V šolskem tečaju geometrije trdnega telesa je ena najpreprostejših figur, ki nima ničelnih dimenzij vzdolž treh prostorskih osi, štirikotna prizma. V članku razmislite o tem, kakšna figura je, iz katerih elementov je sestavljena in tudi, kako lahko izračunate njeno površino in prostornino.
Koncept prizme
V geometriji je prizma prostorska figura, ki jo tvorita dve enaki bazi in stranski ploskvi, ki povezujeta stranice teh osnov. Upoštevajte, da se obe bazi preoblikujeta druga v drugo z operacijo vzporednega prevajanja z nekim vektorjem. Ta dodelitev prizme vodi k dejstvu, da so vse njene stranice vedno paralelogrami.
Število stranic osnove je lahko poljubno, začenši od treh. Ko se to število nagiba k neskončnosti, se prizma gladko spremeni v cilinder, saj njena osnova postane krog, stranski paralelogrami pa, ki se povezujejo, tvorijo valjasto površino.
Tako kot vsak polieder je tudi prizma značilnastranice (ravnine, ki omejujejo lik), robove (odseki, vzdolž katerih sekata kateri koli dve strani) in oglišča (stičišča treh stranic, pri prizmi sta dve stranski, tretja pa je osnova). Količine poimenovanih treh elementov slike so med seboj povezane z naslednjim izrazom:
P=C + B - 2
Tukaj so P, C in B število robov, stranic in vozlišč. Ta izraz je matematični zapis Eulerjevega izreka.
Zgornja slika prikazuje dve prizmi. Na dnu enega od njih (A) leži pravilen šesterokotnik, stranske stranice pa so pravokotne na osnove. Slika B prikazuje drugo prizmo. Njegove stranice niso več pravokotne na osnove, osnova pa je pravilen peterokotnik.
Kaj je štirikotna prizma?
Kot je razvidno iz zgornjega opisa, je tip prizme v prvi vrsti določen z vrsto mnogokotnika, ki tvori bazo (obe bazi sta enaki, zato lahko govorimo o eni izmed njih). Če je ta mnogokotnik paralelogram, dobimo štirikotno prizmo. Tako so vse stranice te vrste prizme paralelogrami. Štirikotna prizma ima svoje ime - paralelepiped.
Število stranic paralelepipeda je šest in vsaka stran ima podobno vzporednico. Ker sta osnova škatle dve strani, so preostale štiri stranske.
Število oglišč paralelepipeda je osem, kar je zlahka videti, če se spomnimo, da so oglišča prizme oblikovana samo na ogliščih osnovnih mnogokotnikov (4x2=8). Z uporabo Eulerjevega izreka dobimo število robov:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Od 12 reber so le 4 oblikovana neodvisno ob straneh. Preostalih 8 leži v ravninah osnov figure.
Nadaljnje v članku bomo govorili samo o štirikotnih prizmah.
Vrste paralelepipedov
Prva vrsta klasifikacije so značilnosti osnovnega paralelograma. Lahko izgleda takole:
- regular, katerega koti niso enaki 90o;
- pravokotnik;
- kvadrat je pravilen štirikotnik.
Druga vrsta klasifikacije je kot, pod katerim stran prečka bazo. Tukaj sta možna dva različna primera:
- ta kot ni raven, potem se prizma imenuje poševna ali poševna;
- kot je 90o, potem je taka prizma pravokotna ali samo ravna.
Tretja vrsta klasifikacije je povezana z višino prizme. Če je prizma pravokotna, osnova pa je kvadrat ali pravokotnik, se imenuje kvader. Če je na dnu kvadrat, je prizma pravokotna in je njena višina enaka dolžini stranice kvadrata, dobimo dobro znano figuro kocke.
Površina in površina prizme
Množica vseh točk, ki ležijo na dveh osnovah prizme(paralelogrami) in na njegovih straneh (štirje paralelogrami) tvorijo površino figure. Površino te površine lahko izračunamo z izračunom površine osnove in te vrednosti za stransko površino. Potem bo njihova vsota dala želeno vrednost. Matematično je to zapisano takole:
S=2So+ Sb
Tukaj sta So in Sb površina osnovne in stranske površine. Številka 2 pred So se pojavi, ker obstajata dve bazi.
Upoštevajte, da napisana formula velja za katero koli prizmo in ne samo za površino štirikotne prizme.
Korisno je opozoriti, da se površina paralelograma Sp izračuna po formuli:
Sp=ah
Kjer simbola a in h označujeta dolžino ene od njenih stranic oziroma višino, potegnjeno na to stran.
Površina pravokotne prizme s kvadratno osnovo
V pravilni štirikotni prizmi je osnova kvadrat. Zaradi določnosti njeno stran označimo s črko a. Če želite izračunati površino pravilne štirikotne prizme, morate poznati njeno višino. Po definiciji za to količino je enaka dolžini navpičnice, spuščene z ene osnove na drugo, torej enaka razdalji med njima. Označimo ga s črko h. Ker so vse stranske ploskve pravokotne na osnove za obravnavano vrsto prizme, bo višina pravilne štirikotne prizme enaka dolžini njenega stranskega roba.
