Goldbachov problem je eden najstarejših in najbolj razglašenih problemov v zgodovini vse matematike.
Ta domneva je dokazano resnična za vsa cela števila, manjša od 4 × 1018, vendar ostaja nedokazana kljub znatnim prizadevanjem matematikov.
številka
Goldbachovo število je pozitivno sodo celo število, ki je vsota para lihih praštevil. Druga oblika Goldbachove domneve je, da so vsa soda cela števila, večja od štirih, Goldbachova števila.
Ločitev takšnih števil se imenuje Goldbachova particija (ali particija). Spodaj so primeri podobnih razdelkov za nekatera soda števila:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Odkritje hipoteze
Goldbach je imel kolega po imenu Euler, ki je rad štel, pisal kompleksne formule in predlagal nerešljive teorije. V tem so bili podobni Goldbachu. Euler je podobno matematično uganko zastavil še pred Goldbachom, s katerim jestalno dopisovanje. Nato je na robu svojega rokopisa predlagal drugi predlog, po katerem bi lahko celo število, večje od 2, zapisali kot vsoto treh praštevil. Števil je 1 za praštevilo.
Zdaj je znano, da sta si hipotezi podobni, vendar se takrat ni zdelo, da bi bila to težava. Sodobna različica Goldbachovega problema pravi, da lahko vsako celo število, večje od 5, zapišemo kot vsoto treh praštevil. Euler je odgovoril v pismu z dne 30. junija 1742 in Goldbacha spomnil na prejšnji pogovor, ki so ga imeli (»… torej govorimo o prvotni (in ne obrobni) hipotezi, ki izhaja iz naslednje izjave«).
Euler-Goldbach problem
2 in njegova soda števila lahko zapišemo kot vsoto dveh praštevil, kar je tudi Goldbachova domneva. V pismu z dne 30. junija 1742 je Euler navedel, da je vsako sodo celo število rezultat seštevanja dveh praštevil, kar meni, da je dobro opredeljen izrek, čeprav tega ne more dokazati.
Tretja različica
Tretja različica Goldbachovega problema (ekvivalentna drugim dvema različicama) je oblika, v kateri je domneva običajno podana danes. Znana je tudi kot "močna", "soda" ali "binarna" Goldbachova hipoteza, da jo razlikujemo od šibkejše hipoteze, ki je danes znana kot "šibka", "neparna" ali "trojna" Goldbachova hipoteza. Šibka domneva pravi, da so vsa liha števila, večja od 7, vsota treh lihih praštevil. Šibka domneva je bila dokazana leta 2013. Šibka hipoteza jeposledica močne hipoteze. Obratna posledica in močna Goldbachova domneva sta še danes nedokazana.
Ček
Za majhne vrednosti n je mogoče preveriti Goldbachov problem (in s tem Goldbachovo domnevo). Nils Pipping je na primer leta 1938 skrbno preizkusil hipotezo do n ≦ 105. S prihodom prvih računalnikov je bilo izračunanih veliko več vrednosti n.
Oliveira Silva je izvedla porazdeljeno računalniško iskanje, ki je potrdilo hipotezo za n ≦ 4 × 1018 (in dvakrat preverilo do 4 × 1017) od leta 2013. Eden od vnosov iz tega iskanja je, da je 3,325,581,707,333,960,528 najmanjše število, ki nima Goldbachove delitve s praštevilom pod 9781.
hevristika
Različica za močno obliko Goldbachove domneve je naslednja: ker se količina z naraščanjem n nagiba k neskončnosti, pričakujemo, da ima vsako veliko sodo celo število več kot eno predstavo kot vsoto dveh praštevil. Toda v resnici je takšnih predstavitev veliko. Kdo je rešil problem Goldbacha? Aja, še nihče.
Ta hevristični argument je pravzaprav nekoliko nenatančen, saj predpostavlja, da je m statistično neodvisen od n. Na primer, če je m liho, je tudi n - m liho, in če je m sodo, je n - m sodo, in to je netrivialna (kompleksna) relacija, saj je poleg števila 2 le liho števila so lahko pra. Podobno, če je n deljivo s 3 in je m že bil praštevilec, ki ni 3, potem je n - m tudi vzajemnopraštevilo s 3, zato je večja verjetnost, da bo praštevilo v primerjavi s skupnim številom. Ob natančnejšem izvajanju te vrste analize sta Hardy in Littlewood leta 1923 kot del svoje slavne domneve o preprostem kortiku Hardy-Littlewood naredila zgornjo izpopolnitev celotne teorije. Vendar doslej ni pomagalo rešiti težave.
Močna hipoteza
Močna Goldbachova domneva je veliko bolj zapletena od šibke Goldbachove domneve. Shnirelman je kasneje dokazal, da je vsako naravno število, večje od 1, mogoče zapisati kot vsoto največ C praštevil, kjer je C učinkovito izračunljiva konstanta. Mnogi matematiki so jo poskušali rešiti, štetje in množenje števil, ponujanje kompleksnih formul itd. A nikoli jim ni uspelo, ker je hipoteza preveč zapletena. Nobena formula ni pomagala.
