Geometrija je lepa, ker v nasprotju z algebro, kjer ni vedno jasno, kaj misliš in zakaj, daje vidnost predmetu. Ta čudoviti svet različnih teles je okrašen s pravilnimi poliedri.
Splošne informacije o pravilnih poliedrih
Po mnogih imajo pravilni poliedri, ali kot jih imenujejo tudi platonska telesa, edinstvene lastnosti. S temi predmeti je povezanih več znanstvenih hipotez. Ko začnete preučevati ta geometrijska telesa, razumete, da o takem konceptu, kot so pravilni poliedri, ne veste praktično nič. Predstavitev teh predmetov v šoli ni vedno zanimiva, zato se mnogi niti ne spomnijo, kako se imenujejo. Večina ljudi si zapomni samo kocko. Nobeno od teles v geometriji ni tako popolno kot pravilni poliedri. Vsa imena teh geometrijskih teles izvirajo iz antične Grčije. Pomenijo število obrazov: tetraeder - štiristranski, heksaeder - šeststranski, oktaeder - oktaeder, dodekaeder - dvanajststranski, ikosaeder - dvajsetstranski. Vsa ta geometrijska telesazavzemal pomembno mesto v Platonovem konceptu vesolja. Štirje od njih so poosebljali elemente ali entitete: tetraeder - ogenj, ikosaeder - vodo, kocka - zemljo, oktaeder - zrak. Dodekaeder je poosebljal vse, kar obstaja. Veljal je za glavnega, ker je bil simbol vesolja.
Posplošitev koncepta poliedra
Polieder je zbirka končnega števila mnogokotnikov, tako da:
- vsaka od strani katerega koli poligona je hkrati stranica samo enega drugega mnogokotnika na isti strani;
- od vsakega poligona lahko pridete do drugih tako, da greste vzdolž poligonov, ki mejijo nanj.
Velikokotniki, ki sestavljajo polieder, so njegove ploskve, njihove stranice pa robovi. Točki poliedrov so oglišča mnogokotnikov. Če pojem mnogokotnika razumemo kot ravne zaprte lomljene črte, potem pridemo do ene definicije poliedra. V primeru, ko ta koncept pomeni del ravnine, ki je omejen s lomljenimi črtami, je treba razumeti površino, sestavljeno iz poligonalnih kosov. Konveksni polieder je telo, ki leži na eni strani ravnine, ki meji na njegovo ploskev.
Še ena definicija poliedra in njegovih elementov
Polieder je površina, sestavljena iz mnogokotnikov, ki omejuje geometrijsko telo. To so:
- nekonveksno;
- konveksno (pravilno in napačno).
Pravilni polieder je konveksen polieder z največjo simetrijo. Elementi pravilnih poliedrov:
- tetraeder: 6 robov, 4 ploskve, 5 oglišč;
- heksaeder (kocka): 12, 6, 8;
- dodekaeder: 30, 12, 20;
- oktaeder: 12, 8, 6;
- ikosaeder: 30, 20, 12.
Eulerjev izrek
Vzpostavlja razmerje med številom robov, oglišč in obrazov, ki so topološko enakovredni krogli. S seštevanjem števila vozlišč in ploskev (B + D) različnih pravilnih poliedrov in njihovo primerjavo s številom robov je mogoče ugotoviti en vzorec: vsota števila ploskev in oglišč je enaka povečanemu številu robov (P). z 2. Lahko izpeljete preprosto formulo:
B + D=R + 2
Ta formula velja za vse konveksne poliedre.
Osnovne definicije
Koncepta pravilnega poliedra ni mogoče opisati v enem stavku. Je bolj smiselna in obsežna. Da bi bilo telo priznano kot tako, mora izpolnjevati številne definicije. Torej bo geometrijsko telo pravilen polieder, če so izpolnjeni naslednji pogoji:
- je konveksna;
- enako število robov se zbliža na vsakem od njegovih točkov;
- vsi njeni obrazi so pravilni mnogokotniki, enaki drug drugemu;
- vsi njegovi diedrski koti so enaki.
Lastnosti pravilnih poliedrov
Obstaja 5 različnih vrst pravilnih poliedrov:
- Kocka (heksaeder) - ima raven kot na vrhu 90°. Ima 3-stranski kot. Vsota ravnih kotov na vrhu je 270°.
- Tetraeder - raven kot na vrhu - 60°. Ima 3-stranski kot. Vsota ravnih kotov na vrhu je 180°.
- Oktaeder - ploski kot oglišča - 60°. Ima 4-stranski vogal. Vsota ravnih kotov na vrhu je 240°.
- Dodekaeder - ploski kot na vrhu 108°. Ima 3-stranski kot. Vsota ravnih kotov na vrhu je 324°.
- Ikosaeder - ima raven kot na vrhu - 60°. Ima 5-stranski kot. Vsota ravnih kotov na vrhu je 300°.
