Matematični problemi se uporabljajo v številnih znanostih. Sem ne spadajo le fizika, kemija, inženiring in ekonomija, ampak tudi medicina, ekologija in druge discipline. Eden od pomembnih konceptov, ki jih je treba obvladati, da bi našli rešitve za pomembne dileme, je izpeljanka funkcije. Fizičnega pomena tega sploh ni tako težko razložiti, kot se morda zdi nepoučenim v bistvu vprašanja. Dovolj je le najti primerne primere tega v resničnem življenju in običajnih vsakdanjih situacijah. Pravzaprav se vsak avtomobilist vsak dan spopada s podobno nalogo, ko pogleda na merilnik hitrosti, ki določa hitrost svojega avtomobila v določenem trenutku določenega časa. Navsezadnje je v tem parametru bistvo fizičnega pomena izpeljanke.
Kako najti hitrost
Določi hitrost osebe na cesti, saj pozna prevoženo razdaljo in čas potovanja, lahko vsak petošolec zlahka. Če želite to narediti, se prva od danih vrednosti deli z drugo. Ampakvsak mlad matematik ne ve, da trenutno išče razmerje prirastkov funkcije in argumenta. Dejansko, če si predstavljamo gibanje v obliki grafa, ki izriše pot vzdolž y-osi in čas vzdolž abscise, bo točno tako.
Vendar pa se lahko hitrost pešca ali katerega koli drugega predmeta, ki ga določimo na velikem odseku poti, glede na enakomerno gibanje, zelo spremeni. V fiziki obstaja veliko oblik gibanja. Izvaja se lahko ne le s stalnim pospeševanjem, temveč poljubno upočasnjuje in povečuje. Upoštevati je treba, da v tem primeru črta, ki opisuje gibanje, ne bo več ravna črta. Grafično lahko prevzame najbolj zapletene konfiguracije. Toda za katero koli točko na grafu lahko vedno narišemo tangento, ki jo predstavlja linearna funkcija.
Za pojasnitev parametra spremembe premika glede na čas je potrebno skrajšati izmerjene segmente. Ko postanejo neskončno majhne, bo izračunana hitrost takojšnja. Ta izkušnja nam pomaga definirati izpeljanko. Iz takega sklepanja logično sledi tudi njegov fizični pomen.
V smislu geometrije
Vemo, da večja kot je hitrost telesa, strmejši je graf odvisnosti premika od časa in s tem nagibnega kota tangente na graf v določeni točki. Indikator takšnih sprememb je lahko tangenta kota med osjo x in tangento. Samo določa vrednost izpeljanke in se izračuna z razmerjem dolžinnasproti sosednjega kraka v pravokotnem trikotniku, ki ga tvori navpičnica, spuščena iz neke točke na os x.
To je geometrijski pomen prve izpeljanke. Fizični se razkrije v tem, da je vrednost nasprotne noge v našem primeru prevožena razdalja, sosednje pa čas. Njihovo razmerje je hitrost. In spet pridemo do zaključka, da je trenutna hitrost, določena, ko se obe vrzeli nagibata k neskončno majhni, bistvo koncepta derivata, ki kaže na njegov fizični pomen. Druga izpeljanka v tem primeru bo pospešek telesa, ki posledično kaže hitrost spremembe hitrosti.
Primeri iskanja izpeljank v fiziki
Izpeljanka je pokazatelj hitrosti spreminjanja katere koli funkcije, tudi če ne govorimo o gibanju v dobesednem pomenu besede. Da to jasno pokažemo, vzemimo nekaj konkretnih primerov. Recimo, da se moč toka, odvisno od časa, spreminja po naslednjem zakonu: I=0, 4t2. Treba je najti vrednost hitrosti, s katero se ta parameter spremeni ob koncu 8. sekunde procesa. Upoštevajte, da se sama želena vrednost, kot je mogoče soditi iz enačbe, nenehno povečuje.
Če želite to rešiti, morate najti prvo izpeljanko, katere fizični pomen je bil obravnavan prej. Tukaj je dI / dt=0,8t. Nato ga najdemo pri t \u003d 8, dobimo, da je hitrost spreminjanja trenutne jakosti 6,4 A / c. Tukaj se šteje, datok se meri v amperih, čas pa v sekundah.
Vse se spremeni
Vidni okoliški svet, sestavljen iz materije, se nenehno spreminja in je v gibanju različnih procesov, ki se v njem dogajajo. Za njihov opis je mogoče uporabiti različne parametre. Če jih združuje odvisnost, potem so matematično zapisani kot funkcija, ki jasno kaže njihove spremembe. In kjer je gibanje (v kakršni koli obliki je izraženo), obstaja tudi izpeljanka, o fizičnem pomenu katere trenutno razmišljamo.
Ob tej priložnosti naslednji primer. Recimo, da se telesna temperatura spreminja po zakonu T=0, 2 t 2. Stopnjo segrevanja bi morali najti ob koncu 10. sekunde. Problem je rešen na podoben način kot v prejšnjem primeru. To pomeni, da najdemo izpeljanko in vanjo nadomestimo vrednost za t=10, dobimo T=0, 4 t=4. To pomeni, da je končni odgovor 4 stopinje na sekundo, torej proces ogrevanja in sprememba temperature, merjena v stopinjah, se zgodi ravno pri takšni hitrosti.