Vendar se je vredno malo odmakniti od vprašanja dokazovanja Goldbachove težave. Shnirelmanova konstanta je najmanjše število C s to lastnostjo. Sam Shnirelman je dobil C <800 000. Ta rezultat so pozneje dopolnili številni avtorji, kot je Olivier Ramaret, ki je leta 1995 pokazal, da je vsako sodo število n ≧ 4 pravzaprav vsota največ šestih praštevil. Najbolj znan rezultat, ki je trenutno povezan z Goldbachovo teorijo Haralda Helfgotta.
Nadaljnji razvoj
Leta 1924 sta Hardy in Littlewood prevzela G. R. H. pokazala, da je število sodih števil do X, ki kršijo binarni Goldbachov problem, veliko manjše kot pri majhnih c.
Leta 1973 Chen JingyunPoskušal sem rešiti ta problem, vendar ni šlo. Bil je tudi matematik, zato je zelo rad reševal uganke in dokazoval izreke.
Leta 1975 sta dva ameriška matematika pokazala, da obstajata pozitivni konstanti c in C - tisti, za katere je dovolj veliko N. Zlasti niz sodih celih števil ima nič gostote. Vse to je bilo koristno za delo pri reševanju ternarnega Goldbachovega problema, ki bo potekalo v prihodnosti.
Leta 1951 je Linnik dokazal obstoj konstante K, tako da je vsako dovolj veliko sodo število rezultat seštevanja enega praštevila in drugega praštevila. Roger Heath-Brown in Jan-Christoph Schlage-Puchta sta leta 2002 ugotovila, da K=13 deluje. To je zelo zanimivo za vse ljudi, ki se radi seštevajo, seštevajo različne številke in vidijo, kaj se zgodi.
Rešitev problema Goldbach
Tako kot pri mnogih dobro znanih domnevah v matematiki, obstajajo številni domnevni dokazi o Goldbachovi domnevi, od katerih matematična skupnost ne sprejme nobenega.
Čeprav Goldbachova domneva namiguje, da je vsako pozitivno celo število, večje od ena, mogoče zapisati kot vsoto največ treh praštevil, takšne vsote ni vedno mogoče najti z uporabo požrešnega algoritma, ki uporablja največje možno praštevilo. na vsakem koraku. Zaporedje Pillai spremlja števila, ki zahtevajo največ praštevil v svojih požrešnih predstavitvah. Zato je rešitev problema Goldbachše vedno pod vprašajem. Kljub temu bo prej ali slej najverjetneje rešeno.
Obstajajo teorije, podobne Goldbachovemu problemu, v katerih se praštevila nadomestijo z drugimi specifičnimi nizi števil, kot so kvadrati.
Christian Goldbach
Christian Goldbach je bil nemški matematik, ki je študiral tudi pravo. Danes se ga spominjamo po Goldbachovi domnevi.
Vse življenje je delal kot matematik - zelo rad je sešteval števila, izumil nove formule. Znal je tudi več jezikov, v vsakem pa je vodil svoj osebni dnevnik. Ti jeziki so bili nemški, francoski, italijanski in ruski. Prav tako je po nekaterih virih govoril angleško in latinsko. V času svojega življenja je bil znan kot precej znan matematik. Goldbach je bil tudi precej tesno povezan z Rusijo, saj je imel veliko ruskih kolegov in osebno naklonjenost kraljeve družine.
Še naprej je delal na novo odprti akademiji znanosti v Sankt Peterburgu leta 1725 kot profesor matematike in zgodovinar akademije. Leta 1728, ko je Peter II postal ruski car, je Goldbach postal njegov mentor. Leta 1742 je vstopil v rusko zunanje ministrstvo. Se pravi, da je dejansko delal pri nas. Takrat je v Rusijo prišlo veliko znanstvenikov, pisateljev, filozofov in vojakov, saj je bila Rusija takrat država priložnosti, kot je Amerika. Mnogi so tukaj naredili kariero. In naš junak ni izjema.
Christian Goldbach je bil večjezičen - pisal je dnevnik v nemščini in latinščini, svoja pismaso bili napisani v nemščini, latinščini, francoščini in italijanščini, za uradne dokumente pa je uporabljal ruščino, nemščino in latinščino.
Umrl je 20. novembra 1764 v starosti 74 let v Moskvi. Dan, ko bo Goldbachov problem rešen, bo primeren poklon njegovemu spominu.
Sklep
Goldbach je bil velik matematik, ki nam je dal eno največjih skrivnosti te znanosti. Ni znano, ali bo to kdaj rešeno ali ne. Vemo le, da bo njegova domnevna razrešitev, tako kot v primeru Fermatovega izreka, odprla nove perspektive matematiki. Matematiki jo zelo radi rešujejo in analizirajo. Z hevrističnega vidika je zelo zanimiva in radovedna. Tudi študentje matematike radi rešujejo Goldbachov problem. Kako drugače? Navsezadnje mlade nenehno privlači vse svetlo, ambiciozno in nerešeno, saj se lahko s premagovanjem težav uveljavi. Upajmo, da bodo kmalu ta problem rešili mladi, ambiciozni, radovedni umi.
