Trikotnik, kvadrat, šesterokotnik - te številke poznajo skoraj vsi. Toda vsi ne vedo, kaj je pravilen mnogokotnik. Toda to so vse iste geometrijske oblike. Pravilen mnogokotnik je tisti, ki ima enake kote in stranice. Teh številk je veliko, vendar imajo vse enake lastnosti in zanje veljajo enake formule.
Lastnosti pravilnih mnogokotnikov
Vsak pravilen mnogokotnik, naj bo to kvadrat ali osmerokotnik, se lahko vpiše v krog. Ta osnovna lastnost se pogosto uporablja pri konstruiranju figure. Poleg tega se lahko krog vpiše tudi v mnogokotnik. V tem primeru bo število kontaktnih točk enako številu njegovih stranic. Pomembno je, da ima krog, vpisan v pravilen mnogokotnik, s seboj skupno središče. Za te geometrijske figure veljajo enaki izreki. Vsaka stranpravilnega n-kotnika je povezan s polmerom R kroga, ki je opisan okoli njega, zato ga lahko izračunamo po formuli: a=2R ∙ sin180°. Skozi polmer kroga lahko najdete ne le stranice, ampak tudi obod mnogokotnika.
Kako najti število stranic pravilnega mnogokotnika
Vsak redni n-kotnik je sestavljen iz določenega števila enakih segmentov, ki, ko so povezani, tvorijo zaprto črto. V tem primeru imajo vsi vogali oblikovane figure enako vrednost. Poligone delimo na preproste in zapletene. Prva skupina vključuje trikotnik in kvadrat. Kompleksni poligoni imajo več stranic. Vključujejo tudi figure v obliki zvezd. Za kompleksne pravilne mnogokotnike najdemo stranice tako, da jih vpišemo v krog. Dajmo dokaz. Nariši pravilen mnogokotnik s poljubnim številom stranic n. Opiši krog okoli njega. Določite polmer R. Zdaj si predstavljajte, da je podan nek n-kotnik. Če točke njegovih kotov ležijo na krogu in so med seboj enake, potem lahko strani najdemo po formuli: a=2R ∙ sinα: 2.
Iskanje števila stranic vpisanega pravilnega trikotnika
Enakostranični trikotnik je pravilen mnogokotnik. Zanj veljajo enake formule kot za kvadrat in n-kotnik. Trikotnik se šteje za pravilnega, če ima stranice enake dolžine. V tem primeru so koti 60⁰. Konstruiraj trikotnik z dano dolžino stranice a. Če poznamo njegovo mediano in višino,lahko najdete vrednost njegovih stranic. Za to bomo uporabili metodo iskanja po formuli a=x: cosα, kjer je x mediana ali višina. Ker so vse stranice trikotnika enake, dobimo a=b=c. Potem bo naslednja izjava resnična a=b=c=x: cosα. Podobno lahko najdete vrednost stranic v enakokrakem trikotniku, vendar bo x podana višina. Hkrati ga je treba projicirati strogo na osnovo figure. Torej, če poznamo višino x, najdemo stran a enakokrakega trikotnika s formulo a \u003d b \u003d x: cosα. Ko najdete vrednost a, lahko izračunate dolžino osnove c. Uporabimo Pitagorov izrek. Iskali bomo vrednost polovice osnove c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Potem je c=2xtanα. Tukaj je preprost način za iskanje števila strani katerega koli vpisanega mnogokotnika.
Izračunaj stranice kvadrata, vpisanega v krog
Kot vsak drug vpisan pravilen mnogokotnik ima kvadrat enake stranice in kote. Zanj veljajo enake formule kot za trikotnik. Strani kvadrata lahko izračunate z vrednostjo diagonale. Oglejmo si to metodo podrobneje. Znano je, da diagonala razpolovi kot. Sprva je bila njegova vrednost 90 stopinj. Tako po delitvi nastaneta dva pravokotna trikotnika. Njihovi osnovni koti bodo 45 stopinj. V skladu s tem bo vsaka stranica kvadrata enaka, to je: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kjer je e diagonala kvadrata ali osnova pravi trikotnik, ki je nastal po delitvi. To ni edini načiniskanje stranic kvadrata. Vpišimo to figuro v krog. Če poznamo polmer tega kroga R, najdemo stran kvadrata. Izračunali ga bomo na naslednji način: a4=R√2. Polmer pravilnih mnogokotnikov se izračuna po formuli R=a: 2tg (360o: 2n), kjer je a dolžina stranice.
Kako izračunati obseg n-kotnika
Obseg n-kotnika je vsota vseh njegovih stranic. To je enostavno izračunati. Če želite to narediti, morate poznati vrednosti vseh strani. Za nekatere vrste poligonov obstajajo posebne formule. Omogočajo vam, da veliko hitreje najdete obod. Znano je, da ima vsak pravilen mnogokotnik enake stranice. Zato je za izračun njegovega oboda dovolj poznati vsaj enega od njih. Formula bo odvisna od števila stranic slike. Na splošno je videti takole: P=an, kjer je a vrednost stranice, n pa število kotov. Na primer, če želite najti obseg pravilnega osmerokotnika s stranico 3 cm, ga morate pomnožiti z 8, to je P=3 ∙ 8=24 cm. Za šesterokotnik s stranico 5 cm izračunamo takole: P=5 ∙ 6=30 cm In tako za vsak poligon.