Površina pravilnih poliedrov
Površina teh geometrijskih teles (S) se izračuna kot površina pravilnega mnogokotnika, pomnožena s številom njegovih obrazov (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Prostornina pravilnega poliedra
Ta vrednost se izračuna tako, da se prostornina pravilne piramide, na dnu katere je pravilen mnogokotnik, pomnoži s številom obrazov, njena višina pa je polmer vpisane krogle (r):
V=1: 3rS
Volume pravilnih poliedrov
Kot vsako drugo geometrijsko telo imajo pravilni poliedri različne prostornine. Spodaj so formule, po katerih jih lahko izračunate:
- tetraeder: α x 3√2: 12;
- oktaeder: α x 3√2: 3;
- ikosaeder; α x 3;
- heksaeder (kocka): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementi pravilnih poliedrov
Heksaeder in oktaeder sta dvojni geometrijski telesi. Z drugimi besedami, lahko jih dobimo drug od drugega, če vzamemo težišče obraza enega kot vrh drugega in obratno. Ikosaeder in dodekaeder sta prav tako dvojna. Samo tetraeder je sam sebi dvojen. Po Evklidovi metodi lahko dobimo dodekaeder iz heksaedra tako, da zgradimo "strehe" na ploskvah kocke. Vozlišča tetraedra bodo katera koli 4 oglišča kocke, ki niso sosednja v parih vzdolž roba. Iz heksaedra (kocke) lahko dobite druge pravilne poliedre. Kljub dejstvu, da je pravilnih mnogokotnikov nešteto, je pravilnih poliedrov le 5.
Razmer pravilnih mnogokotnikov
Z vsakim od teh geometrijskih teles so povezane 3 koncentrične krogle:
- opisano, prehod skozi njegove vrhove;
- vpisano, ki se dotika vsakega od njegovih obrazov v njegovem središču;
- srednja, dotika vseh robov na sredini.
Pomer opisane krogle se izračuna po naslednji formuli:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Polmer vpisane krogle se izračuna po formuli:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
kjer je θ diedrski kot med sosednjima ploskvama.
Polmer mediane krogle je mogoče izračunati z naslednjo formulo:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
kjer je vrednost h=4, 6, 6, 10 ali 10. Razmerje med opisanim in vpisanim polmerom je simetrično glede na p in q. Toizračunano po formuli:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetrija poliedrov
Simetrija pravilnih poliedrov povzroča glavno zanimanje za ta geometrijska telesa. Razume se kot takšno premikanje telesa v prostoru, ki pusti enako število oglišč, ploskov in robov. Z drugimi besedami, pod učinkom simetrične transformacije rob, oglišče, ploskev bodisi ohrani svoj prvotni položaj bodisi se premakne na prvotni položaj drugega roba, oglišča ali obraza.
Elementi simetrije pravilnih poliedrov so značilni za vse vrste takšnih geometrijskih teles. Tukaj govorimo o identični transformaciji, ki pusti katero koli točko v prvotnem položaju. Torej, ko zavrtite poligonalno prizmo, lahko dobite več simetrij. Vsak od njih je lahko predstavljen kot produkt refleksije. Simetrija, ki je produkt sodega števila odsevov, se imenuje ravna črta. Če je produkt lihega števila odsevov, se imenuje inverzna. Tako so vse rotacije okoli premice neposredne simetrije. Vsak odsev poliedra je inverzna simetrija.
Za boljše razumevanje elementov simetrije pravilnih poliedrov lahko vzamemo primer tetraedra. Vsaka ravna črta, ki bo šla skozi eno od oglišč in središče te geometrijske figure, bo potekala tudi skozi središče obraza nasproti njej. Vsak od zavojev za 120° in 240° okoli črte je množinski.simetrija tetraedra. Ker ima 4 oglišča in 4 ploskve, je neposrednih simetrij le osem. Vsaka od črt, ki potekajo skozi sredino roba in središče tega telesa, poteka skozi sredino njegovega nasprotnega roba. Vsako vrtenje za 180°, imenovano pol obrata, okoli ravne črte je simetrija. Ker ima tetraeder tri pare robov, obstajajo še tri neposredne simetrije. Na podlagi navedenega lahko sklepamo, da bo skupno število neposrednih simetrij, vključno z identično transformacijo, doseglo dvanajst. Tetraeder nima drugih neposrednih simetrij, ima pa 12 inverznih simetrij. Zato je za tetraeder značilno skupno 24 simetrij. Zaradi jasnosti lahko sestavite model običajnega tetraedra iz kartona in se prepričate, da ima to geometrijsko telo res samo 24 simetrij.
Dodekaeder in ikosaeder sta najbližje krogli telesa. Ikosaeder ima največje število ploskev, največji diedrski kot in ga je mogoče najtesneje pritisniti na vpisano kroglo. Dodekaeder ima najmanjšo kotno napako, največji trdni kot na vrhu. Svojo opisano kroglo lahko napolni do maksimuma.
Pomete poliedrov
Navadni neoviti poliedri, ki smo jih vsi zlepili v otroštvu, imajo veliko konceptov. Če obstaja zbirka mnogokotnikov, katerih vsaka stran je identificirana samo z eno stranjo poliedra, mora identifikacija strani izpolnjevati dva pogoja:
- od vsakega poligona lahko preletite poligone, ki imajoidentificirana stran;
- prepoznane strani morajo imeti enako dolžino.
Množica poligonov, ki izpolnjujejo te pogoje, se imenuje razvoj poliedra. Vsako od teh teles jih ima več. Torej, na primer, kocka jih ima 11.
