Matematika izvira iz antike. Zahvaljujoč njej so arhitektura, gradbeništvo in vojaška znanost dale nov krog razvoja, dosežki, pridobljeni s pomočjo matematike, so vodili v gibanje napredka. Vse do danes ostaja matematika glavna znanost, ki jo najdemo v vseh drugih vejah.
Za izobraževanje se otroci od prvega razreda začnejo postopoma zlivati v to okolje. Zelo pomembno je razumeti matematiko, saj se v takšni ali drugačni meri pojavlja vsakemu človeku skozi vse življenje. Ta članek bo analiziral enega od ključnih elementov – iskanje in uporabo izpeljank. Vsakdo si ne more predstavljati, kako široko se ta koncept uporablja. Razmislite o več kot 10 aplikacijah izvedenih finančnih instrumentov na določenih področjih ali znanostih.
Uporaba izpeljanke za preučevanje funkcije
Izpeljanka je taka mejarazmerje med prirastkom funkcije in prirastkom njenega argumenta, ko se eksponent argumenta nagiba k nič. Izpeljanka je nepogrešljiva stvar pri preučevanju funkcije. Na primer, lahko se uporablja za določitev povečanja in zmanjšanja slednjega, ekstremov, konveksnosti in konkavnosti. Diferencialni račun je vključen v obvezni učni načrt za študente 1. in 2. letnika matematičnih univerz.
Ničle obsega in funkcij
Prva faza katere koli študije grafa se začne z iskanjem domene definicije, v redkejših primerih - vrednosti. Domena definicije je nastavljena vzdolž osi abscise, z drugimi besedami, to so številčne vrednosti na osi OX. Pogosto je obseg že nastavljen, če pa ni, je treba ovrednotiti vrednost argumenta x. Recimo, če za nekatere vrednosti argumenta funkcija ni smiselna, potem je ta argument izključen iz obsega.
Ničele funkcije najdemo na preprost način: funkcijo f(x) je treba enačiti z ničlo in dobljeno enačbo rešiti glede na eno spremenljivko x. Dobljeni koreni enačbe so ničle funkcije, to pomeni, da je v teh x funkcija 0.
Povečanje in zmanjšanje
Uporabo izpeljanke za preučevanje funkcij monotonosti je mogoče obravnavati z dveh stališč. Monotona funkcija je kategorija, ki ima samo pozitivne vrednosti izpeljanke ali samo negativne vrednosti. Preprosto povedano, funkcija se samo poveča ali samo zmanjša v celotnem preučevanem intervalu:
- Povečaj parameter. Funkcijaf(x) se bo povečala, če je izpeljanka f`(x) večja od nič.
- Padajoči parameter. Funkcija f(x) se bo zmanjšala, če je izvod f`(x) manjši od nič.
tangenta in naklon
Uporabo izvoda za preučevanje funkcije je določena tudi s tangento (premica, usmerjena pod kotom) na graf funkcije v dani točki. Tangenta na točki (x0) - črta, ki poteka skozi točko in pripada funkciji, katere koordinate so (x0, f(x 0 )) in ima naklon f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - enačba tangente na dano točko grafa funkcije.
Geometrijski pomen odvoda: odvod funkcije f(x) je enak naklonu oblikovane tangente na graf te funkcije v dani točki x. Kotni koeficient pa je enak tangentu kota nagiba tangente na os OX (absciso) v pozitivni smeri. Ta posledica je temeljnega pomena za uporabo izpeljanke na graf funkcije.
točke ekstrema
Uporaba izpeljanke za študijo vključuje iskanje visokih in nizkih točk.
Za iskanje in določitev minimalne in največje točke morate:
- Poišči izvod funkcije f(x).
- Nastavite dobljeno enačbo na nič.
- Poišči korenine enačbe.
- Poišči visoke in nizke točke.
Za iskanje skrajnostiznačilnosti:
- Poiščite najmanjšo in največjo število točk z zgornjo metodo.
- Zamenjajte te točke v izvirno enačbo in izračunajte ymax in ymin
Največja točka funkcije je največja vrednost funkcije f(x) na intervalu, z drugimi besedami xmax.
Minimalna točka funkcije je najmanjša vrednost funkcije f(x) na intervalu, z drugimi besedami xime
Točke ekstrema so enake kot najvišja in najmanjša točka ter skrajnost funkcije (ymax. in yminimum) - vrednosti funkcije, ki ustrezajo skrajnim točkam.
konveksnost in konkavnost
Izbočenost in konkavnost lahko določite tako, da uporabite izpeljanko za risanje:
- Funkcija f(x), pregledana na intervalu (a, b), je konkavna, če se funkcija nahaja pod vsemi svojimi tangentami znotraj tega intervala.
- Funkcija f(x), proučevana na intervalu (a, b), je konveksna, če se funkcija nahaja nad vsemi svojimi tangentami znotraj tega intervala.