Iskanje oboda paralelograma, kvadrata in romba
Odvisno od tega, koliko strani ima pravilen mnogokotnik, se izračuna njegov obseg. To močno olajša nalogo. Dejansko za razliko od drugih številk v tem primeru ni treba iskati vseh njegovih plati, dovolj je le ena. Po enakem principu najdemo obod prištirikotniki, torej kvadrat in romb. Kljub temu, da gre za različne figure, je formula zanje enaka P=4a, kjer je a stran. Vzemimo primer. Če je stranica romba ali kvadrata 6 cm, potem najdemo obod, kot sledi: P=4 ∙ 6=24 cm Paralelogram ima samo nasprotne strani. Zato se njegov obseg najde z drugačno metodo. Torej moramo poznati dolžino a in širino b figure. Nato uporabimo formulo P=(a + c) ∙ 2. Paralelogram, pri katerem so vse stranice in koti med njimi enaki, se imenuje romb.
Iskanje oboda enakostraničnega in pravokotnega trikotnika
Obseg pravilnega enakostraničnega trikotnika lahko najdemo s formulo P=3a, kjer je a dolžina stranice. Če je neznan, ga je mogoče najti prek mediane. V pravokotnem trikotniku sta samo dve strani enaki. Osnovo je mogoče najti prek Pitagorejskega izreka. Ko so vrednosti vseh treh strani znane, izračunamo obod. Najdemo ga z uporabo formule P \u003d a + b + c, kjer sta a in b enaki strani, c pa je osnova. Spomnimo se, da je v enakokrakem trikotniku a \u003d b \u003d a torej a + b \u003d 2a, nato P \u003d 2a + c. Na primer, stranica enakokrakega trikotnika je 4 cm, poiščite njegovo osnovo in obseg. Vrednost hipotenuze izračunamo z uporabo Pitagorejskega izreka c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Zdaj izračunamo obod Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Kako najti vogale običajnega mnogokotnika
Naravni mnogokotnikse v našem življenju pojavlja vsak dan, na primer navaden kvadrat, trikotnik, osmerokotnik. Zdi se, da ni nič lažjega kot zgraditi to figuro sami. Ampak to je le na prvi pogled. Za konstruiranje katerega koli n-kotnika morate poznati vrednost njegovih kotov. Toda kako jih najdete? Celo antični znanstveniki so poskušali zgraditi pravilne poligone. Uganili so, da jih bodo postavili v kroge. In nato so bile na njem označene potrebne točke, povezane z ravnimi črtami. Za enostavne številke je bil problem konstrukcije rešen. Pridobljene so formule in izreki. Na primer, Euclid se je v svojem slavnem delu "Začetek" ukvarjal z reševanjem problemov za 3-, 4-, 5-, 6- in 15-kotnike. Našel je načine za njihovo konstruiranje in iskanje kotov. Poglejmo, kako to narediti za 15-gon. Najprej morate izračunati vsoto njegovih notranjih kotov. Uporabiti je treba formulo S=180⁰(n-2). Torej imamo 15-kotnik, kar pomeni, da je število n 15. Podatke, ki jih poznamo, nadomestimo v formulo in dobimo S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Našli smo vsoto vseh notranjih kotov 15-kotnika. Zdaj moramo dobiti vrednost vsakega od njih. Kotov je skupaj 15. Izračunamo 2340⁰: 15=156⁰. To pomeni, da je vsak notranji kot 156⁰, zdaj z ravnilom in kompasom lahko zgradite običajen 15-kotnik. Kaj pa bolj zapleteni n-kotniki? Znanstveniki so se stoletja trudili rešiti ta problem. Šele v 18. stoletju ga je našel Carl Friedrich Gauss. Zmogel je zgraditi 65537-gon. Od takrat se problem uradno šteje za popolnoma rešen.
Izračun kotov n-kotnikovv radianih
Seveda obstaja več načinov za iskanje vogalov mnogokotnikov. Najpogosteje se izračunajo v stopinjah. Lahko pa jih izrazite tudi v radianih. Kako narediti? Treba je ravnati na naslednji način. Najprej ugotovimo število stranic pravilnega mnogokotnika, nato od njega odštejemo 2. Tako dobimo vrednost: n - 2. Najdeno razliko pomnožimo s številom n (»pi«=3, 14). Zdaj ostane le še deliti nastali produkt s številom kotov v n-kotniku. Razmislite o teh izračunih na primeru istega petnajststranskega. Torej, število n je 15. Uporabite formulo S=p(n - 2): n=3, 14 (15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. To je seveda ni edini način za izračun kota v radianih. Velikost kota v stopinjah lahko preprosto delite s številom 57, 3. Konec koncev, toliko stopinj je enako enemu radianu.
Izračunaj vrednost kotov v stopinjah
Poleg stopinj in radianov lahko poskusite najti vrednost kotov pravilnega mnogokotnika v stopinjah. To se naredi na naslednji način. Od skupnega števila kotov odštejte 2, dobljeno razliko delite s številom stranic pravilnega mnogokotnika. Najden rezultat pomnožimo z 200. Mimogrede, taka merska enota kotov, kot je toča, se praktično ne uporablja.
Izračun zunanjih kotov n-kotnikov
Za kateri koli pravilen mnogokotnik, razen za notranji, lahko izračunate tudi zunanji kot. Njeno vrednost najdemo na enak način kot pri drugih številkah. Torej, da bi našli zunanji kot pravilnega mnogokotnika, potrebujetepoznati pomen notranjega. Nadalje vemo, da je vsota teh dveh kotov vedno 180 stopinj. Zato naredimo izračune na naslednji način: 180⁰ minus vrednost notranjega kota. Najdemo razliko. To bo enako vrednosti kota, ki meji nanj. Na primer, notranji kot kvadrata je 90 stopinj, tako da bo zunanji kot 180⁰ - 90⁰=90⁰. Kot vidimo, ga ni težko najti. Zunanji kot ima lahko vrednost od +180⁰ do -180⁰.
