Sodeč po priljubljenosti zahteve "Fermatov izrek - kratek dokaz", je ta matematični problem res zanimiv za mnoge. Ta izrek je prvi navedel Pierre de Fermat leta 1637 na robu kopije Aritmetike, kjer je trdil, da ima rešitev, ki je prevelika, da bi se prilegala na rob.
Prvi uspešen dokaz je bil objavljen leta 1995 - to je bil popoln dokaz Fermatovega izreka Andrewa Wilesa. Opisali so ga kot "osupljiv napredek", zaradi česar je Wiles leta 2016 prejel Abelovo nagrado. Čeprav je opisan relativno na kratko, je dokaz Fermatovega izreka dokazal tudi velik del izreka modularnosti in odprl nove pristope k številnim drugim problemom in učinkovitim metodam za dvig modularnosti. Ti dosežki so matematiko napredovali 100 let v prihodnost. Dokaz Fermatovega malega izreka danes nije nekaj nenavadnega.
Nerešen problem je spodbudil razvoj algebraične teorije števil v 19. stoletju in iskanje dokaza izreka modularnosti v 20. stoletju. To je eden najvidnejših izrekov v zgodovini matematike in do popolnega dokaza o delitvi Fermatovega zadnjega izreka je bil v Guinnessovi knjigi rekordov "najtežji matematični problem", katerega ena od značilnosti je, da ima največje število neuspešnih dokazov.
Zgodovinsko ozadje
Pitagorova enačba x2 + y2=z2 ima neskončno število pozitivnih celoštevilske rešitve za x, y in z. Te rešitve so znane kot pitagorejske trojice. Okoli leta 1637 je Fermat na robu knjige zapisal, da bolj splošna enačba a + b =cnima rešitve v naravnih številih, če je n celo število večje od 2. Čeprav je Fermat sam trdil, da ima rešitev za svoj problem, ni pustil nobenih podrobnosti o njenem dokazu. Elementarni dokaz Fermatovega izreka, ki ga je zahteval njegov ustvarjalec, je bil prej njegova hvalisavska iznajdba. Knjiga velikega francoskega matematika je bila odkrita 30 let po njegovi smrti. Ta enačba, imenovana Fermatov zadnji izrek, je ostala nerešena v matematiki tri stoletja in pol.
Izrek je sčasoma postal eden najbolj opaznih nerešenih problemov v matematiki. Poskusi dokazati to so povzročili pomemben razvoj teorije števil in s prehodomčas, je zadnji Fermatov izrek postal znan kot nerešen problem v matematiki.
Kratka zgodovina dokazov
Če je n=4, kot je dokazal Fermat sam, zadostuje dokazati izrek za indekse n, ki so praštevila. V naslednjih dveh stoletjih (1637-1839) je bila domneva dokazana le za praštevila 3, 5 in 7, čeprav je Sophie Germain posodobila in dokazala pristop, ki je veljal za celoten razred praštevil. Sredi 19. stoletja je Ernst Kummer to razširil in dokazal izrek za vse redne praštevile, pri čemer so bili nepravilni praštevili analizirani posamezno. Na podlagi Kummerjevega dela in z uporabo sofisticiranih računalniških raziskav so lahko drugi matematiki razširili rešitev izreka, da bi zajeli vse glavne eksponente na štiri milijone, vendar dokaz za vse eksponente še vedno ni bil na voljo (kar pomeni, da so matematiki običajno velja, da je rešitev izreka nemogoča, izjemno težka ali nedosegljiva s trenutnim znanjem).
Delo Shimure in Taniyame
Leta 1955 sta japonska matematika Goro Shimura in Yutaka Taniyama sumila, da obstaja povezava med eliptičnimi krivuljami in modularnimi oblikami, dvema zelo različnima vejama matematike. Takrat je bila znana kot domneva Taniyama-Shimura-Weyl in (na koncu) kot izrek modularnosti, obstajala je sama, brez očitne povezave s Fermatovim zadnjim izrekom. Sama je bila splošno sprejeta kot pomemben matematični izrek, vendar se je zdelo (kot Fermatov izrek) nemogoče dokazati. Pri temHkrati je bil dokaz Fermatovega zadnjega izreka (z delitvijo in uporabo kompleksnih matematičnih formul) izveden šele pol stoletja pozneje.
