Matematika je v bistvu abstraktna znanost, če se oddaljimo od osnovnih pojmov. Torej, na nekaj jabolkah lahko vizualno prikažete osnovne operacije, ki so osnova matematike, a takoj, ko se ravnina dejavnosti razširi, ti predmeti postanejo nezadostni. Je kdo poskusil na jabolkah upodobiti operacije na neskončnih nizih? V tem je stvar, ne. Bolj zapleteni so postajali koncepti, s katerimi matematika operira v svojih sodbah, bolj problematičen se je zdel njihov vizualni izraz, ki bi bil zasnovan tako, da bi olajšal razumevanje. Vendar so bili za srečo tako sodobnih študentov kot znanosti nasploh izpeljani Eulerjevi krogi, katerih primere in možnosti bomo obravnavali v nadaljevanju.
Malo zgodovine
17. aprila 1707 je svet dal znanosti Leonharda Eulerja, izjemnega znanstvenika, katerega prispevka k matematiki, fiziki, ladjedelništvu in celo teoriji glasbe ni mogoče preceniti.
Njegova dela so še danes priznana in povpraševana po vsem svetu, kljub temu, da znanost ne miruje. Posebno zanimivo je dejstvo, da je gospod Euler neposredno sodeloval pri oblikovanju ruske višje matematične šole, še posebej, ker se je po volji usode dvakrat vrnil v našo državo. Znanstvenik je imel edinstveno sposobnost graditi algoritme, ki so bili po svoji logiki pregledni, odrezali so vse odvečno in se v najkrajšem možnem času premaknili od splošnega k posebnemu. Ne bomo naštevali vseh njegovih zaslug, saj bo to trajalo precej časa, in se bomo obrnili neposredno na temo članka. Prav on je predlagal uporabo grafičnega prikaza operacij na nizih. Eulerjevi krogi so sposobni vizualizirati rešitev katerega koli, tudi najbolj zapletenega problema.
Kaj je smisel?
V praksi se Eulerjevi krogi, katerih shema je prikazana spodaj, lahko uporabljajo ne samo v matematiki, saj koncept "množice" ni neločljiv samo v tej disciplini. Torej se uspešno uporabljajo v upravljanju.
Zgornji diagram prikazuje razmerja množic A (iracionalna števila), B (racionalna števila) in C (naravna števila). Krogi kažejo, da je množica C vključena v množico B, medtem ko se množica A z njimi nikakor ne seka. Primer je najpreprostejši, vendar jasno pojasnjuje posebnosti "odnosov množic", ki so preveč abstraktne za pravo primerjavo, čeprav le zaradi svoje neskončnosti.
Algebra logike
To območjematematična logika deluje s trditvami, ki so lahko resnične in napačne. Na primer, iz osnovnega: število 625 je deljivo s 25, število 625 je deljivo s 5, število 625 je pra. Prva in druga izjava sta resnična, zadnja pa napačna. Seveda je v praksi vse bolj zapleteno, vendar je bistvo jasno prikazano. In seveda so v rešitev spet vključeni Eulerjevi krogi, primeri z njihovo uporabo so preveč priročni in vizualni, da bi jih prezrli.
Malo teorije:
- Naj obstajata množici A in B in nista prazni, potem so zanju definirane naslednje operacije preseka, združitve in negacije.
- Presečišče množic A in B je sestavljeno iz elementov, ki hkrati pripadajo množici A in nizu B.
- Unijo množic A in B sestavljajo elementi, ki pripadajo množici A ali nizu B.
- Negacija množice A je množica, ki je sestavljena iz elementov, ki ne pripadajo množici A.
Vse to zopet opisujejo Eulerjevi krogi v logiki, saj z njihovo pomočjo postane vsaka naloga, ne glede na stopnjo kompleksnosti, očitna in nazorna.
Aksiomi algebre logike
Predpostavimo, da 1 in 0 obstajata in sta definirani v nizu A, potem:
- negacija negacije niza A je niz A;
- zveza niza A z not_A je 1;
- zveza niza A z 1 je 1;
- zveza množice A s samim seboj je množica A;
- zveza niza Az 0 je niz A;
- presek niza A z not_A je 0;
- presečišče množice A s samim seboj je niz A;
- presek niza A z 0 je 0;
- presečišče niza A z 1 je niz A.
Osnovne lastnosti algebre logike
Naj množici A in B obstajata in nista prazni, potem:
- za presečišče in združitev nizov A in B velja komutativni zakon;
- kombinacijski zakon velja za presečišče in združitev nizov A in B;
- distribucijsko pravo velja za presečišče in združitev nizov A in B;
- negacija presečišča množic A in B je presečišče negacij množic A in B;
- negacija unije množic A in B je unija negacij množic A in B.
Naslednje prikazuje Eulerjeve kroge, primere presečišča in združitve nizov A, B in C.
Možnosti
Dela Leonharda Eulerja upravičeno veljajo za osnovo sodobne matematike, zdaj pa se uspešno uporabljajo na področjih človeške dejavnosti, ki so se pojavila relativno nedavno, vzemimo na primer korporativno upravljanje: Eulerjevi krogi, primeri in grafi opisujejo mehanizme razvojni modeli, pa naj bo to ruska ali angleško-ameriška različica.
