Italijan Grimaldi prvič opazil ta pojav leta 1648, ko je preučeval difrakcijski vzorec, ki ga daje sončna svetloba, ki prehaja skozi majhno luknjo. Grimaldi ni mogel razložiti rezultatov svojih poskusov.
Matematična metoda, uporabljena za preučevanje difrakcije
Ta metoda se imenuje Huygens-Fresnelov princip. Sestoji iz trditve, da v procesuširjenja valovne fronte je vsaka njena točka vir sekundarnih valov, katerih interferenca določa nastalo nihanje na poljubni točki, ki jo obravnavamo.
Opisano načelo je razvil Augustin Fresnel v prvi polovici 19. stoletja. Hkrati je Fresnel izhajal iz idej valovne teorije Christiana Huygensa.
Čeprav Huygens-Fresnelov princip ni teoretično strog, je bil uspešno uporabljen za matematično opisovanje eksperimentov z difrakcijo in interferenco.
Difrakcija v bližnjem in daljnem polju
Difrakcija je precej zapleten pojav, za katerega natančna matematična rešitev zahteva upoštevanje Maxwellove teorije elektromagnetizma. Zato se v praksi obravnavajo le posebni primeri tega pojava z različnimi približki. Če je valovna fronta, ki pade na oviro, ravna, ločimo dve vrsti uklona:
- v bližnjem polju ali Fresnelova difrakcija;
- v daljnem polju ali Fraunhoferjeva difrakcija.
Besede "daljno in bližnje polje" pomenijo razdaljo do zaslona, na katerem je opazen difrakcijski vzorec.
Prehod med Fraunhoferjevo in Fresnelovo difrakcijo lahko ocenimo z izračunom Fresnelovega števila za določen primer. Ta številka je opredeljena na naslednji način:
F=a2/(Dλ).
Tukaj je λ valovna dolžina svetlobe, D je razdalja do zaslona, a je velikost predmeta, na katerem se pojavi difrakcija.
Če je F<1, potem razmisliteže približki bližnjega polja.
Številni praktični primeri, vključno z uporabo uklonske rešetke, se upoštevajo v približku daljnega polja.
Koncept rešetke, na kateri se valovi lomijo
Ta rešetka je majhen ploščat predmet, na katerega je na nek način nanesena periodična struktura, kot so črte ali utori. Pomemben parameter takšne rešetke je število trakov na enoto dolžine (običajno 1 mm). Ta parameter se imenuje konstanta mreže. Nadalje ga bomo označili s simbolom N. Recipročna vrednost N določa razdaljo med sosednjimi trakovi. Označimo ga s črko d, nato pa:
d=1/N.
Ko ravni val pade na takšno rešetko, doživlja periodične motnje. Slednje se na zaslonu prikažejo v obliki določene slike, ki je posledica valovne interference.
Vrste rešetk
Obstajata dve vrsti difrakcijskih rešetk:
- mimo ali pregledno;
- odsevni.
Prve so narejene z nanosom neprozornih potez na steklo. S takšnimi ploščami delajo v laboratorijih, uporabljajo se v spektroskopih.
Druga vrsta, torej odsevne rešetke, so izdelane z nanosom periodičnih utorov na poliran material. Osupljiv vsakdanji primer takšne rešetke je plastični CD ali DVD disk.
mrežna enačba
Glede na Fraunhoferjevo difrakcijo na rešetki, lahko zapišemo naslednji izraz za intenzivnost svetlobe v uklonskem vzorcu:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, kjer je
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Parameter a je širina ene reže, parameter d pa je razdalja med njima. Pomembna značilnost izraza za I(θ) je kot θ. To je kot med sredinsko pravokotno na ravnino rešetke in določeno točko v uklonskem vzorcu. V poskusih se meri z goniometrom.
V predstavljeni formuli izraz v oklepaju določa uklon od ene reže, izraz v oglatih oklepajih pa je rezultat interference valov. Če ga analiziramo za pogoj interferenčnih maksimumov, lahko pridemo do naslednje formule:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Kot θ0 označuje vpadni val na rešetki. Če je valovna fronta vzporedna z njo, potem je θ0=0, zadnji izraz pa postane:
sin(θm)=mλ/d.
Ta formula se imenuje enačba uklonske rešetke. Vrednost m prevzame vsa cela števila, vključno z negativnimi in nič, imenujemo ji vrstni red uklona.
Analiza mrežastih enačb
V prejšnjem odstavku smo izvedelida je položaj glavnih maksimumov opisan z enačbo:
sin(θm)=mλ/d.
Kako ga je mogoče uporabiti v praksi? Uporablja se predvsem, ko se svetloba, ki vpade na difrakcijsko rešetko s periodo d, razgradi na posamezne barve. Daljša kot je valovna dolžina λ, večja bo kotna razdalja do maksimuma, ki ji ustreza. Merjenje ustreznega θm za vsak val vam omogoča, da izračunate njegovo dolžino in tako določite celoten spekter sevalnega predmeta. Če primerjamo ta spekter s podatki iz znane baze podatkov, lahko rečemo, kateri kemični elementi so ga oddajali.