Leta 1984 je Gerhard Frey opazil očitno povezavo med tema dvema prej nepovezanima in nerešenima problemoma. Popolno potrditev, da sta oba izreka tesno povezana, je leta 1986 objavil Ken Ribet, ki je temeljil na delnem dokazu Jean-Pierra Serra, ki je dokazal vse razen enega dela, znanega kot "epsilon hipoteza". Preprosto povedano, ta dela Freya, Serra in Ribeja so pokazala, da če bi bilo mogoče dokazati izrek o modularnosti, vsaj za polstabilen razred eliptičnih krivulj, bi bil slej ko prej odkrit tudi dokaz Fermatovega zadnjega izreka. Vsaka rešitev, ki je lahko v nasprotju z zadnjim Fermatovim izrekom, se lahko uporabi tudi za nasprotovanje izreku modularnosti. Torej, če bi se izrek modularnosti izkazal za resničnega, potem po definiciji ne more obstajati rešitev, ki bi bila v nasprotju s Fermatovim zadnjim izrekom, kar pomeni, da bi morala biti kmalu dokazana.
Čeprav sta bila oba izreka težki problemi v matematiki, ki se štejeta za nerešljiva, je bilo delo obeh Japoncev prvi predlog, kako bi lahko zadnji Fermatov izrek razširili in dokazali za vsa števila, ne le za nekatera. Za raziskovalce, ki so izbrali temo študija, je bilo pomembno dejstvo, da je bil v nasprotju s Fermatovim zadnjim izrekom izrek modularnosti glavno aktivno področje raziskav, za kateregaRazvili so se dokazi in ne le zgodovinska nenavadnost, tako da je bil čas, porabljen za njeno delo, s strokovnega vidika upravičen. Vendar pa je bilo splošno soglasje, da se je reševanje domneve Taniyama-Shimura izkazalo za neprimerno.
Kmetijski zadnji izrek: Wilesov dokaz
Ko je izvedel, da je Ribet dokazal pravilno Freyjevo teorijo, se je angleški matematik Andrew Wiles, ki ga Fermatova zadnja teorema zanima že od otroštva in ima izkušnje pri delu z eliptičnimi krivuljami in sosednjimi domenami, odločil poskusiti dokazati Taniyama-Shimura Domneva kot način dokazovanja Fermatovega zadnjega izreka. Leta 1993, šest let po tem, ko je razglasil svoj cilj, je Wilesu, medtem ko je skrivaj delal na problemu reševanja izreka, uspelo dokazati sorodno domnevo, ki mu bo pomagala dokazati zadnji Fermatov izrek. Wilesov dokument je bil velik po velikosti in obsegu.
Napaka je bila odkrita v enem delu njegovega izvirnega prispevka med strokovnim pregledom in zahtevalo je še eno leto sodelovanja z Richardom Taylorjem, da bi skupaj rešili izrek. Posledično Wilesov končni dokaz Fermatovega zadnjega izreka ni dolgo trajal. Leta 1995 je bilo objavljeno v precej manjšem obsegu kot Wilesovo prejšnje matematično delo, kar ponazarja, da se v svojih prejšnjih sklepih o možnosti dokazovanja izreka ni zmotil. Wilesov dosežek je bil široko objavljen v popularnem tisku in populariziran v knjigah in televizijskih programih. Preostali deli domneve Taniyama-Shimura-Weil, ki so zdaj dokazani inznan kot izrek modularnosti, so pozneje dokazali drugi matematiki, ki so gradili na Wilesovem delu med letoma 1996 in 2001. Za svoj dosežek je bil Wiles nagrajen in prejel številne nagrade, vključno z Abelovo nagrado 2016.
Wilesov dokaz Fermatovega zadnjega izreka je poseben primer reševanja izreka modularnosti za eliptične krivulje. Vendar je to najbolj znan primer tako obsežne matematične operacije. Britanski matematik je poleg reševanja Ribejevega izreka pridobil tudi dokaz Fermatovega zadnjega izreka. Sodobni matematiki so skoraj povsod menili, da sta Fermatov zadnji izrek in izrek modularnosti nedokazljiva, vendar je Andrew Wiles lahko znanstvenemu svetu dokazal, da se lahko celo strokovnjaki motijo.
Wyles je svoje odkritje prvič objavil v sredo, 23. junija 1993 na predavanju v Cambridgeu z naslovom "Modularne oblike, eliptične krivulje in Galoisove reprezentacije". Vendar je bilo septembra 1993 ugotovljeno, da so njegovi izračuni vsebovali napako. Leto pozneje, 19. septembra 1994, v tistem, kar bi imenoval "najpomembnejši trenutek svojega delovnega življenja", je Wiles naletel na razkritje, ki mu je omogočilo, da je rešitev problema popravil do točke, kjer bi lahko zadovoljila matematične skupnost.