BSplošna formula za površino prizme sta dva izraza. Območje osnove v tem primeru je enostavno izračunati, enako je:
So=a2
Za izračun površine stranske ploskve trdimo takole: to površino tvorijo 4 enaki pravokotniki. Poleg tega sta strani vsakega od njih enaki a in h. To pomeni, da bo površina Sb enaka:
Sb=4ah
Upoštevajte, da je produkt 4a obseg kvadratne osnove. Če ta izraz posplošimo na primer poljubne osnove, potem lahko za pravokotno prizmo stransko površino izračunamo na naslednji način:
Sb=Poh
Kjer je Po obseg osnove.
Če se vrnemo k problemu izračunavanja površine pravilne štirikotne prizme, lahko zapišemo končno formulo:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Območje poševnega paralelepipeda
Izračun je nekoliko težji kot pri pravokotnem. V tem primeru se osnovna površina štirikotne prizme izračuna po isti formuli kot za paralelogram. Spremembe zadevajo način določanja bočne površine.
Če želite to narediti, uporabite isto formulo po obodu, kot je podano v zgornjem odstavku. Le zdaj bo imel nekoliko drugačne množitelje. Splošna formula za Sb v primeru poševne prizme je:
Sb=Psrc
Tukaj je c dolžina stranskega roba figure. Vrednost Psr je obseg pravokotne rezine. To okolje je zgrajeno na naslednji način: vse stranske ploskve je treba presekati z ravnino, tako da je pravokotna na vse. Nastali pravokotnik bo želeni rez.
Zgornja slika prikazuje primer poševnega polja. Njegov prečno šrafirani del tvori s stranicami prave kote. Obseg odseka je Psr. Sestavljajo ga štiri višine stranskih paralelogramov. Za to štirikotno prizmo se stranska površina izračuna z zgornjo formulo.
dolžina diagonale kvadra
Diagonala paralelepipeda je segment, ki povezuje dve točki, ki nimata skupnih stranic, ki ju tvorita. V vsaki štirikotni prizmi so le štiri diagonale. Za kvader s pravokotnikom na dnu so dolžine vseh diagonal med seboj enake.
Spodnja slika prikazuje ustrezno številko. Rdeči segment je njegova diagonala.
Izračunavanje njegove dolžine je zelo preprosto, če se spomnite Pitagorejskega izreka. Vsak študent lahko dobi želeno formulo. Ima naslednjo obliko:
D=√(A2+ B2 + C2)
Tukaj je D dolžina diagonale. Preostali znaki so dolžine stranic polja.
Mnogi ljudje zamenjujejo diagonalo paralelepipeda z diagonalo njegovih stranic. Spodaj je slika, kjer je obarvanasegmenti predstavljajo diagonale stranic slike.
Dolžino vsakega od njih določa pitagorejski izrek in je enak kvadratnemu korenu vsote kvadratov ustreznih dolžin stranic.
prostornina prizme
Poleg površine navadne štirikotne prizme ali drugih vrst prizem, za reševanje nekaterih geometrijskih problemov, morate poznati tudi njihovo prostornino. Ta vrednost za absolutno katero koli prizmo se izračuna po naslednji formuli:
V=Soh
Če je prizma pravokotna, potem je dovolj, da izračunamo površino njene osnove in jo pomnožimo z dolžino roba stranice, da dobimo prostornino figure.
Če je prizma navadna štirikotna prizma, bo njena prostornina:
V=a2h.
Lahko je videti, da se ta formula pretvori v izraz za prostornino kocke, če je dolžina stranskega roba h enaka stranici osnove a.
Problem s kvadrom
Za utrjevanje preučenega gradiva bomo rešili naslednjo nalogo: obstaja pravokoten paralelepiped, katerega stranice so 3 cm, 4 cm in 5 cm. Treba je izračunati njegovo površino, dolžino diagonale in prostornino.
Za natančnost predpostavljamo, da je osnova figure pravokotnik s stranicama 3 cm in 4 cm. Potem je njegova površina 12 cm2, in točka je 14 cm. S formulo za površino prizme dobimo:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Za določitev dolžine diagonale in volumna figure lahko neposredno uporabite zgornje izraze:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Problem s poševnim paralelepipedom
Spodnja slika prikazuje poševno prizmo. Njegove stranice so enake: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Najti morate površino te figure.
Najprej določimo površino osnove. Slika prikazuje, da je ostri kot 50o. Potem je njegovo območje:
So=ha=sin(50o)ba
Če želite določiti površino stranske površine, morate najti obod zasenčenega pravokotnika. Strani tega pravokotnika sta asin(45o) in bsin(60o). Potem je obseg tega pravokotnika:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o)))
Skupna površina tega polja je:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Podatke iz pogoja težave nadomestimo z dolžino stranic figure, dobimo odgovor:
S=458, 5496 cm3
Iz rešitve tega problema je razvidno, da se za določanje območij poševnih številk uporabljajo trigonometrične funkcije.