Točka, ki ločuje konveksnost in konkavnost, se imenuje pregibna točka funkcije.
Če želite najti pregibne točke:
- Poišči kritične točke druge vrste (druga izpeljanka).
- Pregibne točke so tiste kritične točke, ki ločujejo dva nasprotna znaka.
- Izračunajte vrednosti funkcije na pregibnih točkah funkcije.
Delni izpeljanki
Prijavatovrstne izpeljanke obstajajo v problemih, kjer je uporabljena več kot ena neznana spremenljivka. Najpogosteje se takšne izpeljanke srečamo pri risanju funkcijskega grafa, natančneje, površin v prostoru, kjer so namesto dveh osi tri torej tri količine (dve spremenljivki in ena konstanta).
Osnovno pravilo pri izračunu delnih izpeljank je, da izberete eno spremenljivko, ostale pa obravnavate kot konstante. Zato pri izračunu delnega odvoda postane konstanta kot številčna vrednost (v mnogih tabelah izpeljank so označene kot C=const). Pomen takšne izpeljanke je hitrost spreminjanja funkcije z=f(x, y) vzdolž osi OX in OY, torej označuje strmo vdolbine in izbokline konstruirane površine.
Izpeljanka iz fizike
Uporaba izpeljanke v fiziki je zelo razširjena in pomembna. Fizični pomen: izpeljanka poti glede na čas je hitrost, pospešek pa izpeljanka hitrosti glede na čas. Iz fizičnega pomena je mogoče potegniti številne veje v različne veje fizike, pri tem pa popolnoma ohraniti pomen izpeljanke.
S pomočjo izpeljanke najdemo naslednje vrednosti:
- Hitrost v kinematiki, kjer se izračuna izvod prevožene razdalje. Če najdemo drugo izpeljanko poti ali prvo izpeljanko hitrosti, potem najdemo pospešek telesa. Poleg tega je mogoče najti trenutno hitrost materialne točke, vendar je za to potrebno poznati prirast ∆t in ∆r.
- V elektrodinamiki:izračun trenutne jakosti izmeničnega toka, pa tudi EMF elektromagnetne indukcije. Z izračunom derivata lahko najdete največjo moč. Derivat količine električnega naboja je jakost toka v prevodniku.
Izpeljanka iz kemije in biologije
kemija: derivat se uporablja za določanje hitrosti kemične reakcije. Kemični pomen derivata: funkcija p=p(t), v tem primeru je p količina snovi, ki vstopi v kemijsko reakcijo v času t. ∆t - časovni prirast, ∆p - prirast količine snovi. Meja razmerja med ∆p in ∆t, pri kateri se ∆t nagiba k nič, se imenuje hitrost kemične reakcije. Povprečna vrednost kemijske reakcije je razmerje ∆p/∆t. Pri določanju hitrosti je treba natančno poznati vse potrebne parametre, pogoje, poznati agregatno stanje snovi in pretočnega medija. To je precej velik vidik v kemiji, ki se pogosto uporablja v različnih panogah in človeških dejavnostih.
Biologija: koncept derivata se uporablja za izračun povprečne stopnje razmnoževanja. Biološki pomen: imamo funkcijo y=x(t). ∆t - časovni prirast. Nato s pomočjo nekaterih transformacij dobimo funkcijo y`=P(t)=x`(t) - vitalna aktivnost populacije časa t (povprečna stopnja razmnoževanja). Ta uporaba izpeljanke vam omogoča vodenje statistike, sledenje hitrosti reprodukcije itd.
Izpeljanka iz geografije in ekonomije
Izpeljanka omogoča geografom, da se odločijonaloge, kot so iskanje populacije, izračun vrednosti v seizmografiji, izračun radioaktivnosti jedrskih geofizičnih indikatorjev, izračun interpolacije.
V ekonomiji je pomemben del izračunov diferencialni račun in izračun izpeljanke. Prvič, to nam omogoča, da določimo meje potrebnih ekonomskih vrednosti. Na primer, najvišja in najnižja produktivnost dela, stroški, dobički. V bistvu so te vrednosti izračunane iz funkcijskih grafov, kjer najdejo ekstreme, določijo monotonost funkcije na želenem območju.
Sklep
Vloga tega diferencialnega računa je, kot je navedeno v članku, vključena v različne znanstvene strukture. Uporaba izpeljanih funkcij je pomemben element v praktičnem delu znanosti in proizvodnje. Ni zaman, da so nas v srednji šoli in na univerzi učili graditi kompleksne grafe, raziskovati in delati na funkcijah. Kot lahko vidite, brez izpeljank in diferencialnih izračunov ne bi bilo mogoče izračunati vitalnih kazalnikov in količin. Človeštvo se je naučilo modelirati različne procese in jih raziskati, reševati zapletene matematične probleme. Pravzaprav je matematika kraljica vseh znanosti, saj je ta znanost osnova za vse druge naravne in tehnične discipline.
