Poliedri ne zasedajo le vidnega mesta v geometriji, ampak se pojavljajo tudi v vsakdanjem življenju vsakega človeka. Da ne omenjam umetno ustvarjenih gospodinjskih predmetov v obliki različnih poligonov, začenši s škatlo vžigalic in konča z arhitekturnimi elementi, kristali v obliki kocke (sol), prizme (kristal), piramide (šeelit), oktaedra (diamant), itd. e.
Koncept poliedra, vrste poliedrov v geometriji
Geometrija kot znanost vsebuje odsek stereometrije, ki preučuje značilnosti in lastnosti tridimenzionalnih figur. Geometrijska telesa, katerih stranice v tridimenzionalnem prostoru tvorijo omejene ravnine (obrazi), se imenujejo "poliedri". Vrste poliedrov vključujejo več kot ducat predstavnikov, ki se razlikujejo po številu in obliki obrazov.
Vendar imajo vsi poliedri skupne lastnosti:
- Vsi imajo 3 bistvene sestavine: obraz(površina mnogokotnika), oglišče (vogali, ki nastanejo na stičišču obrazov), rob (stran lika ali segment, ki nastane na stičišču dveh obrazov).
- Vsak poligonski rob povezuje dve in samo dve ploskvi, ki sta drug ob drugem.
- Izbočenost pomeni, da se telo v celoti nahaja le na eni strani ravnine, na kateri leži ena od ploskve. Pravilo velja za vse ploskve poliedra. Takšne geometrijske figure v stereometriji imenujemo konveksni poliedri. Izjema so poliedri v obliki zvezde, ki so derivati pravilnih poliedrskih geometrijskih teles.
Poliedre lahko pogojno razdelimo na:
- Vrste konveksnih poliedrov, sestavljenih iz naslednjih razredov: navadni ali klasični (prizma, piramida, paralelepiped), pravilni (imenovani tudi Platonova telesa), polpravilni (drugo ime - arhimedova telesa).
- Nekonveksni poliedri (v obliki zvezde).
Prizma in njene lastnosti
Stereometrija kot veja geometrije proučuje lastnosti tridimenzionalnih figur, vrste poliedrov (eden izmed njih je prizma). Prizma je geometrijsko telo, ki ima nujno dve popolnoma enaki ploskvi (imenujemo jih tudi baze), ki ležita v vzporednih ravninah, in n-to število stranskih ploskov v obliki paralelogramov. Po drugi strani ima prizma tudi več različic, vključno s takšnimi vrstami poliedrov, kot so:
- Paralelepiped - nastane, če je osnova paralelogram -mnogokotnik z 2 paroma enakih nasprotnih kotov in 2 paroma enakih nasprotnih stranic.
- Ravna prizma ima robove pravokotne na osnovo.
- Za nagnjeno prizmo je značilna prisotnost nepravih kotov (razen 90) med ploskvami in osnovo.
- Za navadno prizmo so značilne osnove v obliki pravilnega mnogokotnika z enakimi stranskimi ploskvami.
Osnovne lastnosti prizme:
- Skladne osnove.
- Vsi robovi prizme so enaki in vzporedni drug z drugim.
- Vse stranske ploskve so v obliki paralelograma.
Piramida
Piramida je geometrijsko telo, ki je sestavljeno iz ene osnove in n-tega števila trikotnih ploskov, povezanih na eni točki - vrhu. Treba je opozoriti, da če so stranske ploskve piramide nujno predstavljene s trikotniki, je lahko osnova bodisi trikoten mnogokotnik, štirikotnik ali peterokotnik in tako naprej do neskončnosti. V tem primeru bo ime piramide ustrezalo poligonu na dnu. Na primer, če trikotnik leži na dnu piramide, je to trikotna piramida, štirikotnik je štirikotnik itd.
Piramide so stožčasti poliedri. Vrste poliedrov te skupine poleg zgoraj naštetih vključujejo tudi naslednje predstavnike:
- Navadna piramida ima na svojem dnu pravilen mnogokotnik, njena višina pa je projicirana na središčekrog, vpisan v osnovo ali okrog nje.
- Pravokotna piramida nastane, ko eden od stranskih robov seka z osnovo pod pravim kotom. V tem primeru je pravično, da ta rob imenujemo tudi višina piramide.
Lastnosti piramide:
- Če so vsi stranski robovi piramide skladni (enake višine), se vsi sekajo z osnovo pod enakim kotom, okoli osnove pa lahko narišete krog s središčem, ki sovpada s projekcijo vrh piramide.
- Če je osnova piramide pravilen mnogokotnik, so vsi stranski robovi skladni, ploskve pa enakokraki trikotniki.
Navadni polieder: vrste in lastnosti poliedrov
V stereometriji zavzemajo posebno mesto geometrijska telesa z popolnoma enakimi ploskvami, na katerih je povezano enako število robov. Te trdne snovi se imenujejo Platonova telesa ali pravilni poliedri. Vrste poliedrov s takšnimi lastnostmi imajo samo pet oblik:
- Tetraeder.
- heksaeder.
- oktaeder.
- Dodekaeder.
- Ikosaeder.