Reševanje praktičnih problemov
Seveda je v resničnem življenju vse veliko bolj zapleteno kot pri teoretičnih problemih. V praksi se vrednost količin običajno določi med poskusom. V tem primeru se uporabljajo instrumenti, ki dajejo odčitke med meritvami z določeno napako. Zato se je treba pri izračunih ukvarjati s približnimi vrednostmi parametrov in se zateči k zaokroževanju neprijetnih številk,kot tudi druge poenostavitve. Ob upoštevanju tega bomo ponovno nadaljevali s težavami o fizičnem pomenu izpeljanke, saj so le neke vrste matematični model najkompleksnejših procesov, ki se dogajajo v naravi.
Izbruh vulkana
Predstavljajmo si, da izbruhne vulkan. Kako nevaren je lahko? Za odgovor na to vprašanje je treba upoštevati številne dejavnike. Enega od njih bomo poskušali ugoditi.
Iz ustja "ognjene pošasti" se metali kamni navpično navzgor, ki imajo začetno hitrost od trenutka, ko izstopijo do zunanje strani 120 m/s. Treba je izračunati, koliko lahko dosežejo največjo višino.
Za iskanje želene vrednosti bomo sestavili enačbo za odvisnost višine H, merjene v metrih, od drugih vrednosti. Ti vključujejo začetno hitrost in čas. Vrednost pospeška velja za znano in je približno enaka 10 m/s2.
Delna izpeljanka
Sedaj si oglejmo fizični pomen izpeljanke funkcije iz nekoliko drugačnega zornega kota, saj enačba sama lahko vsebuje ne eno, ampak več spremenljivk. Na primer, v prejšnjem problemu je bila odvisnost višine kamnov, izvrženih iz odprtine vulkana, določena ne le s spremembo časovnih značilnosti, temveč tudi z vrednostjo začetne hitrosti. Slednje je veljalo za konstantno, fiksno vrednost. Toda pri drugih nalogah s popolnoma drugačnimi pogoji bi bilo lahko vse drugače. Če količine, na katerih kompleksfunkcija, več, izračuni so narejeni po spodnjih formulah.
Fizični pomen pogoste izpeljanke je treba določiti kot v običajnem primeru. To je hitrost, s katero se funkcija spremeni na določeni točki, ko se parameter spremenljivke poveča. Izračuna se tako, da se vse ostale komponente vzamejo kot konstante, le ena se šteje za spremenljivko. Potem se vse zgodi po običajnih pravilih.
Nepogrešljiv svetovalec pri mnogih vprašanjih
Ob razumevanju fizičnega pomena izpeljanke ni težko podati primerov reševanja zapletenih in kompleksnih problemov, v katerih je s takšnim znanjem mogoče najti odgovor. Če imamo funkcijo, ki opisuje porabo goriva glede na hitrost avtomobila, lahko izračunamo, pri katerih parametrih slednjega bo poraba bencina najmanjša.
V medicini lahko predvidite, kako se bo človeško telo odzvalo na zdravilo, ki vam ga predpiše zdravnik. Jemanje zdravila vpliva na različne fiziološke parametre. Sem spadajo spremembe krvnega tlaka, srčnega utripa, telesne temperature in še več. Vsi so odvisni od odmerka zaužitega zdravila. Ti izračuni pomagajo napovedati potek zdravljenja, tako pri ugodnih manifestacijah kot pri neželenih nesrečah, ki lahko usodno vplivajo na spremembe v bolnikovem telesu.
Nedvomno je pomembno razumeti fizični pomen izpeljanke v tehničnihvprašanja, zlasti v elektrotehniki, elektroniki, projektiranju in gradnji.
Zavorna razdalja
Razmislimo o naslednjem problemu. Ko se je gibal s konstantno hitrostjo, je moral avtomobil, ki se je približeval mostu, upočasniti 10 sekund pred vhodom, saj je voznik opazil prometni znak, ki prepoveduje gibanje s hitrostjo več kot 36 km/h. Ali je voznik kršil pravila, če je zavorno pot mogoče opisati s formulo S=26t - t2?
Izračunamo prvo izpeljanko, najdemo formulo za hitrost, dobimo v=28 – 2t. Nato zamenjajte vrednost t=10 v podani izraz.
Ker je bila ta vrednost izražena v sekundah, je hitrost 8 m/s, kar pomeni 28,8 km/h. Tako je mogoče razumeti, da je voznik pravočasno začel upočasnjevati in ni kršil prometnih pravil in s tem omejitve, ki je navedena na znaku za hitrost.
To dokazuje pomen fizičnega pomena izpeljanke. Primer reševanja tega problema dokazuje širino uporabe tega koncepta na različnih področjih življenja. Vključno v vsakdanjih situacijah.
Izvedeni finančni instrument v ekonomiji
Do 19. stoletja so ekonomisti večinoma delovali s povprečji, ne glede na to, ali je šlo za produktivnost dela ali ceno proizvodnje. Toda od neke točke naprej so postale mejne vrednosti bolj potrebne za izdelavo učinkovitih napovedi na tem področju. Ti vključujejo mejno koristnost, dohodek ali stroške. Razumevanje tega je dalo zagon za ustvarjanje popolnoma novega orodja v ekonomskih raziskavah,ki obstaja in se razvija že več kot sto let.
Za takšne izračune, kjer prevladujeta pojma minimum in maksimum, je preprosto potrebno razumeti geometrijski in fizični pomen izpeljanke. Med ustvarjalci teoretične podlage teh disciplin lahko imenujemo tako ugledne angleške in avstrijske ekonomiste, kot so US Jevons, K. Menger in drugi. Seveda mejne vrednosti v ekonomskih izračunih niso vedno priročne za uporabo. In na primer, četrtletna poročila ne sodijo nujno v obstoječo shemo, vendar je uporaba takšne teorije v mnogih primerih koristna in učinkovita.
