Napredek človeštva je v veliki meri posledica odkritij genijev. Eden izmed njih je Blaise Pascal. Njegova ustvarjalna biografija še enkrat potrjuje resničnost izraza Liona Feuchtwangerja "Nadarjena oseba, nadarjena v vsem." Vse znanstvene dosežke tega velikega znanstvenika je težko prešteti. Med njimi je eden najelegantnejših izumov v svetu matematike - Pascalov trikotnik.
Nekaj besed o geniju
Blaise Pascal je po sodobnih standardih umrl zgodaj, v starosti 39 let. Vendar se je v svojem kratkem življenju odlikoval kot izjemen fizik, matematik, filozof in pisatelj. Hvaležni potomci so mu v čast poimenovali enoto pritiska in priljubljeni programski jezik Pascal. Uporablja se že skoraj 60 let za učenje pisanja različnih kod. Na primer, z njegovo pomočjo lahko vsak študent napiše program za izračun površine trikotnika v Pascalu, pa tudi razišče lastnosti vezja, približnoo katerem bomo razpravljali v nadaljevanju.
Dejavnost tega znanstvenika z izjemnim razmišljanjem se razteza na najrazličnejših področjih znanosti. Zlasti Blaise Pascal je eden od ustanoviteljev hidrostatike, matematične analize, nekaterih področij geometrije in teorije verjetnosti. Tudi on:
- ustvarili mehanski kalkulator, znan kot Pascalovo kolo;
- zagotovil eksperimentalne dokaze, da ima zrak elastičnost in težo;
- ugotovljeno, da se lahko barometer uporablja za napovedovanje vremena;
- izumil samokolnico;
- izumil omnibus - konjske vprege s fiksnimi potmi, ki so kasneje postale prva vrsta rednega javnega prevoza, itd.
Pascalov aritmetični trikotnik
Kot že omenjeno, je ta veliki francoski znanstvenik ogromno prispeval k matematični znanosti. Ena njegovih absolutnih znanstvenih mojstrovin je "Razprava o aritmetičnem trikotniku", ki je sestavljena iz binomskih koeficientov, razporejenih v določenem vrstnem redu. Lastnosti te sheme so presenetljive v svoji raznolikosti, sama pa potrjuje pregovor "Vse genialno je preprosto!".
Malo zgodovine
Po pravici je treba povedati, da je bil Pascalov trikotnik v Evropi znan že v začetku 16. stoletja. Zlasti njegovo podobo lahko vidimo na naslovnici aritmetičnega učbenika slavnega astronoma Petra Apiana z univerze v Ingolstadtu. Podoben trikotnik je prikazan tudi kot ilustracija.v knjigi kitajskega matematika Yang Huija, ki je izšla leta 1303. Njegovih lastnosti se je v začetku 12. stoletja zavedal tudi izjemen perzijski pesnik in filozof Omar Khayyam. Poleg tega se domneva, da ga je spoznal iz razprav arabskih in indijskih znanstvenikov, napisanih prej.
Opis
Preden raziščemo najbolj zanimive lastnosti Pascalovega trikotnika, lepega v svoji popolnosti in preprostosti, je vredno vedeti, kaj je.
Znanstveno gledano je ta numerična shema neskončna trikotna tabela, sestavljena iz binomskih koeficientov, razporejenih v določenem vrstnem redu. Na njegovem vrhu in ob straneh so številke 1. Preostale položaje zasedajo številke, ki so enake vsoti dveh številk, ki se nahajata nad njima drug poleg drugega. Poleg tega so vse premice Pascalovega trikotnika simetrične glede na njegovo navpično os.
Osnovne funkcije
Pascalov trikotnik preseneča s svojo popolnostjo. Za katero koli vrstico s številko n (n=0, 1, 2…) velja:
- prva in zadnja številka sta 1;
- drugi in predzadnji - n;
- tretje število je enako trikotnemu številu (število krogov, ki jih je mogoče razporediti v enakostranični trikotnik, tj. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Četrto število je tetraedrično, t.j. je piramida s trikotnikom na dnu.
Poleg tega je bila relativno nedavno, leta 1972, ugotovljena še ena lastnost Pascalovega trikotnika. Da bi zanjče želite izvedeti, morate elemente te sheme napisati v obliki tabele s premikom vrstice za 2 položaja. Nato zapišite številke, deljive s številko vrstice. Izkazalo se je, da je številka stolpca, v katerem so označene vse številke, praštevilo.