Pravilni poliedri imajo svoje ime po starogrškem filozofu Platonu, ki je ta geometrijska telesa opisal v svojih spisih in jih povezal z naravnimi elementi: zemljo, vodo, ognjem, zrakom. Peta figura je dobila podobnost s strukturo vesolja. Po njegovem mnenju so atomi naravnih elementov po obliki podobni tipom pravilnih poliedrov. Zaradi svoje najbolj vznemirljive lastnosti -simetrije, so bila ta geometrijska telesa zelo zanimiva ne le za starodavne matematike in filozofe, ampak tudi za arhitekte, umetnike in kiparje vseh časov. Prisotnost le 5 vrst poliedrov z absolutno simetrijo je veljala za temeljno odkritje, prejeli so celo povezavo z božanskim principom.
heksaeder in njegove lastnosti
Platonovi nasledniki so v obliki šesterokotnika prevzeli podobnost s strukturo atomov zemlje. Seveda je trenutno ta hipoteza popolnoma ovržena, kar pa ne preprečuje, da bi figure v sodobnem času s svojo estetiko pritegnile misli slavnih osebnosti.
V geometriji se heksaeder, znan tudi kot kocka, šteje za poseben primer paralelepipeda, ki pa je nekakšna prizma. V skladu s tem so lastnosti kocke povezane z lastnostmi prizme, z edino razliko, da so vse ploskve in vogali kocke med seboj enaki. Iz tega sledijo naslednje lastnosti:
- Vsi robovi kocke so skladni in ležijo v vzporednih ravninah drug glede na drugega.
- Vsi obrazi so skladni kvadrati (skupaj jih je 6 v kocki), katerega koli od njih je mogoče vzeti za osnovo.
- Vsi koti vmesnika so 90.
- Iz vsakega oglišča izhaja enako število robov, in sicer 3.
- Kocka ima 9 osi simetrije, ki se vse sekajo v presečišču diagonal heksaedra, ki se imenuje središče simetrije.
tetraeder
Tetraeder je tetraeder z enakimi ploskvami v obliki trikotnikov, katerih vsako od vrhovje stičišče treh obrazov.
Lastnosti pravilnega tetraedra:
- Vse ploskve tetraedra so enakostranični trikotniki, kar pomeni, da so vse ploskve tetraedra skladne.
- Ker je osnova predstavljena z navadno geometrijsko figuro, to je, da ima enake stranice, se ploskve tetraedra konvergirajo pod enakim kotom, to pomeni, da so vsi koti enaki.
- Vsota ravnih kotov na vsakem od oglišč je 180, saj so vsi koti enaki, potem je kateri koli kot pravilnega tetraedra 60.
- Vsako od vozlišč je projicirano na presečišče višin nasprotne (ortocentrične) ploskve.
Oktaeder in njegove lastnosti
Pri opisu vrst pravilnih poliedrov ne moremo omeniti takega predmeta, kot je oktaeder, ki ga lahko vizualno predstavimo kot dve štirikotni pravilni piramidi, zlepljeni skupaj z osnovami.
Lastnosti oktaedra:
- Samo ime geometrijskega telesa nakazuje število njegovih obrazov. Oktaeder je sestavljen iz 8 enakovrednih enakostraničnih trikotnikov, v vsakem od njih se zbliža enako število ploskev, in sicer 4.
- Ker so vse ploskve oktaedra enake, so enaki tudi njegovi vmesni koti, od katerih je vsak enak 60, vsota ravninskih kotov katerega koli oglišča pa je tako 240.
dodekaeder
Če si predstavljamo, da so vse ploskve geometrijskega telesa pravilen peterokotnik, dobimo dodekaeder -figura 12 poligonov.
Lastnosti dodekaedra:
- Na vsakem točku se sekajo trije obrazi.
- Vsi obrazi so enaki in imajo enako dolžino robov in enako površino.
- Dodekaeder ima 15 osi in ravnin simetrije in katera koli od njih poteka skozi vrh obraza in sredino nasprotnega roba.
Ikosaeder
Nič manj zanimiva kot dodekaeder, lik ikosaedra je tridimenzionalno geometrijsko telo z 20 enakimi ploskvami. Med lastnostmi običajnega dvajsetega edra je mogoče opaziti naslednje:
- Vse ploskve ikosaedra so enakokraki trikotniki.
- V vsakem točku poliedra se zbliža pet obrazov in vsota sosednjih kotov oglišča je 300.
- Ikosaeder, tako kot dodekaeder, ima 15 osi in ravnin simetrije, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev.
polpravilni poligoni
Poleg Platonovih teles skupina konveksnih poliedrov vključuje tudi arhimedova telesa, ki so okrnjeni pravilni poliedri. Vrste poliedrov te skupine imajo naslednje lastnosti:
- Geometrijska telesa imajo parno enake ploskve več vrst, na primer, okrnjen tetraeder ima 8 ploskev, kot običajen tetraeder, v primeru arhimedovega trdnega telesa pa bodo 4 ploskve trikotne, 4 pa šesterokotne.
- Vsi koti enega oglišča so skladni.
zvezdasti poliedri
Predstavniki nevolumetričnih tipov geometrijskih teles so zvezdasti poliedri, katerih ploskve sekajo drug drugega. Nastanejo lahko z združitvijo dveh običajnih 3D trdnih teles ali z razširitvijo njihovih obrazov.
Tako so takšni zvezdnati poliedri znani kot: zvezdnate oblike oktaedra, dodekaeder, ikosaeder, kuboktaeder, ikosododekaeder.
