Kinematika je del fizike, ki upošteva zakone gibanja teles. Njegova razlika od dinamike je v tem, da ne upošteva sil, ki delujejo na gibajoče se telo. Ta članek je posvečen vprašanju kinematike rotacijskega gibanja.
Rotacijsko gibanje in njegova razlika od gibanja naprej
Če ste pozorni na okoliške premikajoče se predmete, lahko vidite, da se premikajo v ravni črti (avto vozi po cesti, letalo leti po nebu) ali v krogu (isti avto vstopi v zavoj, vrtenje kolesa). Bolj zapletene vrste gibanja predmetov se lahko v prvem približku zmanjšajo na kombinacijo obeh navedenih vrst.
Progresivno gibanje vključuje spreminjanje prostorskih koordinat telesa. V tem primeru se pogosto obravnava kot materialna točka (geometrijske dimenzije se ne upoštevajo).
Rotacijsko gibanje je vrsta gibanja, pri kateremsistem se giblje v krogu okoli neke osi. Poleg tega se predmet v tem primeru redko šteje za materialno točko, najpogosteje se uporablja drug približek - absolutno togo telo. Slednje pomeni, da so elastične sile, ki delujejo med atomi telesa, zanemarjene in se domneva, da se geometrijske dimenzije sistema med vrtenjem ne spreminjajo. Najenostavnejši primer je fiksna os.
Kinematika translacijskega in rotacijskega gibanja je podrejena istim Newtonovim zakonom. Podobne fizične količine se uporabljajo za opis obeh vrst gibanja.
Katere količine opisujejo gibanje v fiziki?
Kinematika rotacijskega in translacijskega gibanja uporablja tri osnovne količine:
- Prehojena pot. Označili ga bomo s črko L za translacijsko in θ - za rotacijsko gibanje.
- Hitrost. Za linearni primer se običajno piše z latinsko črko v, za gibanje po krožni poti - z grško črko ω.
- Pospešek. Za linearno in krožno pot se uporabljata simbola a in α.
Pojem trajektorije se prav tako pogosto uporablja. Toda za vrste gibanja predmetov, ki jih obravnavamo, postane ta koncept trivialen, saj je za translacijsko gibanje značilna linearna pot, rotacijsko pa s krogom.
Linearne in kotne hitrosti
Začnimo s kinematiko rotacijskega gibanja materialne točkegledano iz koncepta hitrosti. Znano je, da za translacijsko gibanje teles ta vrednost opisuje, katera pot bo premagana na enoto časa, to je:
v=L / t
V se meri v metrih na sekundo. Za vrtenje je neprijetno upoštevati to linearno hitrost, saj je odvisna od razdalje do osi vrtenja. Uvedena je nekoliko drugačna značilnost:
ω=θ / t
To je ena glavnih formul kinematike rotacijskega gibanja. Kaže, pod katerim kotom θ se bo celoten sistem obrnil okoli fiksne osi v času t.
Obe zgornji formuli odražata isti fizični proces hitrosti premikanja. Samo za linearni primer je pomembna razdalja, za krožni primer pa kot vrtenja.
Obe formuli medsebojno delujeta. Dajmo to povezavo. Če izrazimo θ v radianih, potem bo materialna točka, ki se vrti na razdalji R od osi, po enem obratu potovala po poti L=2piR. Izraz za linearno hitrost bo imel obliko:
v=L / t=2piR / t
Toda razmerje med radiani 2pi in časom t ni nič drugega kot kotna hitrost. Potem dobimo:
v=ωR
Od tu je razvidno, da večja kot je linearna hitrost v in manjši je polmer vrtenja R, večja je kotna hitrost ω.
Linearni in kotni pospeški
Druga pomembna značilnost kinematike rotacijskega gibanja materialne točke je kotni pospešek. Preden ga spoznamo, poglejmoformula za podobno linearno vrednost:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Prvi izraz odraža trenutni pospešek (dt ->0), medtem ko je druga formula ustrezna, če se hitrost spreminja enakomerno skozi čas Δt. Pospešek, dobljen v drugi varianti, se imenuje povprečje.
Glede na podobnost veličin, ki opisujejo linearno in rotacijsko gibanje, lahko za kotni pospešek zapišemo:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Razlaga teh formul je popolnoma enaka kot pri linearnem primeru. Edina razlika je v tem, da a prikazuje, koliko metrov na sekundo se spremeni hitrost na enoto časa, α pa kaže, za koliko radianov na sekundo se spremeni kotna hitrost v istem časovnem obdobju.
Poiščimo povezavo med temi pospeški. Če zamenjamo vrednost za v, izraženo z ω, v katero koli od dveh enakosti za α, dobimo:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Iz tega sledi, da manjši kot je polmer vrtenja in večji kot je linearni pospešek, večja je vrednost α.
Prevožena razdalja in kot zavoja
Preostalo je še podati formule za zadnjo od treh osnovnih količin v kinematiki rotacijskega gibanja okoli fiksne osi - za kot vrtenja. Kot v prejšnjih odstavkih, najprej zapišemo formulo za enakomerno pospešeno pravokotno gibanje, imamo:
L=v0 t + a t2 / 2
Popolna analogija z rotacijskim gibanjem vodi do naslednje formule:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Zadnji izraz vam omogoča, da dobite rotacijski kot za kateri koli čas t. Upoštevajte, da je obseg 2pi radiana (≈ 6,3 radiana). Če je kot rezultat reševanja problema vrednost θ večja od navedene vrednosti, potem je telo naredilo več kot en obrat okoli osi.
Formula za razmerje med L in θ je pridobljena z zamenjavo ustreznih vrednosti za ω0in α z linearnimi značilnostmi:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Nastali izraz odraža pomen samega kota θ v radianih. Če je θ=1 rad, potem je L=R, to pomeni, da kot en radian leži na loku dolžine en polmer.
Primer reševanja problemov
Rešimo naslednji problem rotacijske kinematike: vemo, da se avto giblje s hitrostjo 70 km/h. Ker vemo, da je premer njegovega kolesa D=0,4 metra, je treba zanj določiti vrednost ω, pa tudi število vrtljajev, ki jih bo naredil, ko bo avto prevozil razdaljo 1 kilometra.
Če želite poiskati kotno hitrost, je dovolj, da v formulo zamenjate znane podatke za povezavo z linearno hitrostjo, dobimo:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Podobno za kot θ, na katerega se bo kolo zasukalo po prehodu1 km, dobimo:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Glede na to, da je en obrat 6,2832 radiana, dobimo število vrtljajev kolesa, ki ustreza temu kotu:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 obratov.
Na vprašanja smo odgovorili s formulami v članku. Problem je bilo mogoče rešiti tudi na drugačen način: izračunati čas, za katerega bo avto prevozil 1 km, in ga nadomestiti s formulo za kot vrtenja, iz katere lahko dobimo kotno hitrost ω. Odgovor je najden.
