Verjetno je pojem izpeljanke vsakemu izmed nas znan že od šole. Običajno imajo študentje težave pri razumevanju te, nedvomno zelo pomembne stvari. Aktivno se uporablja na različnih področjih življenja ljudi, številni inženirski razvoji pa so temeljili prav na matematičnih izračunih, pridobljenih z uporabo izpeljanke. Toda preden nadaljujemo z analizo, kaj so izpeljanke števil, kako jih izračunati in kje so za nas koristne, se potopimo v zgodovino.
Zgodovina
Koncept izpeljanke, ki je osnova matematične analize, je odkril (bolje bi bilo reči "izumljen", ker v naravi kot takega ni obstajal) je Isaac Newton, ki ga vsi poznamo od odkritja zakona univerzalne gravitacije. On je bil tisti, ki je prvi uporabil ta koncept v fiziki, da bi povezal naravo hitrosti in pospeška teles. In mnogi znanstveniki še vedno hvalijo Newtona za ta veličasten izum, saj je v resnici izumil osnovo diferencialnega in integralnega računa, pravzaprav osnovo celotnega področja matematike, imenovanega "račun". Če bi takrat Nobelovo nagrado, bi jo Newton z veliko verjetnostjo prejel večkrat.
Ne brez drugih velikih umov. Razen Newtonatako eminentni matematični geniji, kot so Leonhard Euler, Louis Lagrange in Gottfried Leibniz, so delali na razvoju izpeljanke in integrala. Po njihovi zaslugi smo prejeli teorijo diferencialnega računa v obliki, v kateri obstaja do danes. Mimogrede, prav Leibniz je odkril geometrijski pomen izpeljanke, za katerega se je izkazalo, da ni nič drugega kot tangenta naklona tangente na graf funkcije.
Kaj so izpeljanke števil? Ponovimo malo, kaj smo šli v šoli.
Kaj je izpeljanka?
Ta koncept je mogoče definirati na več različnih načinov. Najenostavnejša razlaga je, da je izpeljanka stopnja spremembe funkcije. Predstavljajte si graf neke funkcije y od x. Če ni ravno, ima na grafu nekaj krivulj, obdobja povečanja in padanja. Če vzamemo nek neskončno majhen interval tega grafa, bo to ravna črta. Torej bo razmerje velikosti tega neskončno majhnega segmenta vzdolž koordinate y do velikosti vzdolž koordinate x izpeljanka te funkcije v dani točki. Če upoštevamo funkcijo kot celoto in ne na določeni točki, bomo dobili izpeljano funkcijo, to je določeno odvisnost y od x.
Poleg fizičnega pomena izpeljanke kot stopnje spremembe funkcije obstaja tudi geometrijski pomen. Zdaj bomo govorili o njem.
geometrijski smisel
Izpeljanke števil same predstavljajo določeno število, ki brez ustreznega razumevanja ne nosinima smisla. Izkazalo se je, da izvod ne kaže le stopnje rasti ali zmanjšanja funkcije, temveč tudi tangento naklona tangente na graf funkcije v dani točki. Ni zelo jasna definicija. Analizirajmo ga podrobneje. Recimo, da imamo graf funkcije (za zanimanje vzemimo krivuljo). Ima neskončno število točk, vendar obstajajo področja, kjer ima samo ena točka največ ali minimum. Skozi vsako tako točko je mogoče narisati premico, ki bi bila pravokotna na graf funkcije v tej točki. Taka premica se imenuje tangenta. Recimo, da smo ga porabili do križišča z osjo OX. Torej bo kot, dobljen med tangento in osjo OX, določen z izvodom. Natančneje, tangent tega kota bo enak temu.
Pogovorimo se malo o posebnih primerih in analizirajmo izpeljanke števil.
Posebni primeri
Kot smo že rekli, so izpeljanke števil vrednosti izpeljanke na določeni točki. Vzemimo za primer funkcijo y=x2. Odvod x je število, v splošnem primeru pa funkcija, enaka 2x. Če moramo izračunati izvod, recimo, v točki x0=1, potem dobimo y'(1)=21=2. Vse je zelo preprosto. Zanimiv primer je izpeljanka kompleksnega števila. Ne bomo se spuščali v podrobno razlago, kaj je kompleksno število. Recimo, da je to število, ki vsebuje tako imenovano imaginarno enoto – število, katerega kvadrat je -1. Izračun takšne izpeljanke je možen le, če je naslednjepogoji:
1) Obstajati morajo delne izpeljanke prvega reda iz realnega in namišljenega dela glede na Y in X.
2) Izpolnjeni so Cauchy-Riemannovi pogoji, povezani z enakostjo delnih izpeljank, opisanimi v prvem odstavku.
Drug zanimiv primer, čeprav ni tako zapleten kot prejšnji, je izpeljanka negativnega števila. Pravzaprav lahko vsako negativno število predstavimo kot pozitivno število, pomnoženo z -1. No, izpeljanka konstante in funkcije je enaka konstanti, pomnoženi z izpeljavo funkcije.
Zanimivo bo izvedeti o vlogi izpeljanke v vsakdanjem življenju in o tem bomo zdaj razpravljali.
Prijava
Verjetno se vsak od nas vsaj enkrat v življenju zaloti, da misli, da mu matematika verjetno ne bo koristna. In tako zapletena stvar, kot je izpeljanka, verjetno sploh nima uporabe. Pravzaprav je matematika temeljna znanost, vse njene sadove pa razvijajo predvsem fizika, kemija, astronomija in celo ekonomija. Izpeljanka je bila začetek matematične analize, ki nam je dala možnost sklepanja iz grafov funkcij in naučili smo se razlagati zakone narave in jih zahvaljujoč temu obrniti sebi v prid.
Sklep
Seveda morda vsi ne potrebujejo izpeljanke v resničnem življenju. Toda matematika razvija logiko, ki bo zagotovo potrebna. Matematiko ne zaman imenujejo kraljica znanosti: predstavlja osnovo za razumevanje drugih področij znanja.
