Matrika je poseben predmet v matematiki. Upodobljen je v obliki pravokotne ali kvadratne tabele, sestavljene iz določenega števila vrstic in stolpcev. V matematiki obstaja veliko različnih vrst matrik, ki se razlikujejo po velikosti ali vsebini. Številke njegovih vrstic in stolpcev se imenujejo naročila. Ti predmeti se uporabljajo v matematiki za organizacijo pisanja sistemov linearnih enačb in priročno iskanje njihovih rezultatov. Enačbe z uporabo matrike se rešujejo z metodo Carla Gaussa, Gabriela Cramerja, z minorji in algebrskimi seštevanji ter na številne druge načine. Osnovna veščina pri delu z matrikami je, da jih spravimo v standardno obliko. Vendar najprej ugotovimo, katere vrste matrik razlikujejo matematiki.
Nilna vrsta
Vse komponente te vrste matrik so ničle. Medtem je število njegovih vrstic in stolpcev popolnoma drugačno.
kvadratna vrsta
Število stolpcev in vrstic te vrste matrik je enako. Z drugimi besedami, to je miza v obliki "kvadrata". Število njegovih stolpcev (ali vrstic) se imenuje vrstni red. Posebni primeri so obstoj matrice drugega reda (matrika 2x2), četrtega reda (4x4), desetega (10x10), sedemnajstega (17x17) itd.
Vektor stolpca
To je ena najpreprostejših vrst matrik, ki vsebuje samo en stolpec, ki vključuje tri številčne vrednosti. Predstavlja vrsto prostih izrazov (števil, neodvisnih od spremenljivk) v sistemih linearnih enačb.
Vektor vrstice
Ogled podoben prejšnjemu. Sestavljen je iz treh številskih elementov, ki so organizirani v eni vrstici.
Diagonalna vrsta
Samo komponente glavne diagonale (označene z zeleno) prevzamejo številske vrednosti v diagonalni obliki matrike. Glavna diagonala se začne z elementom v zgornjem levem kotu in se konča z elementom v spodnjem desnem kotu. Preostale komponente so nič. Diagonalni tip je le kvadratna matrika nekega reda. Med matrikami diagonalne oblike lahko izpostavimo skalarno. Vse njegove komponente imajo enake vrednosti.
Matrika identitet
Podvrsta diagonalne matrike. Vse njegove številčne vrednosti so enote. Z uporabo ene vrste tabel matrik izvedite njene osnovne transformacije ali poiščite matriko, inverzno originalni.
Kanonična vrsta
Kanonična oblika matrike velja za eno glavnih; litje nanj je pogosto potrebno za delo. Število vrstic in stolpcev v kanonični matriki je različno, ni nujno, da pripada kvadratni vrsti. Nekoliko je podobna matriki identitete, vendar v njenem primeru vse komponente glavne diagonale ne dobijo vrednosti, ki je enaka ena. Glavne diagonalne enote so lahko dve ali štiri (vse je odvisno od dolžine in širine matrice). Ali pa morda sploh ni enot (takrat se šteje za nič). Preostale komponente kanoničnega tipa, pa tudi elementi diagonale in identitete, so enaki nič.
vrsta trikotnika
Ena najpomembnejših vrst matrik, ki se uporablja pri iskanju njene determinante in pri izvajanju preprostih operacij. Trikotni tip izhaja iz diagonalnega tipa, zato je matrika tudi kvadratna. Trikotni pogled na matriko je razdeljen na zgornji trikoten in spodnji trikoten.
V zgornji trikotni matriki (slika 1) samo elementi, ki so nad glavno diagonalo, dobijo vrednost enako nič. Komponente same diagonale in del matrike pod njo vsebujejo številčne vrednosti.
V spodnji trikotni matriki (slika 2), nasprotno, elementi, ki se nahajajo v spodnjem delu matrike, so enaki nič.
Matrika korakov
Pogled je potreben za iskanje ranga matrike, pa tudi za osnovne operacije na njih (skupaj s trikotnim tipom). Matrika korakov je tako imenovana, ker vsebuje značilne "korake" nič (kot je prikazano na sliki). Pri stopenjskem tipu se oblikuje diagonala ničel (ne nujno glavna), vsi elementi pod to diagonalo pa imajo tudi vrednosti enake nič. Predpogoj je naslednji: če je v matriki korakov ničelna vrstica, potem tudi preostale vrstice pod njo ne vsebujejo številskih vrednosti.