Zgornji postopek se uporablja v spektrometrih.
ločljivost mreže
Pod pojmom je taka razlika med dvema valovnima dolžinama, ki se v difrakcijskem vzorcu pojavljata kot ločene črte. Dejstvo je, da ima vsaka črta določeno debelino, ko se dva valova z bližnjimi vrednostmi λ in λ + Δλ uklonita, se lahko črte, ki jim ustrezajo na sliki, združijo v eno. V slednjem primeru naj bi bila ločljivost rešetke manjša od Δλ.
Če izpustimo argumente v zvezi z izpeljavo formule za ločljivost rešetke, predstavljamo njeno končno obliko:
Δλ>λ/(mN).
Ta majhna formula nam omogoča sklepanje: z uporabo rešetke lahko ločimo bližje valovne dolžine (Δλ), daljša kot je valovna dolžina svetlobe λ, večje je število udarcev na enoto dolžine(konstanta mreže N) in višji je red difrakcije. Naj se zadržimo pri zadnjem.
Če pogledate difrakcijski vzorec, potem se s povečanjem m res poveča razdalja med sosednjimi valovnimi dolžinami. Vendar pa je za uporabo visokih difrakcijskih vrst potrebno, da je jakost svetlobe na njih zadostna za meritve. Na običajni difrakcijski rešetki hitro pade z naraščanjem m. Zato se za te namene uporabljajo posebne rešetke, ki so narejene tako, da prerazporedijo intenzivnost svetlobe v korist velikih m. Praviloma so to odsevne rešetke, na katerih je difrakcijski vzorec pridobljen za velike θ0.
Naprej razmislite o uporabi mrežaste enačbe za reševanje več težav.
Naloge za določanje uklonskih kotov, vrstnega reda uklona in konstante mreže
Navedimo primere reševanja več problemov:
Za določitev obdobja difrakcijske rešetke izvedemo naslednji poskus: vzamemo monokromatski svetlobni vir, katerega valovna dolžina je znana vrednost. S pomočjo leč se oblikuje vzporedna valovna fronta, torej se ustvarijo pogoji za Fraunhoferjevo difrakcijo. Nato se ta fronta usmeri na uklonsko rešetko, katere obdobje ni znano. Na dobljeni sliki so koti za različna naročila izmerjeni z goniometrom. Nato formula izračuna vrednost neznane dobe. Izvedemo ta izračun na konkretnem primeru
Naj je valovna dolžina svetlobe 500 nm in kot za prvi uklonski red 21o. Na podlagi teh podatkov je treba določiti obdobje uklonske rešetke d.
Z uporabo mrežaste enačbe izrazite d in vključite podatke:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Potem je konstanta mreže N:
N=1/d ≈ 714 vrstic na 1 mm.
Svetloba običajno pade na difrakcijsko rešetko s periodo 5 mikronov. Ker vemo, da je valovna dolžina λ=600 nm, je treba najti kote, pod katerimi se bodo pojavili maksimumi prvega in drugega reda
Za prvi maksimum dobimo:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Drugi maksimum se bo prikazal za kot θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Monokromatska svetloba pade na difrakcijsko rešetko s periodo 2 mikrona. Njegova valovna dolžina je 550 nm. Treba je ugotoviti, koliko difrakcijskih redov se bo pojavilo na nastali sliki na zaslonu
Ta tip problema se rešuje na naslednji način: najprej določite odvisnost kota θm od vrstnega reda difrakcije za pogoje problema. Po tem bo treba upoštevati, da sinusna funkcija ne more prevzeti vrednosti, večje od ena. Zadnje dejstvo nam bo omogočilo odgovor na ta problem. Naredimo opisana dejanja:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Ta enakost kaže, da ko je m=4, postane izraz na desni strani enak 1,1, pri m=3 pa bo enako 0,825. To pomeni, da lahko z uporabo uklonske rešetke s periodo 2 μm pri valovni dolžini 550 nm dobite največji 3. red uklona.
Problem izračuna ločljivosti rešetke
Predpostavimo, da bodo za poskus uporabili difrakcijsko rešetko s periodo 10 mikronov. Treba je izračunati, za kakšno najmanjšo valovno dolžino se lahko valovi v bližini λ=580 nm razlikujejo, tako da se na zaslonu prikažejo kot ločeni maksimumi.
Odgovor na ta problem je povezan z določitvijo ločljivosti obravnavane rešetke za dano valovno dolžino. Torej se lahko dva vala razlikujeta za Δλ>λ/(mN). Ker je konstanta mreže obratno sorazmerna s periodo d, lahko ta izraz zapišemo takole:
Δλ>λd/m.
Zdaj za valovno dolžino λ=580 nm zapišemo mrežasto enačbo:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Kjer dobimo, da bo največji vrstni red m 17. Če to število nadomestimo s formulo za Δλ, imamo:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 ali 0,00034 nm.
Dobili smo zelo visoko ločljivost, ko je obdobje difrakcijske rešetke 10 mikronov. V praksi se praviloma ne doseže zaradi nizkih intenzivnosti maksimumov visokih difrakcijskih redov.
