Ko morate reševati probleme iz fizike o gibanju predmetov, se pogosto izkaže, da je koristno uporabiti zakon o ohranitvi zagona. Kakšen je zagon za linearno in krožno gibanje telesa in kaj je bistvo zakona o ohranjanju te vrednosti, je obravnavano v članku.
Koncept linearnega zagona
Zgodovinski podatki kažejo, da je to vrednost prvič obravnaval v svojih znanstvenih delih Galileo Galilei v začetku 17. stoletja. Kasneje je Isaac Newton uspel harmonično integrirati koncept zagona (bolj pravilno ime za zagon) v klasično teorijo gibanja predmetov v prostoru.
Označimo zagon kot p¯, potem bo formula za njegov izračun zapisana kot:
p¯=mv¯.
Tukaj je m masa, v¯ je hitrost (vektorska vrednost) gibanja. Ta enakost kaže, da je količina gibanja hitrostna značilnost predmeta, pri čemer ima masa vlogo multiplikacijskega faktorja. Število gibanjaje vektorska količina, ki kaže v isto smer kot hitrost.
Intuitivno, večja kot je hitrost gibanja in masa telesa, težje ga je ustaviti, torej večjo kinetično energijo ima.
Količina gibanja in njena sprememba
Lahko uganete, da morate za spremembo p¯ vrednosti telesa uporabiti nekaj sile. Naj v časovnem intervalu Δt deluje sila F¯, potem Newtonov zakon omogoča, da zapišemo enakost:
F¯Δt=ma¯Δt; zato F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Vrednost, enaka zmnožku časovnega intervala Δt in sile F¯, se imenuje impulz te sile. Ker se izkaže, da je enak spremembi zagona, se slednji pogosto imenuje preprosto zagon, kar nakazuje, da ga je ustvarila neka zunanja sila F¯.
Tako je razlog za spremembo zagona zagon zunanje sile. Vrednost Δp¯ lahko vodi do povečanja vrednosti p¯, če je kot med F¯ in p¯ oster, in do zmanjšanja modula p¯, če je ta kot tup. Najpreprostejša primera sta pospešek telesa (kot med F¯ in p¯ je nič) in njegov pojemek (kot med vektorjema F¯ in p¯ je 180o).
Ko je zagon ohranjen: zakon
Če telesni sistem nidelujejo zunanje sile in vsi procesi v njem so omejeni le z mehansko interakcijo njegovih komponent, potem vsaka komponenta zagona ostane poljubno dolgo nespremenjena. To je zakon o ohranitvi gibalne količine teles, ki je matematično zapisan takole:
p¯=∑ipi¯=const ali
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=konst.
Predpis i je celo število, ki našteva objekt sistema, indeksi x, y, z pa opisujejo komponente zagona za vsako od koordinatnih osi v kartezijanskem pravokotnem sistemu.
V praksi je pogosto treba reševati enodimenzionalne probleme za trčenje teles, ko so znani začetni pogoji in je treba določiti stanje sistema po udarcu. V tem primeru je zagon vedno ohranjen, česar ne moremo reči o kinetični energiji. Slednji pred in po udarcu bo nespremenjen le v enem primeru: ko pride do absolutno elastične interakcije. Za ta primer trka dveh teles, ki se premikata s hitrostmi v1 in v2,bo formula za ohranitev zagona imela obliko:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Tukaj hitrosti u1 in u2 označujeta gibanje teles po udarcu. Upoštevajte, da je pri tej obliki zakona o ohranjanju treba upoštevati predznak hitrosti: če so usmerjeni drug proti drugemu, je treba vzeti enegapozitivno in drugo negativno.
Za popolnoma neelastičen trk (dve telesi se po trku držita skupaj) ima zakon o ohranitvi zagona obliko:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Rešitev problema o zakonu ohranjanja p¯
Rešimo naslednji problem: dve kroglici se kotitata druga proti drugi. Masi kroglic sta enaki, njuni hitrosti pa 5 m/s in 3 m/s. Ob predpostavki, da pride do absolutno elastičnega trka, je treba poiskati hitrosti kroglic za njim.
Z uporabo zakona o ohranjanju zagona za enodimenzionalni primer in ob upoštevanju, da se kinetična energija po udarcu ohrani, zapišemo:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Tukaj smo nemudoma zmanjšali mase kroglic zaradi njihove enakosti, upoštevali pa smo tudi dejstvo, da se telesa premikata drug proti drugemu.
Lažje je nadaljevati reševanje sistema, če zamenjate znane podatke. Dobimo:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Če v drugo enačbo nadomestimo u1, dobimo:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; torej,u22- 2u2 - 15=0.
Dobili smo klasično kvadratno enačbo. Rešimo ga preko diskriminanta, dobimo:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Imamo dve rešitvi. Če jih nadomestimo v prvi izraz in definiramo u1, dobimo naslednjo vrednost: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Drugi par številk je podan v pogoju problema, zato ne ustreza realni porazdelitvi hitrosti po udarcu.
Tako ostane samo ena rešitev: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Ta nenavaden rezultat pomeni, da pri centralnem elastičnem trku dve krogli enake mase preprosto izmenjujeta hitrosti.
trenutek zagona
Vse, kar je bilo rečeno zgoraj, se nanaša na linearni tip gibanja. Izkaže pa se, da se podobne količine lahko uvedejo tudi v primeru krožnega premika teles okoli določene osi. Kotni moment, ki ga imenujemo tudi kotni moment, se izračuna kot produkt vektorja, ki povezuje materialno točko z osjo vrtenja in zagona te točke. To pomeni, da se zgodi formula:
L¯=r¯p¯, kjer je p¯=mv¯.
Moment, tako kot p¯, je vektor, ki je usmerjen pravokotno na ravnino, zgrajeno na vektorjih r¯ in p¯.
Vrednost L¯ je pomembna lastnost vrtljivega sistema, saj določa energijo, ki je shranjena v njem.
Moment zagona in zakon o ohranjanju
Kotna količina se ohrani, če na sistem ne delujejo zunanje sile (običajno pravijo, da moment sil ni). Izraz v prejšnjem odstavku lahko s preprostimi transformacijami zapišemo v obliki, ki je bolj primerna za prakso:
L¯=Iω¯, kjer je I=mr2 vztrajnostni moment materialne točke, ω¯ je kotna hitrost.
Vztrajnostni moment I, ki se pojavi v izrazu, ima za vrtenje popolnoma enak pomen kot običajna masa za linearno gibanje.
Če pride do kakršne koli notranje preureditve sistema, v kateri se spremeni I, potem tudi ω¯ ne ostane konstanten. Poleg tega se sprememba obeh fizikalnih količin zgodi tako, da spodnja enakost ostane veljavna:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
To je zakon o ohranitvi kotne količine L¯. Njegovo manifestacijo je opazil vsak, ki je vsaj enkrat obiskoval balet ali umetnostno drsanje, kjer športniki izvajajo piruete z rotacijo.
