Georg Kantor (fotografija je podana kasneje v članku) je nemški matematik, ki je ustvaril teorijo množic in uvedel koncept transkončnih števil, neskončno velikih, a med seboj drugačnih. Določil je tudi redna in kardinalna števila ter ustvaril njihovo aritmetiko.
Georg Kantor: kratka biografija
Rojen v Sankt Peterburgu 3.3.1845. Njegov oče je bil Danec protestantske vere Georg-Valdemar Kantor, ki se je ukvarjal s trgovino, tudi na borzi. Njegova mati Maria Bem je bila katoličanka in je izhajala iz družine uglednih glasbenikov. Ko je Georgov oče leta 1856 zbolel, se je družina v iskanju milejše klime preselila najprej v Wiesbaden in nato v Frankfurt. Dečkovi matematični talenti so se pokazali že pred njegovim 15. rojstnim dnevom med študijem v zasebnih šolah in gimnazijah v Darmstadtu in Wiesbadnu. Na koncu je Georg Cantor svojega očeta prepričal o svoji trdni nameri, da postane matematik, ne inženir.
Po kratkem študiju na Univerzi v Zürichu se je Kantor leta 1863 preselil na Univerzo v Berlinu, kjer je študiral fiziko, filozofijo in matematiko. Tam gaučil:
- Karl Theodor Weierstrass, čigar specializacija za analizo je verjetno imela največji vpliv na Georga;
- Ernst Eduard Kummer, ki je poučeval višjo aritmetiko;
- Leopold Kronecker, teoretik števil, ki je kasneje nasprotoval Cantorju.
Po tem, ko je leta 1866 preživel en semester na Univerzi v Göttingenu, je naslednje leto Georg napisal doktorsko disertacijo z naslovom "V matematiki je umetnost postavljanja vprašanj bolj dragocena kot reševanje problemov" o problemu, ki ga je imel Carl Friedrich Gauss. ostal nerešen v njegovem Disquisitiones Arithmeticae (1801). Po kratkem poučevanju na berlinski dekliški šoli je Kantor začel delati na univerzi v Halleju, kjer je ostal do konca svojega življenja, najprej kot učitelj, od leta 1872 kot docent in od 1879 kot profesor.
Raziskava
Na začetku serije 10 člankov od 1869 do 1873 je Georg Cantor obravnaval teorijo števil. Delo je odražalo njegovo strast do te teme, njegove študije Gaussa in Kroneckerjev vpliv. Na predlog Heinricha Eduarda Heineja, Cantorjevega kolega v Halleju, ki je prepoznal njegov matematični talent, se je obrnil na teorijo trigonometričnih vrst, v kateri je razširil pojem realnih števil.
Na podlagi dela o funkciji kompleksne spremenljivke nemškega matematika Bernharda Riemanna leta 1854 je Kantor leta 1870 pokazal, da je takšno funkcijo mogoče predstaviti samo na en način – s trigonometričnimi vrstami. Upoštevanje niza številk (točk), kine bi v nasprotju s takšnim pogledom, ga je leta 1872 najprej pripeljalo do definicije iracionalnih števil v smislu konvergentnih zaporedij racionalnih števil (ulomkov celih števil) in nato do začetka dela na njegovem življenjskem delu, teoriji množic in konceptu. transkončnih števil.
teorija nizov
Georg Cantor, čigar teorija množic je nastala v korespondenci z matematikom Tehničnega inštituta v Braunschweigu Richardom Dedekindom, je bil njegov prijatelj že od otroštva. Ugotovili so, da so množice, končne ali neskončne, zbirke elementov (npr. števil, {0, ±1, ±2…}), ki imajo določeno lastnost, hkrati pa ohranjajo svojo individualnost. Ko pa je Georg Cantor uporabil korespondenco ena proti ena (na primer {A, B, C} do {1, 2, 3}) za preučevanje njihovih značilnosti, je hitro ugotovil, da se razlikujejo po stopnji pripadnosti, celo če bi bile neskončne množice, torej množice, katerih del ali podmnožica vključuje toliko predmetov, kot je sama. Njegova metoda je kmalu dala neverjetne rezultate.
Leta 1873 je Georg Cantor (matematik) pokazal, da so racionalna števila, čeprav neskončna, štetna, ker jih je mogoče postaviti v korespondenco ena proti ena z naravnimi števili (tj. 1, 2, 3 itd.). d.). Pokazal je, da je množica realnih števil, sestavljena iz iracionalnih in racionalnih, neskončna in nešteta. Bolj paradoksalno je Cantor dokazal, da množica vseh algebraičnih števil vsebuje toliko elementov kotkoliko je nabor vseh celih števil in da je transcendentna števila, ki niso algebraična, ki so podmnožica iracionalnih števil, nešteta in je zato njihovo število večje od celih števil in jih je treba obravnavati kot neskončno.
Nasprotniki in podporniki
A Kantorjev dokument, v katerem je prvič predstavil te rezultate, ni bil objavljen v Krellu, saj je eden od recenzentov, Kronecker, ostro nasprotoval. Toda po posredovanju Dedekinda je bila objavljena leta 1874 pod naslovom "O karakterističnih lastnostih vseh realnih algebrskih števil."
