Pojav koncepta integrala je bil posledica potrebe po iskanju antiderivacijske funkcije po njenem izpeljanki, pa tudi po določitvi količine dela, površine kompleksnih figur, prevožene razdalje, z parametri, opisani s krivuljami, opisanimi z nelinearnimi formulami.
Iz tečaja
in fizika ve, da je delo enako zmnožku sile in razdalje. Če se vse gibanje odvija s konstantno hitrostjo ali je razdalja premagana z uporabo iste sile, potem je vse jasno, le pomnožiti jih morate. Kaj je integral konstante? To je linearna funkcija v obliki y=kx+c.
Toda sila med delom se lahko spremeni in v nekakšni naravni odvisnosti. Enaka situacija se zgodi pri izračunu prevožene razdalje, če hitrost ni konstantna.
Torej je jasno, čemu služi integral. Njegova definicija kot vsota produktov vrednosti funkcije z neskončno majhnim prirastkom argumenta v celoti opisuje glavni pomen tega koncepta kot površino figure, ki je od zgoraj omejena s črto funkcije in pri robove po mejah definicije.
Jean Gaston Darboux, francoski matematik, v drugi polovici XIX.stoletja zelo jasno razložil, kaj je integral. Tako jasno je povedal, da na splošno niti srednješolcem ne bi bilo težko razumeti tega vprašanja.
Recimo, da obstaja funkcija katere koli kompleksne oblike. Os y, na kateri so narisane vrednosti argumenta, je razdeljena na majhne intervale, idealno so neskončno majhni, a ker je koncept neskončnosti precej abstrakten, je dovolj, da si predstavljamo le majhne segmente, vrednost od tega je običajno označena z grško črko Δ (delta).
Izkazalo se je, da je funkcija "razrezana" na majhne kocke.
Vsaka vrednost argumenta ustreza točki na osi y, na kateri so izrisane ustrezne vrednosti funkcije. Ker pa ima izbrano območje dve meji, bosta tudi dve vrednosti funkcije, več in manj.
Vsota produktov večjih vrednosti s prirastkom Δ se imenuje velika Darbouxova vsota in je označena kot S. V skladu s tem se manjše vrednosti na omejenem območju, pomnožene z Δ, vse skupaj tvorijo majhno Darbouxovo vsoto s. Sam odsek je podoben pravokotnemu trapezu, saj je ukrivljenost črte funkcije z njenim neskončno majhnim prirastkom mogoče zanemariti. Najlažji način za iskanje površine takšne geometrijske figure je, da zmnožek večje in manjše vrednosti funkcije seštejete z Δ-prirastkom in delite z dva, torej določite kot aritmetično sredino.
Tale je Darbouxov integral:
s=Σf(x) Δ je majhen znesek;
S=Σf(x+Δ)Δ je velika vsota.
Kaj je torej integral? Območje, omejeno s funkcijsko črto in mejami definicije, bo:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
To pomeni, da je aritmetična sredina velikih in majhnih Darbouxovih vsot.c konstantna vrednost, ki je med diferenciacijo nastavljena na nič.
Na podlagi geometrijskega izraza tega koncepta postane fizični pomen integrala jasen. Območje figure, označeno s funkcijo hitrosti in omejeno s časovnim intervalom vzdolž abscisne osi, bo dolžina prevožene poti.
L=∫f(x)dx na intervalu od t1 do t2, Kje
f(x) – funkcija hitrosti, to je formula, po kateri se sčasoma spreminja;
L – dolžina poti;
t1 – začetni čas;
t2 – končni čas potovanja.
Natanko po istem principu je določena količina dela, vzdolž abscise bo izrisana le razdalja, vzdolž ordinate pa bo izrisana količina sile, ki deluje na posamezni točki.