Tako smo upoštevali najpomembnejše vrste matrik, ki so potrebne za delo z njimi. Zdaj pa se ukvarjajmo z nalogo pretvorbe matrike v zahtevano obliko.
Zmanjšaj v trikotno obliko
Kako spraviti matriko v trikotno obliko? Najpogosteje morate pri nalogah pretvoriti matriko v trikotno obliko, da bi našli njeno determinanto, sicer imenovano determinanta. Pri izvajanju tega postopka je izjemno pomembno, da "ohranite" glavno diagonalo matrike, saj je determinanta trikotne matrike natanko produkt komponent njene glavne diagonale. Naj vas spomnim tudi na alternativne metode za iskanje determinante. Kvadratni determinant najdemo s posebnimi formulami. Na primer, lahko uporabite metodo trikotnika. Za druge matrike se uporablja metoda dekompozicije po vrstici, stolpcu ali njihovih elementih. Uporabite lahko tudi metodo minorov in algebrskih dopolnil matrike.
PodrobnostiAnalizirajmo postopek speljevanja matrike v trikotno obliko s primeri nekaterih nalog.
1. naloga
Treba je najti determinanto predstavljene matrike, tako da jo pripeljemo do trikotne oblike.
Matrika, ki nam je dana, je kvadratna matrika tretjega reda. Zato, da ga pretvorimo v trikotno obliko, moramo izničiti dve komponenti prvega stolpca in eno komponento drugega.
Če ga želite spraviti v trikotno obliko, začnite transformacijo iz spodnjega levega vogala matrike - od številke 6. Če jo želite spremeniti v nič, pomnožite prvo vrstico s tri in jo odštejte od zadnje vrstice.
Pomembno! Zgornja vrstica se ne spremeni, ampak ostane enaka kot v izvirni matriki. Ni vam treba napisati niza, ki je štirikrat večji od prvotnega. Toda vrednosti nizov, katerih komponente je treba razveljaviti, se nenehno spreminjajo.
Naprej se lotimo naslednje vrednosti - elementa druge vrstice prvega stolpca, številka 8. Prvo vrstico pomnožimo s štiri in jo odštejemo od druge vrstice. Dobimo nič.
Ostane samo zadnja vrednost - element tretje vrstice drugega stolpca. To je številka (-1). Če ga želite spremeniti na nič, odštejte drugo od prve vrstice.
Preverimo:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Torej je odgovor na nalogo -22.
2. naloga
Moramo najti determinanto matrike tako, da jo spravimo v trikotno obliko.
Predstavljena matrikaspada v kvadratni tip in je matrika četrtega reda. To pomeni, da je treba tri komponente prvega stolpca, dve komponenti drugega stolpca in eno komponento tretjega stolpca izničiti.
Začnimo zmanjševanje od elementa, ki se nahaja v spodnjem levem kotu - od številke 4. To številko moramo obrniti na nič. Najlažji način za to je, da zgornjo vrstico pomnožite s štirimi in jo nato odštejete od četrte vrstice. Zapišimo rezultat prve stopnje transformacije.
Torej je komponenta četrte vrstice nastavljena na nič. Pojdimo na prvi element tretje vrstice, na številko 3. Izvedemo podobno operacijo. Prvo vrstico pomnožite s tri, jo odštejte od tretje vrstice in zapišite rezultat.
Naprej vidimo številko 2 v drugi vrstici. Ponovimo operacijo: zgornjo vrstico pomnožimo z dva in jo odštejemo od druge.
Uspeli smo nastaviti na nič vse komponente prvega stolpca te kvadratne matrike, razen številke 1, elementa glavne diagonale, ki ne potrebuje transformacije. Zdaj je pomembno, da nastale ničle ohranimo, zato bomo transformacije izvajali z vrsticami in ne stolpci. Pojdimo na drugi stolpec predstavljene matrike.
Začnimo znova od spodaj - od elementa drugega stolpca zadnje vrstice. To je številka (-7). Vendar je v tem primeru bolj priročno začeti s številko (-1) - elementom drugega stolpca tretje vrstice. Če ga želite spremeniti na nič, odštejte drugo vrstico od tretje vrstice. Nato drugo vrstico pomnožimo s sedem in jo odštejemo od četrte. Namesto elementa, ki se nahaja v četrti vrstici drugega stolpca, smo dobili nič. Zdaj pa pojdimo na tretjostolpec.
