Če povedano preprosto in na kratko, obseg so vrednosti, ki jih lahko sprejme katera koli funkcija. Če želite v celoti raziskati to temo, morate postopoma razstaviti naslednje točke in koncepte. Najprej razumemo definicijo funkcije in zgodovino njenega videza.
Kaj je funkcija
Vse natančne znanosti nam nudijo številne primere, kjer so zadevne spremenljivke na nek način odvisne ena od druge. Na primer, gostota snovi je v celoti določena z njeno maso in prostornino. Tlak idealnega plina pri konstantni prostornini se spreminja s temperaturo. Te primere združuje dejstvo, da imajo vse formule odvisnosti med spremenljivkami, ki se imenujejo funkcionalne.
Funkcija je koncept, ki izraža odvisnost ene količine od druge. Ima obliko y=f(x), kjer je y vrednost funkcije, ki je odvisna od x - argumenta. Tako lahko rečemo, da je y spremenljivka, ki je odvisna od vrednosti x. Vrednosti, ki jih lahko vzame x skupaj, sodomeno dane funkcije (D(y) ali D(f)), in v skladu s tem vrednosti y sestavljajo niz funkcijskih vrednosti (E(f) ali E(y)). Obstajajo primeri, ko je funkcija podana s formulo. V tem primeru je domena definicije sestavljena iz vrednosti takšnih spremenljivk, pri katerih je zapis s formulo smiseln.
Obstajajo enake ali enake lastnosti. To sta dve funkciji, ki imata enak obseg veljavnih vrednosti, kot tudi vrednosti same funkcije so enake za vse iste argumente.
Številni zakoni natančnih znanosti so poimenovani podobno kot situacije v resničnem življenju. Tako zanimivo dejstvo je tudi o matematični funkciji. Obstaja izrek o meji funkcije, "vkleščene" med dvema drugima, ki imata isto mejo - o dveh policistih. Razlagajo takole: ker dva policista vodita zapornika v celico med njima, je zločinec prisiljen tja in preprosto nima izbire.
Sklic na zgodovinske značilnosti
Koncept funkcije ni takoj postal dokončen in natančen, prestal je dolgo pot postajanja. Prvič, Fermatov Uvod in študij ravninskih in trdnih mest, objavljen v poznem 17. stoletju, je navedel naslednje:
Kadar koli sta v končni enačbi dve neznanki, je prostora.
Na splošno to delo govori o funkcionalni odvisnosti in njeni materialni podobi (mesto=črta).
Tudi približno v istem času je Rene Descartes proučeval črte po njihovih enačbah v svojem delu "Geometrija" (1637), kjer je spet dejstvoodvisnost dveh količin drug od drugega.
Sama omemba izraza "funkcija" se je pojavila šele konec 17. stoletja pri Leibnizu, vendar ne v njegovi sodobni interpretaciji. V svojem znanstvenem delu je menil, da so funkcija različni segmenti, povezani z ukrivljeno črto.
Toda že v 18. stoletju se je funkcija začela bolj pravilno definirati. Bernoulli je zapisal naslednje:
Funkcija je vrednost, sestavljena iz spremenljivke in konstante.
Eulerjeve misli so bile tudi blizu tega:
Funkcija spremenljive količine je analitični izraz, sestavljen na nek način iz te spremenljivke količine in številk ali konstantnih količin.
Kadar so nekatere količine odvisne od drugih na način, da se, ko se slednje spremenijo, same spremenijo, se prve imenujejo funkcije slednjih.
Graf funkcij
Graf funkcije je sestavljen iz vseh točk, ki pripadajo osi koordinatne ravnine, katerih abscise vzamejo vrednosti argumenta, vrednosti funkcije v teh točkah pa so ordinate.
Obseg funkcije je neposredno povezan z njenim grafom, ker če so abscise izključene z obsegom veljavnih vrednosti, potem morate na grafu narisati prazne točke ali narisati graf v določenih mejah. Na primer, če vzamete graf v obliki y=tgx, potem je vrednost x=pi / 2 + pin, n∉R izključena iz območja definicije, v primeru tangentnega grafa morate narisatinavpične črte, vzporedne z osjo y (imenovane so asimptote), ki potekajo skozi točke ±pi/2.
Vsako temeljito in natančno preučevanje funkcij predstavlja veliko vejo matematike, imenovano račun. V osnovni matematiki se dotikajo tudi elementarnih vprašanj o funkcijah, na primer izdelava preprostega grafa in vzpostavitev nekaterih osnovnih lastnosti funkcije.
Katero funkcijo je mogoče nastaviti na
Funkcija lahko:
- bodi formula, na primer: y=cos x;
- nastavljena s katero koli tabelo parov oblike (x; y);
- takoj grafični pogled, za to morajo biti na koordinatnih oseh prikazani pari iz prejšnje postavke obrazca (x; y).
Bodite previdni pri reševanju nekaterih težav na visoki ravni, skoraj vsak izraz lahko obravnavamo kot funkcijo glede na neki argument za vrednost funkcije y (x). Iskanje domene definicije v takih nalogah je lahko ključ do rešitve.
Za kaj je namenjen?
