Te geometrijske oblike nas obdajajo povsod. Konveksni poligoni so lahko naravni, kot je satje, ali umetni (umetni). Te figure se uporabljajo pri izdelavi različnih vrst premazov, v slikarstvu, arhitekturi, dekoracijah itd. Konveksni mnogokotniki imajo lastnost, da so vse njihove točke na isti strani ravne črte, ki poteka skozi par sosednjih vozlišč te geometrijske figure. Obstajajo tudi druge definicije. Poligon se imenuje konveksen, če se nahaja v eni polravnini glede na katero koli ravno črto, ki vsebuje eno od njegovih stranic.
konveksni mnogokotniki
V teku osnovne geometrije se vedno upoštevajo samo preprosti poligoni. Da bi razumeli vse lastnosti takegageometrijske oblike, je treba razumeti njihovo naravo. Za začetek je treba razumeti, da se katera koli črta imenuje zaprta, katere konci sovpadajo. Poleg tega ima lahko figura, ki jo tvori, različne konfiguracije. Poligon je preprosta zaprta lomljena črta, v kateri sosednje povezave niso nameščene na isti ravni črti. Njegove povezave in oglišča so stranice in oglišča te geometrijske figure. Preprosta polilinija ne sme imeti samosečišč.
Vozgišča mnogokotnika se imenujejo sosednja, če predstavljajo konce ene od njegovih stranic. Geometrijski lik, ki ima n-to število vozlišč in s tem n-to število stranic, se imenuje n-kotnik. Sama lomljena črta se imenuje meja ali kontura te geometrijske figure. Poligonalna ravnina ali ravni mnogokotnik se imenuje končni del katere koli ravnine, ki jo omejuje. Sosednji strani te geometrijske figure se imenujejo segmenti lomljene črte, ki izhaja iz enega oglišča. Ne bodo sosednji, če prihajajo iz različnih oglišč mnogokotnika.
Druge definicije konveksnih mnogokotnikov
V osnovni geometriji obstaja več enakovrednih definicij, ki označujejo, kateri poligon se imenuje konveksen. Vse te trditve so enako resnične. Šteje se, da je mnogokotnik konveksen, če:
• vsak segment, ki povezuje kateri koli dve točki znotraj njega, leži v celoti znotraj njega;
• v njemvse njegove diagonale ležijo;
• noben notranji kot ne presega 180°.
Velikokotnik vedno razdeli ravnino na 2 dela. Eden od njih je omejen (lahko ga zapremo v krog), drugi pa je neomejen. Prvo se imenuje notranje območje, drugo pa zunanje območje te geometrijske figure. Ta poligon je presečišče (z drugimi besedami, skupna komponenta) več polravnin. Poleg tega vsak segment, ki se konča na točkah, ki pripadajo mnogokotniku, v celoti pripada njemu.
Vrte konveksnih mnogokotnikov
Definicija konveksnega mnogokotnika ne pomeni, da jih obstaja veliko vrst. In vsak od njih ima določena merila. Torej, konveksni mnogokotniki, ki imajo notranji kot 180°, se imenujejo šibko izbočeni. Konveksna geometrijska figura, ki ima tri oglišča, se imenuje trikotnik, štiri - štirikotnik, pet - peterokotnik itd. Vsak od konveksnih n-kotnikov izpolnjuje naslednjo bistveno zahtevo: n mora biti enak ali večji od 3. Vsak od konveksnih n-kotnikov trikotniki so konveksni. Geometrijski lik te vrste, v katerem so vsa oglišča na istem krogu, se imenuje vpisana v krog. Konveksni mnogokotnik se imenuje opisan, če se ga vse stranice v bližini kroga dotikajo. Za dva poligona pravimo, da sta enaka le, če ju je mogoče prekriti s superpozicijo. Ravninski poligon se imenuje poligonalna ravnina.(del ravnine), ki je omejen s to geometrijsko figuro.
pravilni konveksni poligoni
Pravi mnogokotniki so geometrijske oblike z enakimi koti in stranicami. Znotraj njih je točka 0, ki je na enaki razdalji od vsakega od svojih oglišč. Imenuje se središče te geometrijske figure. Segmenti, ki povezujejo središče z oglišči te geometrijske figure, se imenujejo apotemi, tisti, ki povezujejo točko 0 s stranicami, pa se imenujejo polmeri.
Pravilen štirikotnik je kvadrat. Enakostranični trikotnik se imenuje enakostranični trikotnik. Za takšne številke velja naslednje pravilo: vsak vogal konveksnega mnogokotnika je 180°(n-2)/ n, kjer je n število oglišč te konveksne geometrijske figure.
Območje katerega koli pravilnega mnogokotnika je določeno s formulo:
S=ph, kjer je p polovica vsote vseh stranic danega mnogokotnika in h dolžina apotema.
