Pri šolskem tečaju geometrije je ogromno časa namenjenega preučevanju trikotnikov. Učenci izračunajo kote, zgradijo simetrale in višine, ugotovijo, kako se oblike med seboj razlikujejo, in najlažje najdejo njihovo površino in obseg. Zdi se, da to v življenju nikakor ni uporabno, včasih pa je vseeno koristno vedeti, na primer, kako ugotoviti, da je trikotnik enakostranični ali topostranični. Kako to storiti?
Vrste trikotnikov
Tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti, in odseki, ki jih povezujejo. Zdi se, da je ta številka najpreprostejša. Kako lahko izgledajo trikotniki, če imajo samo tri stranice? Pravzaprav obstaja precej veliko možnosti, nekaterim pa je namenjena posebna pozornost kot del šolskega tečaja geometrije. Enakostranični trikotnik je enakostranični trikotnik, to pomeni, da so vsi njegovi koti in stranice enaki. Ima številne izjemne lastnosti, o katerih bomo razpravljali kasneje.
Ravnokraki ima samo dve enaki strani in je tudi precej zanimiv. V pravokotnih in topokotnih trikotnikih, kot morda uganete, je eden od kotov pravi ali tup. Prito so lahko tudi enakokraki.
Obstaja tudi posebna vrsta trikotnika, imenovana egipčanski. Njegove stranice so 3, 4 in 5 enot. Vendar pa je pravokotna. Menijo, da so tak trikotnik aktivno uporabljali egipčanski geodeti in arhitekti za izgradnjo pravih kotov. Verjame se, da so bile znamenite piramide zgrajene z njeno pomočjo.
Pa vendar lahko vsa oglišča trikotnika ležijo na eni ravni črti. V tem primeru se bo imenoval degeneriran, medtem ko se vsi drugi imenujejo nedegenerirani. So eden od predmetov študija geometrije.
enakostranični trikotnik
Seveda so pravilne številke vedno najbolj zanimive. Zdijo se bolj popolni, bolj graciozni. Formule za izračun njihovih značilnosti so pogosto enostavnejše in krajše kot za navadne številke. To velja tudi za trikotnike. Ni presenetljivo, da jim pri študiju geometrije namenjajo veliko pozornosti: šolarje učijo razlikovati pravilne figure od ostalih in spregovorijo tudi o nekaterih njihovih zanimivih značilnostih.
Znaki in lastnosti
Kot lahko uganete iz imena, je vsaka stranica enakostraničnega trikotnika enaka drugim dvema. Poleg tega ima številne funkcije, s katerimi je mogoče ugotoviti, ali je številka pravilna ali ne.
- vsi njegovi koti so enaki, njihova vrednost je 60 stopinj;
- simetrale, višine in mediane, narisane iz vsakega oglišča, so enake;
- pravilni trikotnik ima 3 osi simetrijese ne spremeni, ko se obrne za 120 stopinj.
- središče vpisanega kroga je tudi središče opisanega kroga in presečišče median, simetral, višin in pravokotnih simetral.
Če opazimo vsaj enega od zgornjih znakov, je trikotnik enakostranični. Za običajno številko držijo vse zgornje trditve.
Vsi trikotniki imajo številne izjemne lastnosti. Prvič, srednja črta, to je odsek, ki deli obe strani na polovico in je vzporeden s tretjo, je enak polovici osnove. Drugič, vsota vseh kotov te figure je vedno enaka 180 stopinj. Poleg tega je v trikotnikih še en zanimiv odnos. Torej, nasproti večje stranice leži večji kot in obratno. Toda to seveda nima nobene zveze z enakostraničnim trikotnikom, ker so vsi njegovi koti enaki.
Vpisani in obpisani krogi
Ni nenavadno, da se študentje pri tečaju geometrije naučijo tudi, kako lahko oblike medsebojno delujejo. Zlasti se preučujejo krogi, vpisani v poligone ali opisani okoli njih. Za kaj gre?
Vpisan krog je krog, pri katerem so vse strani mnogokotnika tangente. Opisano - tisto, ki ima stične točke z vsemi vogali. Za vsak trikotnik je vedno mogoče sestaviti tako prvi kot drugi krog, vendar le enega vsake vrste. Dokazi za ta dva
podani so teoremišolski tečaj geometrije.
Poleg izračuna parametrov samih trikotnikov nekatere naloge vključujejo tudi izračun polmerov teh krogov. In formule za enakostranični trikotnik izgledajo takole:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
kjer je r polmer vpisanega kroga, R polmer opisane kroge, a je dolžina stranice trikotnika.
Izračun višine, obsega in površine
Glavni parametri, ki jih izračunajo šolarji med študijem geometrije, ostanejo nespremenjeni za skoraj vsako številko. To so obseg, površina in višina. Za lažji izračun obstajajo različne formule.
Torej, obseg, to je dolžina vseh stranic, se izračuna na naslednje načine:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, kjer je a stranica pravilnega trikotnika, R je polmer opisane krožnice, r je vpisana kroga.
Višina:
h=(√ ̅3/2)a, kjer je a dolžina stranice.
Nazadnje je formula za površino enakostraničnega trikotnika izpeljana iz standardne formule, to je zmnožek polovice osnove in njene višine.
S=(√ ̅3/4)a2, kjer je a dolžina stranice.
Prav tako lahko to vrednost izračunamo s pomočjo parametrov opisanega ali vpisanega kroga. Za to obstajajo tudi posebne formule:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, kjer sta r in R oz. polmeri vpisani in opisani krogi.
zgradba
Še enZanimiva vrsta naloge, vključno s trikotniki, je povezana s potrebo po risanju ene ali druge figure z minimalnim naborom
orodja: kompas in ravnilo brez delitev.
Za sestavljanje pravega trikotnika samo s temi orodji je potrebnih nekaj korakov.
- Narisati morate krog s poljubnim polmerom in s središčem na poljubni točki A. Označen mora biti.
- Naprej morate skozi to točko narisati ravno črto.
- Presečišča kroga in ravne črte morajo biti označena kot B in C. Vse konstrukcije morajo biti izvedene z največjo možno natančnostjo.
- Naprej morate zgraditi še en krog z enakim polmerom in središčem v točki C ali lok z ustreznimi parametri. Križišča bodo označena kot D in F.
- Točke B, F, D morajo biti povezane s segmenti. Konstruiran je enakostranični trikotnik.
Reševanje tovrstnih težav je običajno težava za šolarje, vendar je ta veščina lahko uporabna v vsakdanjem življenju.