Znanost in zasebno življenje
Istega leta je Kantor na medenih tednih z ženo Wally Gutman v Interlaknu v Švici spoznal Dedekinda, ki je pozitivno govoril o njegovi novi teoriji. Georgeova plača je bila majhna, a je z denarjem očeta, ki je umrl leta 1863, zgradil hišo za svojo ženo in pet otrok. Številni njegovi prispevki so bili objavljeni na Švedskem v novi reviji Acta Mathematica, ki jo je uredil in ustanovil Gesta Mittag-Leffler, ki je bil med prvimi, ki je prepoznal talent nemškega matematika.
Povezava z metafiziko
Cantorjeva teorija je postala povsem nov predmet preučevanja matematike neskončnega (npr. serije 1, 2, 3 itd. in bolj zapletene množice), ki je bila močno odvisna od medsebojnega dopisovanja. Kantorjev razvoj novih uprizoritvenih metodvprašanja o kontinuiteti in neskončnosti, so njegovi raziskavi dali dvoumen značaj.
Ko je trdil, da neskončno število res obstaja, se je obrnil na starodavno in srednjeveško filozofijo glede dejanske in potencialne neskončnosti, pa tudi na zgodnjo versko izobrazbo, ki so mu jo dali starši. Leta 1883 je Kantor v svoji knjigi Temelji splošne teorije množic združil svoj koncept s Platonovo metafiziko.
Kronecker, ki je trdil, da "obstajajo" samo cela števila ("Bog je ustvaril cela števila, ostalo je delo človeka"), je dolga leta ostro zavračal njegovo razmišljanje in preprečil njegovo imenovanje na Univerzo v Berlinu.
Transfinite numbers
V letih 1895-97. Georg Cantor je svojo predstavo o kontinuiteti in neskončnosti, vključno z neskončnimi rednimi in kardinalnimi števili, v celoti oblikoval v svojem najbolj znanem delu, objavljenem kot Prispevki k vzpostavitvi teorije transkončnih števil (1915). Ta esej vsebuje njegov koncept, do katerega ga je pripeljal z demonstracijo, da je mogoče neskončno množico postaviti v korespondenco ena proti ena z eno od njegovih podmnožic.
Pod najmanj transfinitnim kardinalnim številom je mislil na kardinalnost katerega koli niza, ki ga je mogoče postaviti v korespondenco ena proti ena z naravnimi števili. Cantor ga je imenoval aleph-null. Velike transkončne množice označujemo alef-ena, alep-dva itd. Nadalje je razvil aritmetiko transfinitnih števil, ki je bila analogna končni aritmetiki. tako onobogatil koncept neskončnosti.
Nasprotovanje, s katerim se je soočil, in čas, ki je bil potreben, da so bile njegove ideje v celoti sprejete, sta posledica težav pri ponovnem ovrednotenju starodavnega vprašanja, kaj je število. Cantor je pokazal, da ima niz točk na premici višjo kardinalnost kot aleph-nič. To je pripeljalo do dobro znane težave hipoteze o kontinuumu – med aleph-nič in močjo točk na premici ni kardinalnih številk. Ta problem je v prvi in drugi polovici 20. stoletja vzbudil veliko zanimanje in so ga preučevali številni matematiki, med njimi Kurt Gödel in Paul Cohen.
Depresija
Biografijo Georga Kantorja od leta 1884 je zasenčila njegova duševna bolezen, vendar je še naprej aktivno delal. Leta 1897 je sodeloval pri izvedbi prvega mednarodnega matematičnega kongresa v Zürichu. Deloma zato, ker mu je nasprotoval Kronecker, je pogosto simpatiziral z mladimi nadebudnimi matematiki in iskal način, kako jih rešiti pred nadlegovanjem učiteljev, ki so se počutili ogrožene zaradi novih idej.
Priznanje
Na prelomu stoletja je bilo njegovo delo v celoti priznano kot osnova za teorijo funkcij, analizo in topologijo. Poleg tega so knjige Cantorja Georga služile kot spodbuda za nadaljnji razvoj intuicionističnih in formalističnih šol logičnih temeljev matematike. To je bistveno spremenilo sistem poučevanja in je pogosto povezano z "novo matematiko".
Leta 1911 je bil Kantor med povabljenimipraznovanje 500. obletnice univerze St. Andrews na Škotskem. Tja je šel v upanju, da bo srečal Bertranda Russella, ki se je v svojem nedavno objavljenem delu Principia Mathematica večkrat skliceval na nemškega matematika, a se to ni zgodilo. Univerza je Kantorju podelila častno diplomo, vendar zaradi bolezni ni mogel osebno prevzeti nagrade.
Kantor se je upokojil leta 1913, živel v revščini in med prvo svetovno vojno stradal. Proslave ob njegovem 70. rojstnem dnevu leta 1915 so bile zaradi vojne odpovedane, a je bila manjša slovesnost na njegovem domu. Umrl je 01.06.1918 v Halleju, v psihiatrični bolnišnici, kjer je preživel zadnja leta svojega življenja.
Georg Kantor: biografija. Družina
9. avgusta 1874 se je nemški matematik poročil z Wallyjem Gutmannom. Par je imel 4 sinove in 2 hčerki. Zadnji otrok se je rodil leta 1886 v novi hiši, ki jo je kupil Kantor. Očetova dediščina mu je pomagala preživljati družino. Kantorjevo zdravje je močno prizadela smrt njegovega najmlajšega sina leta 1899 in od takrat ga depresija ne zapušča.