Prva stvar, ki jo morate vedeti o funkciji, da jo preučite ali zgradite, je njen obseg. Graf naj vsebuje samo tiste točke, kjer funkcija lahko obstaja. Domena definicije (x) se lahko imenuje tudi domena sprejemljivih vrednosti (skrajšano kot ODZ).
Za pravilno in hitro sestavljanje grafa funkcij morate poznati domeno te funkcije, saj sta od tega odvisna videz grafa in zvestobaGradnja. Na primer, če želite zgraditi funkcijo y=√x, morate vedeti, da lahko x sprejme samo pozitivne vrednosti. Zato je zgrajen samo v prvem koordinatnem kvadrantu.
Obseg definicije na primeru osnovnih funkcij
V svojem arzenalu ima matematika majhno število preprostih, definiranih funkcij. Imajo omejen obseg. Rešitev tega vprašanja ne bo povzročala težav, tudi če imate pred vami tako imenovano kompleksno funkcijo. To je le kombinacija več preprostih.
- Torej, funkcija je lahko frakcijska, na primer: f(x)=1/x. Tako je spremenljivka (naš argument) v imenovalcu in vsi vedo, da imenovalec ulomka ne more biti enak 0, zato ima argument lahko katero koli vrednost razen 0. Zapis bo videti takole: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Če je v imenovalcu nekaj izraza s spremenljivko, potem morate rešiti enačbo za x in izključiti vrednosti, ki obračajo imenovalec na 0. Za shematski prikaz je dovolj 5 dobro izbranih točk. Graf te funkcije bo hiperbola z navpično asimptoto, ki poteka skozi točko (0; 0) in v kombinaciji osi Ox in Oy. Če se grafična slika seka z asimptotami, se bo takšna napaka štela za najbolj grobo.
- Kaj pa je domena korena? Tudi domena funkcije z radikalnim izrazom (f(x)=√(2x + 5)), ki vsebuje spremenljivko, ima svoje nianse (velja samo za koren sode stopnje). Kotaritmetični koren je pozitiven izraz ali enak 0, potem mora biti korenski izraz večji ali enak 0, rešimo naslednjo neenakost: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, torej domena tega funkcija: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Graf je ena od vej parabole, zasukana za 90 stopinj, ki se nahaja v prvem koordinatnem kvadrantu.
- Če imamo opravka z logaritemsko funkcijo, se spomnite, da obstaja omejitev glede osnove logaritma in izraza pod znakom logaritma, v tem primeru lahko najdete domeno definicije kot sledi. Imamo funkcijo: y=loga(x + 7), rešimo neenakost: x + 7 > 0, x > -7. Potem je domena te funkcije D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Bodite pozorni tudi na trigonometrične funkcije v obliki y=tgx in y=ctgx, saj je y=tgx=sinx/cos/x in y=ctgx=cosx/sinx, zato morate vrednosti izključiti pri kateri je imenovalec lahko enak nič. Če poznate grafe trigonometričnih funkcij, je razumevanje njihove domene preprosta naloga.
Kako deluje s kompleksnimi funkcijami drugače
Zapomnite si nekaj osnovnih pravil. Če delamo s kompleksno funkcijo, potem ni treba nečesa reševati, poenostavljati, seštevati ulomke, zmanjševati na najnižji skupni imenovalec in izvleči korenine. To funkcijo moramo raziskati, ker lahko različne (tudi enake) operacije spremenijo obseg funkcije, kar povzroči napačen odgovor.
Na primer, imamo kompleksno funkcijo: y=(x2 - 4)/(x - 2). Števca in imenovalca ulomka ne moremo zmanjšati, saj je to mogoče le, če je x ≠ 2, to pa je naloga iskanja domene funkcije, zato števca ne faktoriziramo in ne rešujemo nobene neenakosti, ker vrednost, pri kateri funkcija ne obstaja, vidna s prostim očesom. V tem primeru x ne more prevzeti vrednosti 2, ker imenovalec ne more iti na 0, bo zapis videti takole: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Vzajemne funkcije
Za začetek je vredno povedati, da lahko funkcija postane reverzibilna le v intervalu povečanja ali zmanjšanja. Da bi našli inverzno funkcijo, morate zamenjati x in y v zapisu in rešiti enačbo za x. Domeni definicije in domene vrednosti so preprosto obrnjeni.
Glavni pogoj za reverzibilnost je monoton interval funkcije, če ima funkcija intervale naraščanja in padanja, potem je mogoče sestaviti inverzno funkcijo katerega koli intervala (naraščajoče ali padajoče).
Na primer, za eksponentno funkcijo y=exrecipročna je naravna logaritemska funkcija y=logea=lna. Za trigonometrijo bodo to funkcije s predpono arc-: y=sinx in y=arcsinx in tako naprej. Grafi bodo postavljeni simetrično glede na nekatere osi ali asimptote.
Sklepi
Iskanje obsega sprejemljivih vrednosti se zmanjša na pregled grafa funkcij (če obstaja),beleženje in reševanje potrebnega specifičnega sistema neenakosti.
Tako vam je ta članek pomagal razumeti, čemu je namenjen obseg funkcije in kako ga najti. Upamo, da vam bo pomagal dobro razumeti osnovni šolski tečaj.