Isti trik je mogoče izvesti na drug način. Da bi to naredili, se v Pascalovem trikotniku številke nadomestijo z ostanki njihove delitve s številko vrstice v tabeli. Nato so vrstice razporejene v nastali trikotnik tako, da se naslednja začne 2 stolpca desno od prvega elementa prejšnjega. Potem bodo stolpci s številkami, ki so praštevila, sestavljeni samo iz ničel, tisti s sestavljenimi številkami pa bodo vsebovali vsaj eno ničlo.
Povezava z Newtonovim binomom
Kot veste, je to ime formule za razširitev v izraze nenegativnega celega potenca vsote dveh spremenljivk, ki izgleda takole:
V njih prisotni koeficienti so enaki C m =n! / (m! (n - m)!), kjer je m redna številka v vrstici n Pascalovega trikotnika. Z drugimi besedami, če imate to tabelo pri roki, lahko poljubno število z lahkoto dvignete na potencio, tako da jih predhodno razgradite na dva izraza.
Tako sta Pascalov trikotnik in Newtonov binom tesno povezana.
Math Wonders
Natančen pregled Pascalovega trikotnika razkrije, da:
- vsota vseh številk v vrstici zserijska številka n (šteje od 0) je 2;
- če so vrstice poravnane levo, so vsote števil, ki se nahajajo vzdolž diagonal Pascalovega trikotnika, od spodaj navzgor in od leve proti desni, enake Fibonaccijevim številkam;
- prva "diagonala" je sestavljena iz naravnih števil po vrstnem redu;
- vsak element iz Pascalovega trikotnika, zmanjšan za eno, je enak vsoti vseh števil, ki se nahajajo znotraj paralelograma, ki je omejen z levo in desno diagonali, ki se sekata na tem številu;
- v vsaki vrstici diagrama je vsota števil na sodih mestih enaka vsoti elementov na lihih mestih.
Sierpinski trikotnik
Tako zanimivo matematično shemo, ki je precej obetavna v smislu reševanja kompleksnih problemov, dobimo z barvanjem sodih številk Pascalove slike v eno barvo, lihih pa v drugo.
Trikotnik Sierpinskega je mogoče zgraditi na drug način:
- v osenčeni pascal shemi je srednji trikotnik prebarvan v drugo barvo, ki nastane s povezovanjem središč stranic prvotnega;
- naredi popolnoma enako s tremi nepobarvanimi, ki se nahajajo v vogalih;
- če se postopek nadaljuje za nedoločen čas, naj bo rezultat dvobarvna številka.
Najbolj zanimiva lastnost trikotnika Sierpinskega je njegova samopodobnost, saj je sestavljen iz 3 njegovih kopij, ki so zmanjšane za 2-krat. Omogoča nam, da to shemo pripišemo fraktalnim krivuljam in jih, kot kažejo najnovejšeraziskave so najbolj primerne za matematično modeliranje oblakov, rastlin, rečnih delt in vesolja samega.
Več zanimivih nalog
Kje se uporablja Pascalov trikotnik? Primeri nalog, ki jih je mogoče rešiti z njegovo pomočjo, so precej raznoliki in spadajo v različna področja znanosti. Oglejmo si nekaj bolj zanimivih.
Problem 1. Nekaj velikega mesta, obdanega z obzidjem trdnjave, ima samo ena vhodna vrata. Na prvem križišču se glavna cesta razdeli na dva dela. Enako se zgodi na katerem koli drugem. V mesto vstopi 210 ljudi. Na vsakem križišču, s katerim se srečata, sta razdeljena na pol. Koliko ljudi se bo našlo na posameznem križišču, ko ne bo več mogoče deliti. Njen odgovor je 10. vrstica Pascalovega trikotnika (formula koeficienta je predstavljena zgoraj), kjer se števila 210 nahajajo na obeh straneh navpične osi.
Naloga 2. Obstaja 7 imen barv. Narediti morate šopek iz 3 cvetov. Treba je ugotoviti, na koliko različnih načinov je to mogoče storiti. Ta problem je s področja kombinatorike. Da ga rešimo, ponovno uporabimo Pascalov trikotnik in dobimo v 7. vrstici na tretjem mestu (številčenje v obeh primerih od 0) številko 35.
Zdaj veste, kaj je izumil veliki francoski filozof in znanstvenik Blaise Pascal. Njegov slavni trikotnik ob pravilni uporabi lahko postane pravi rešilec za reševanje številnih problemov, zlasti s terena.kombinatorika. Poleg tega se lahko uporablja za reševanje številnih skrivnosti, povezanih s fraktali.