Lastnosti konveksnih mnogokotnikov
Konveksni poligoni imajo določene lastnosti. Torej se v njem nujno nahaja segment, ki povezuje kateri koli 2 točki takšne geometrijske figure. Dokaz:
Predpostavimo, da je P dani konveksni mnogokotnik. Vzamemo 2 poljubni točki, na primer A, B, ki pripadata P. Po obstoječi definiciji konveksnega mnogokotnika se te točke nahajajo na isti strani premice, ki vsebuje katero koli stran P. Zato ima tudi AB to lastnost in je vsebovan v P. Konveksni mnogokotnik lahko vedno razdelimo na več trikotnikov z absolutno vsemi diagonalami, potegnjenimi iz enega od njegovih vozlišč.
Koti konveksnih geometrijskih oblik
Vogali konveksnega mnogokotnika so vogali, ki jih tvorijo njegove stranice. Notranji vogali se nahajajo v notranjosti določene geometrijske figure. Kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se stekajo v enem točku, imenujemo kot konveksnega mnogokotnika. Koti, ki mejijo na notranje kote določene geometrijske figure, se imenujejo zunanji. Vsak vogal konveksnega mnogokotnika, ki se nahaja znotraj njega, je:
180° - x, kjer je x vrednost zunanjega kota. Ta preprosta formula deluje za vse geometrijske oblike te vrste.
Na splošno velja za zunanje vogale naslednje pravilo: vsak kot konveksnega mnogokotnika je enak razliki med 180° in vrednostjo notranjega kota. Ima lahko vrednosti od -180° do 180°. Torej, ko je notranji kot 120°, bo zunanji kot 60°.
Vsota kotov konveksnih mnogokotnikov
Vsota notranjih kotov konveksnega mnogokotnika je določena s formulo:
180°(n-2), kjer je n število vozlišč n-kotnika.
Vsoto kotov konveksnega mnogokotnika je precej enostavno izračunati. Razmislite o kateri koli takšni geometrijski figuri. Za določitev vsote kotov znotraj konveksnega mnogokotnika je potrebnopoveži eno od njegovih oglišč z drugimi oglišči. Kot rezultat tega dejanja dobimo (n-2) trikotnika. Vemo, da je vsota kotov katerega koli trikotnika vedno 180°. Ker je njihovo število v katerem koli mnogokotniku (n-2), je vsota notranjih kotov takšne figure 180° x (n-2).
Vsota kotov konveksnega mnogokotnika, in sicer poljubnih dveh notranjih in sosednjih zunanjih kotov, za dano konveksno geometrijsko figuro bo vedno enaka 180°. Na podlagi tega lahko določite vsoto vseh njegovih kotov:
180 x n.
Vsota notranjih kotov je 180°(n-2). Na podlagi tega se vsota vseh zunanjih vogalov te številke določi s formulo:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Vsota zunanjih kotov katerega koli konveksnega mnogokotnika bo vedno 360° (ne glede na število stranic).
Zunanji kot konveksnega mnogokotnika je na splošno predstavljen z razliko med 180° in vrednostjo notranjega kota.
Druge lastnosti konveksnega mnogokotnika
Poleg osnovnih lastnosti teh geometrijskih oblik imajo druge, ki se pojavijo pri manipulaciji z njimi. Torej lahko katerega koli poligona razdelimo na več konveksnih n-kotnikov. Če želite to narediti, je treba nadaljevati vsako njegovo stran in to geometrijsko figuro razrezati vzdolž teh ravnih črt. Prav tako je mogoče poljuben mnogokotnik razdeliti na več konveksnih delov tako, da se oglišča vsakega od kosov ujemajo z vsemi njegovimi oglišči. Iz takšne geometrijske figure je mogoče zelo preprosto narediti trikotnike tako, da narišemo vsediagonale iz enega oglišča. Tako lahko vsak mnogokotnik sčasoma razdelimo na določeno število trikotnikov, kar se izkaže za zelo koristno pri reševanju različnih problemov, povezanih s takšnimi geometrijskimi oblikami.
Obod konveksnega mnogokotnika
Odseki lomljene črte, imenovane stranice mnogokotnika, so najpogosteje označene z naslednjimi črkami: ab, bc, cd, de, ea. To so stranice geometrijske figure z oglišči a, b, c, d, e. Vsota dolžin vseh stranic tega konveksnega mnogokotnika se imenuje njegov obseg.
obseg mnogokotnika
Izbočene mnogokotnike je mogoče vpisati in obpisati. Krog, ki se dotika vseh strani te geometrijske figure, imenujemo vpisan vanj. Tak mnogokotnik se imenuje opisan. Središče kroga, ki je vpisan v mnogokotnik, je presečišče simetral vseh kotov znotraj določene geometrijske figure. Površina takega mnogokotnika je:
S=pr, kjer je r polmer vpisanega kroga in p je polobod danega mnogokotnika.