Opis dela
Dokaz Fermatovega izreka avtorja Andrewa Wilesa uporablja številne metode iz algebraične geometrije in teorije števil ter ima veliko razvejanj v tehpodročja matematike. Uporablja tudi standardne konstrukcije sodobne algebraične geometrije, kot sta kategorija shem in Iwasawa teorija, pa tudi druge metode 20. stoletja, ki niso bile na voljo Pierru de Fermatu.
Dva članka, ki vsebujeta dokaze, sta dolga 129 strani in sta bila napisana v sedmih letih. John Coates je to odkritje označil za enega največjih dosežkov teorije števil, John Conway pa za glavni matematični dosežek 20. stoletja. Wiles je, da bi dokazal zadnji Fermatov izrek z dokazovanjem izreka modularnosti za poseben primer polstabilnih eliptičnih krivulj, razvil močne metode za dvig modularnosti in odprl nove pristope k številnim drugim problemom. Za reševanje zadnjega Fermatovega izreka je bil proglašen za viteza in prejel druge nagrade. Ko je postalo znano, da je Wiles prejel Abelovo nagrado, je Norveška akademija znanosti njegov dosežek opisala kot "čudovit in elementarni dokaz Fermatovega zadnjega izreka."
Kako je bilo
Eden od ljudi, ki je pregledal Wilesov originalni rokopis z rešitvijo izreka, je bil Nick Katz. Med pregledom je Britancu postavil številna razjasnitvena vprašanja, zaradi katerih je Wiles priznal, da njegovo delo očitno vsebuje vrzel. V enem kritičnem delu dokaza je bila storjena napaka, ki je dala oceno vrstnega reda določene skupine: Eulerjev sistem, uporabljen za razširitev Kolyvaginove in Flachove metode, je bil nepopoln. Vendar napaka njegovega dela ni naredila neuporabnega - vsak del Wilesovega dela je bil sam po sebi zelo pomemben in inovativen, tako kot mnogirazvoj in metode, ki jih je ustvaril pri svojem delu in ki so vplivale le na en del rokopisa. Vendar to izvirno delo, objavljeno leta 1993, v resnici ni imelo dokaza o Fermatovem zadnjem izreku.
Wyles je skoraj leto dni poskušal ponovno odkriti rešitev izreka, najprej sam, nato pa v sodelovanju s svojim nekdanjim študentom Richardom Taylorjem, vendar se je zdelo, da je bilo vse zaman. Do konca leta 1993 so krožile govorice, da Wilesov dokaz ni uspel pri testiranju, vendar ni bilo znano, kako resen je bil ta neuspeh. Matematiki so začeli pritiskati na Wilesa, naj razkrije podrobnosti svojega dela, ne glede na to, ali je bilo opravljeno ali ne, da bi širša skupnost matematikov lahko raziskala in uporabila vse, kar je lahko dosegel. Namesto da bi hitro popravil svojo napako, je Wiles odkril le dodatne težke vidike v dokazu Fermatovega zadnjega izreka in končno spoznal, kako težko je bilo.
Wyles navaja, da je bil zjutraj 19. septembra 1994 na robu odpovedi in odpovedi, in da se je skoraj pomiril z neuspehom. Svoje nedokončano delo je bil pripravljen objaviti, da bi ga drugi lahko nadgradili in ugotovili, kje se je zmotil. Angleški matematik se je odločil, da si bo dal še zadnjo priložnost in še zadnjič analiziral izrek, da bi poskušal razumeti glavne razloge, zakaj njegov pristop ni deloval, ko je nenadoma ugotovil, da pristop Kolyvagin-Flac ne bo deloval, dokler nebo v dokazni postopek vključil tudi Iwasawino teorijo, da bo delovala.
6. oktobra je Wiles prosil tri kolege (vključno s F altinsom), da pregledajo njegovo novo delo, 24. oktobra 1994 pa je predložil dva rokopisa - "Modularne eliptične krivulje in Fermatov zadnji izrek" in "Teoretične lastnosti prstan nekaterih Heckejevih algebr", od katerih je drugo Wiles napisal skupaj s Taylorjem in dokazal, da so bili izpolnjeni nekateri pogoji, ki upravičijo popravljen korak v glavnem članku.