V tem stolpcu moramo na nič obrniti samo eno številko - 4. To je enostavno narediti: samo dodajte tretjo zadnji vrstici in si oglejte ničlo, ki jo potrebujemo.
Po vseh transformacijah smo predlagano matriko spravili v trikotno obliko. Zdaj, da bi našli njegovo determinanto, morate le pomnožiti nastale elemente glavne diagonale. Dobimo: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Zato je rešitev število 160.
Torej, zdaj vam vprašanje, kako spraviti matriko v trikotno obliko, ne bo otežilo.
Zmanjšanje na stopenjsko obliko
Pri osnovnih operacijah z matrikami je stopničasta oblika manj "zahtevana" kot trikotna. Najpogosteje se uporablja za iskanje ranga matrike (tj. števila njenih vrstic, ki niso nič) ali za določanje linearno odvisnih in neodvisnih vrstic. Vendar pa je stopničasti matrični pogled bolj vsestranski, saj ni primeren samo za kvadratni tip, ampak za vse druge.
Če želite matriko reducirati na stopničasto obliko, morate najprej najti njeno determinanto. Za to so primerne zgornje metode. Namen iskanja determinante je ugotoviti, ali jo je mogoče pretvoriti v matriko korakov. Če je determinanta večja ali manjša od nič, potem lahko varno nadaljujete z nalogo. Če je enak nič, zmanjšati matriko v stopničasto obliko ne bo delovalo. V tem primeru morate preveriti, ali so v zapisu ali v matričnih transformacijah kakšne napake. Če takšnih netočnosti ni, naloge ni mogoče rešiti.
Poglejmo, kakoprinesite matriko v stopenjsko obliko z uporabo primerov več nalog.
Naloga 1. Poiščite rang dane matrične tabele.
Pred nami je kvadratna matrika tretjega reda (3x3). Vemo, da je za iskanje ranga potrebno, da ga zmanjšamo na stopničasto obliko. Zato moramo najprej poiskati determinanto matrike. Uporaba metode trikotnika: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Večji je od nič, kar pomeni, da je matriko mogoče reducirati na stopničasto obliko. Začnimo z njegovimi preobrazbami.
Začnimo z elementom levega stolpca tretje vrstice - številko 2. Zgornjo vrstico pomnožimo z dva in jo odštejemo od tretje. Zahvaljujoč tej operaciji sta se tako element, ki ga potrebujemo, kot številka 4 - element drugega stolpca tretje vrstice - spremenila v nič.
Naslednji element druge vrstice prvega stolpca obrnite na nič - številko 3. Če želite to narediti, zgornjo vrstico pomnožite s tri in jo odštejte od druge.
Vidimo, da je zmanjšanje povzročilo trikotno matriko. V našem primeru transformacije ni mogoče nadaljevati, saj preostalih komponent ni mogoče obrniti na nič.
Torej sklepamo, da je število vrstic, ki vsebujejo številske vrednosti v tej matriki (ali njen rang) 3. Odgovor na nalogo: 3.
Naloga 2. Določite število linearno neodvisnih vrstic te matrike.
Poiskati moramo nize, ki jih ni mogoče obrniti z nobeno transformacijona nič. Pravzaprav moramo najti število vrstic, ki niso nič, ali rang predstavljene matrike. Če želite to narediti, poenostavimo.
Vidimo matriko, ki ne pripada kvadratnemu tipu. Ima dimenzije 3x4. Začnemo tudi oddajo iz elementa spodnjega levega kota - številke (-1).
Prvo vrstico dodajte tretji. Nato odštejte drugo od nje, da obrnete številko 5 na nič.
Nadaljnje transformacije so nemogoče. Torej sklepamo, da je število linearno neodvisnih vrstic v njej in odgovor na nalogo 3.
Zdaj spravljanje matrike v stopničasto obliko za vas ni nemogoča naloga.
Na primerih teh nalog smo analizirali redukcijo matrike na trikotno in stopničasto obliko. Da bi izničili želene vrednosti matričnih tabel, je v nekaterih primerih potrebno pokazati domišljijo in pravilno preoblikovati njihove stolpce ali vrstice. Vso srečo pri matematiki in delu z matrikami!
