Eden od temeljnih odsekov matematične analize je integralni račun. Zajema najširše področje predmetov, kjer je prvi nedoločeni integral. Vredno ga je postaviti kot ključa, ki že v srednji šoli razkriva vedno več perspektiv in priložnosti, ki jih opisuje višja matematika.
Videz
Na prvi pogled se zdi integral povsem moderen, relevanten, v praksi pa se izkaže, da se je pojavil že leta 1800 pr. Egipt uradno velja za domovino, saj prejšnji dokazi o njegovem obstoju do nas niso dosegli. On je bil zaradi pomanjkanja informacij ves ta čas postavljen preprosto kot fenomen. Še enkrat je potrdil stopnjo razvoja znanosti med ljudstvom tistih časov. Končno so bila najdena dela starogrških matematikov iz 4. stoletja pred našim štetjem. Opisali so metodo, pri kateri je bil uporabljen nedoločen integral, katerega bistvo je bilo najti prostornino ali površino krivolinijske figure (tridimenzionalnedvodimenzionalne ravnine). Načelo izračuna je temeljilo na delitvi prvotne figure na neskončno male komponente, pod pogojem, da je njihova prostornina (površina) že znana. Sčasoma je metoda rasla, Arhimed jo je uporabil za iskanje območja parabole. Podobne izračune so istočasno izvedli znanstveniki na starodavni Kitajski in so bili popolnoma neodvisni od svojih grških kolegov v znanosti.
Razvoj
Naslednji preboj v 11. stoletju našega štetja je bilo delo arabskega znanstvenika - "univerzalnega" Abu Alija al-Basrija, ki je premaknil meje že znanega in izpeljal formule, ki temeljijo na integralu za izračun vsote. vrstic in vsote potenk od prve do četrte, pri čemer za to uporabimo metodo matematične indukcije, ki nam je znana.
Umi sodobnega časa občudujejo, kako so stari Egipčani ustvarjali neverjetne arhitekturne spomenike brez posebnih naprav, razen morda rok, a ni moč uma takratnih znanstvenikov nič manj čudež? Njihovo življenje se v primerjavi z današnjim zdi skoraj primitivno, a rešitev nedoločenih integralov je bila povsod izpeljana in uporabljena v praksi za nadaljnji razvoj.
Naslednji korak se je zgodil v 16. stoletju, ko je italijanski matematik Cavalieri razvil metodo nedeljivih, ki jo je prevzel Pierre Fermat. Ti dve osebnosti sta postavili temelje sodobnemu integralnemu računu, ki je trenutno znan. Povezali so koncepte diferenciacije in integracije, ki sta bila prejobravnavajo kot avtonomne enote. Na splošno je bila matematika tistih časov razdrobljena, delci sklepov so obstajali sami po sebi in so imeli omejen obseg. Pot združevanja in iskanja skupnih točk je bila takrat edina prava, zahvaljujoč kateri je sodobna matematična analiza dobila možnost rasti in razvoja.
Sčasoma se je vse spremenilo, vključno z zapisom integrala. Na splošno so znanstveniki to označevali z vsemi sredstvi, na primer Newton je uporabil kvadratno ikono, v katero je postavil integrabilno funkcijo ali jo preprosto postavil zraven.
Ta nedoslednost se je nadaljevala vse do 17. stoletja, ko je znanstvenik Gottfried Leibniz, mejnik za celotno teorijo matematične analize, predstavil tako znan simbol. Podolgovata črka "S" res temelji na tej črki latinske abecede, saj označuje vsoto antideriv. Integr je dobil ime po zaslugi Jacoba Bernoullija 15 let pozneje.
Formalna definicija
Nedoločeni integral je neposredno odvisen od definicije antiderivata, zato ga najprej razmislimo.
Protiizvod je funkcija, ki je inverzna od izpeljanke, v praksi jo imenujemo tudi primitivna. Sicer: antiderivat funkcije d je funkcija D, katere izvod je enak v V'=v. Iskanje antiderivata je izračun nedoločenega integrala, sam postopek pa se imenuje integracija.
Primer:
Funkcija s(y)=y3 in njen antiderivat S(y)=(y4/4).
Množica vseh antiderivov obravnavane funkcije je nedoločen integral, označen je takole: ∫v(x)dx.
Zaradi dejstva, da je V(x) le nekakšen antiderivat prvotne funkcije, pride do izraza: ∫v(x)dx=V(x) + C, kjer je C konstanta. Poljubna konstanta je katera koli konstanta, saj je njen izvod enak nič.
Lastnosti
Lastnosti, ki jih ima nedoločen integral, temeljijo na glavni definiciji in lastnostih izpeljank.
Oglejmo si ključne točke:
- integral iz derivata antiderivata je sam antiderivat plus poljubna konstanta С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- izvod integrala funkcije je izvirna funkcija (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta je vzeta izpod integralnega predznaka ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, kjer je k poljuben;
- integral, vzet iz vsote, je identično enak vsoti integralov ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Iz zadnjih dveh lastnosti lahko sklepamo, da je nedoločen integral linearen. Zahvaljujoč temu imamo: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Za konsolidacijo razmislite o primerih reševanja nedoločenih integralov.