Ta dva članka sta bila pregledana in končno objavljena kot izdaja celotnega besedila v reviji Annals of Mathematics maja 1995. Andrewove nove izračune je na široko analizirala in sčasoma sprejela znanstvena skupnost. V teh prispevkih je bil vzpostavljen izrek modularnosti za polstabilne eliptične krivulje - zadnji korak k dokazovanju Fermatovega zadnjega izreka, 358 let po tem, ko je bil ustvarjen.
Zgodovina velikega problema
Reševanje tega izreka že več stoletij velja za največji problem v matematiki. Leta 1816 in 1850 je Francoska akademija znanosti ponudila nagrado za splošni dokaz Fermatovega zadnjega izreka. Leta 1857 je Akademija Kummerju podelila 3000 frankov in zlato medaljo za raziskavo idealnih števil, čeprav se za nagrado ni prijavil. Drugo nagrado mu je leta 1883 ponudila Bruseljska akademija.
Wolfskell nagrada
Leta 1908 je nemški industrialec in amaterski matematik Paul Wolfskel zapustil 100.000 zlatih mark (velik znesek za tisti čas)Akademije znanosti v Göttingenu, tako da ta denar postane nagrada za popoln dokaz Fermatovega zadnjega izreka. 27. junija 1908 je Akademija objavila devet pravil o podelitvi. Ta pravila so med drugim zahtevala, da se dokazilo objavi v recenzirani reviji. Nagrado naj bi podelili šele dve leti po objavi. Natečaj naj bi potekel 13. septembra 2007 – približno stoletje po začetku. 27. junija 1997 je Wiles prejel Wolfschelovo denarno nagrado in nato še 50.000 $. Marca 2016 je od norveške vlade prejel 600.000 evrov kot del Abelove nagrade za "neverjeten dokaz Fermatovega zadnjega izreka s pomočjo domneve modularnosti za polstabilne eliptične krivulje, ki odpira novo obdobje v teoriji števil." To je bil svetovni triumf skromnega Angleža.
Pred Wilesovim dokazom je Fermatov izrek, kot smo že omenili, stoletja veljal za absolutno nerešljivega. Na tisoče napačnih dokazov je bilo ob različnih časih predstavljenih odboru Wolfskell, kar je znašalo približno 10 čevljev (3 metre) korespondence. Samo v prvem letu obstoja nagrade (1907-1908) je bilo vloženih 621 vlog, ki so trdile, da so rešile izrek, čeprav se je do sedemdesetih let njihovo število zmanjšalo na približno 3-4 prijave na mesec. Po besedah F. Schlichtinga, Wolfschelovega recenzenta, je večina dokazov temeljila na osnovnih metodah, ki so jih poučevali v šolah, in so bili pogosto predstavljeni kot "ljudje s tehničnim znanjem, a neuspešno kariero". Po mnenju zgodovinarja matematike Howarda Avesa je zadnjiFermatov izrek je postavil svojevrsten rekord – to je izrek z največjim številom napačnih dokazov.
Kmečke lovorike so pripadli Japoncem
Kot že omenjeno, sta okoli leta 1955 japonska matematika Goro Shimura in Yutaka Taniyama odkrila možno povezavo med dvema navidezno popolnoma različnima vejama matematike - eliptičnimi krivuljami in modularnimi oblikami. Nastali izrek modularnosti (takrat znan kot domneva Taniyama-Shimura) pravi, da je vsaka eliptična krivulja modularna, kar pomeni, da jo je mogoče povezati z edinstveno modularno obliko.
Teorija je bila sprva zavrnjena kot malo verjetna ali zelo špekulativna, vendar so jo jemali resneje, ko je teoretik števil André Weil našel dokaze v podporo japonskim sklepom. Posledično se hipoteza pogosto imenuje hipoteza Taniyama-Shimura-Weil. Postala je del programa Langlands, ki je seznam pomembnih hipotez, ki jih je treba v prihodnosti dokazati.
Tudi po resnem pregledu so sodobni matematiki domnevo prepoznali kot izjemno težko ali morda nedostopno dokazljivo. Zdaj ta izrek čaka na svojega Andrewa Wilesa, ki bi lahko presenetil ves svet s svojo rešitvijo.
Fermatov izrek: Perelmanov dokaz
Kljub priljubljenemu mitu, ruski matematik Grigory Perelman, kljub svoji genialnosti, nima nič opraviti s Fermatovim izrekom. Kar pa tega nikakor ne zmanjša.številni prispevki znanstveni skupnosti.