Krog, ki vsebuje oglišča mnogokotnika, se imenuje okrog njega opisan. Poleg tega se ta konveksna geometrijska figura imenuje vpisana. Središče kroga, ki je opisano okoli takega mnogokotnika, je presečišče tako imenovanih pravokotnih simetral vseh stranic.
Diagonale konveksnih geometrijskih oblik
Diagonale konveksnega mnogokotnika so segmenti, kipovežite nesosednja oglišča. Vsak od njih leži znotraj te geometrijske figure. Število diagonal takšnega n-kotnika je določeno s formulo:
N=n (n – 3)/ 2.
Število diagonal konveksnega mnogokotnika igra pomembno vlogo v osnovni geometriji. Število trikotnikov (K), na katere je mogoče razdeliti vsak konveksni mnogokotnik, se izračuna po naslednji formuli:
K=n – 2.
Število diagonal konveksnega mnogokotnika je vedno odvisno od števila njegovih vozlišč.
Dekompozicija konveksnega mnogokotnika
V nekaterih primerih je za reševanje geometrijskih problemov potrebno konveksni mnogokotnik razdeliti na več trikotnikov z nesekajočimi se diagonalami. Ta problem je mogoče rešiti z izpeljavo posebne formule.
Definicija problema: poimenujmo pravilno particijo konveksnega n-kotnika na več trikotnikov z diagonalami, ki se sekajo samo na točki te geometrijske figure.
Rešitev: Recimo, da so Р1, Р2, Р3 …, Pn vozlišča tega n-kotnika. Število Xn je število njegovih particij. Pazljivo preučimo dobljeno diagonalo geometrijske figure Pi Pn. V kateri koli od rednih particij P1 Pn pripada določenemu trikotniku P1 Pi Pn, ki ima 1<i<n. Izhajajoč iz tega in ob predpostavki, da je i=2, 3, 4 …, n-1, dobimo (n-2) skupine teh particij, ki vključujejo vse možne posebne primere.
Naj je i=2 ena skupina pravilnih particij, ki vedno vsebuje diagonalo Р2 Pn. Število particij, ki vstopijo vanj, je enako številu particij(n-1)-kotnik P2 P3 P4… Pn. Z drugimi besedami, enako je Xn-1.
Če je i=3, bo ta druga skupina particij vedno vsebovala diagonali Р3 Р1 in Р3 Pn. V tem primeru bo število običajnih particij, ki jih vsebuje ta skupina, sovpadalo s številom particij (n-2)-kotnika P3 P4 … Pn. Z drugimi besedami, bo enako Xn-2.
Naj je i=4, potem bo pravilna particija med trikotniki zagotovo vsebovala trikotnik P1 P4 Pn, na katerega bo sodil štirikotnik P1 P2 P3 P4, (n-3)-kotnik P4 P5 … Pn. Število pravilnih particij takšnega štirikotnika je X4, število particij (n-3)-kotnika pa Xn-3. Na podlagi zgoraj navedenega lahko rečemo, da je skupno število pravilnih particij v tej skupini Xn-3 X4. Druge skupine z i=4, 5, 6, 7… bodo vsebovale Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … običajne particije.
Naj je i=n-2, potem bo število pravilnih razcepov v tej skupini enako številu razcepov v skupini, kjer je i=2 (z drugimi besedami, enako Xn-1).
Ker je X1=X2=0, X3=1, X4=2…, je število vseh particij konveksnega mnogokotnika:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Primer:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Število pravilnih particij, ki sekajo eno diagonalo znotraj
Ko preverjate posebne primere, lahko pridete dopredpostavka, da je število diagonal konveksnih n-kotnikov enako zmnožku vseh razdelkov te figure z (n-3).
Dokaz te predpostavke: predstavljajte si, da je P1n=Xn(n-3), potem je vsak n-kotnik mogoče razdeliti na (n-2)-trikotnike. Poleg tega je iz njih lahko sestavljen (n-3)-štirikotnik. Poleg tega bo imel vsak štirikotnik diagonalo. Ker je v tej konveksni geometrijski figuri mogoče narisati dve diagonali, to pomeni, da lahko v katerem koli (n-3)-štirikotniku narišemo dodatne (n-3) diagonale. Na podlagi tega lahko sklepamo, da je v kateri koli redni particiji mogoče narisati (n-3)-diagonale, ki izpolnjujejo pogoje tega problema.
Površina konveksnih mnogokotnikov
Pogosto je pri reševanju različnih problemov elementarne geometrije potrebno določiti površino konveksnega mnogokotnika. Predpostavimo, da je (Xi. Yi), i=1, 2, 3…n zaporedje koordinat vseh sosednjih vozlišč mnogokotnika, ki nima samosečišč. V tem primeru se njegova površina izračuna z naslednjo formulo:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), kje (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