Potrebno je najti integral ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Iz primera lahko sklepamo:ne veste, kako rešiti nedoločene integrale? Samo poiščite vse primitivce! Toda načela iskanja bodo obravnavana spodaj.
Metode in primeri
Za rešitev integrala se lahko zatečete k naslednjim metodam:
- uporabite pripravljeno tabelo;
- integriraj po delih;
- integrirajte s spremembo spremenljivke;
- pripeljemo pod znak diferenciala.
mize
Najlažji in najbolj prijeten način. Trenutno se matematična analiza ponaša s precej obsežnimi tabelami, v katerih so zapisane osnovne formule nedoločenih integralov. Z drugimi besedami, obstajajo predloge, ki so bile razvite pred vami in za vas je ostalo le, da jih uporabite. Tukaj je seznam glavnih položajev tabele, iz katerih lahko izpeljete skoraj vsak primer, ki ima rešitev:
- ∫0dy=C, kjer je C konstanta;
- ∫dy=y + C, kjer je C konstanta;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, kjer je C konstanta in n - ni ena številka;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, kjer je C konstanta;
- ∫eydy=ey + C, kjer je C konstanta;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, kjer je C konstanta;
- ∫cosydy=siny + C, kjer je C konstanta;
- ∫sinydy=-cosy + C, kjer je C konstanta;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, kjer je C konstanta;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, kjer je C konstanta;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, kjer je C konstanta;
- ∫chydy=sramežljiv + C, kjer je C -konstanta;
- ∫shydy=chy + C, kjer je C konstanta.
Če je potrebno, naredite nekaj korakov, prinesite integrand v tabelarično obliko in uživajte v zmagi. Primer: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Glede na rešitev je jasno, da za tabelarni primer integrandu manjka faktor 5. Seštejemo ga in ga vzporedno pomnožimo z 1/5, da se splošni izraz ne spremeni.
Integracija po delih
Razmislite o dveh funkcijah - z(y) in x(y). Na celotnem področju definicije morajo biti neprekinjeno razločljive. Glede na eno od lastnosti diferenciacije imamo: d(xz)=xdz + zdx. Če integriramo oba dela enačbe, dobimo: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
S ponovnim pisanjem nastale enakosti dobimo formulo, ki opisuje način integracije po delih: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Zakaj je to potrebno? Bistvo je v tem, da lahko nekatere primere poenostavimo, pogojno rečeno, zmanjšamo ∫zdx na ∫xdz, če je slednje blizu tabele. Prav tako lahko to formulo uporabite več kot enkrat in tako dosežete optimalne rezultate.
Kako rešiti nedoločene integrale na ta način:
treba izračunati ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
treba izračunati ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Spremenljivka
Ta princip reševanja nedoločenih integralov ni nič manj zahtevan od prejšnjih dveh, čeprav je bolj zapleten. Metoda je naslednja: naj je V(x) integral neke funkcije v(x). V primeru, da se sam integral v primeru izkaže za kompleksen, obstaja velika verjetnost, da se boste zmedli in ubrali napačno pot rešitve. Da bi se temu izognili, se izvaja prehod s spremenljivke x na z, pri katerem je splošni izraz vizualno poenostavljen, hkrati pa se ohrani odvisnost z od x.
Matematično izgleda takole: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), kjer je x=y(z) substitucija. In, seveda, inverzna funkcija z=y-1(x) v celoti opisuje odvisnost in razmerje spremenljivk. Pomembna opomba - diferencial dx je nujno nadomeščen z novim diferencialom dz, saj zamenjava spremenljivke v nedoločnem integralu pomeni njeno zamenjavo povsod in ne samo v integrandu.
Primer:
treba najti ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Uporabi zamenjavo z=(s+1)/(s2+2s-5). Potem je dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Kot rezultat dobimo naslednji izraz, ki ga je zelo enostavno izračunati:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
treba najti integral∫2sesdx
Za rešitev prepišemo izraz v naslednji obliki:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Označimo z a=2e (ta korak ni nadomestilo za argument, je še vedno s), naš na videz zapleten integral pripeljemo v osnovno tabelarično obliko:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Speljevanje pod diferencialni znak
Na splošno je ta metoda nedoločenih integralov brat dvojček principa spremenljive spremembe, vendar obstajajo razlike v procesu načrtovanja. Poglejmo si podrobneje.
Če je ∫v(x)dx=V(x) + C in y=z(x), potem je ∫v(y)dy=V(y) + C.
V tem primeru ne smemo pozabiti na trivialne integralne transformacije, med katerimi so:
- dx=d(x + a), kjer je a katera koli konstanta;
- dx=(1 / a)d(ax + b), kjer je a spet konstanta, vendar ni enaka nič;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Če upoštevamo splošni primer, ko izračunamo nedoločen integral, lahko primere povzamemo pod splošno formulo w'(x)dx=dw(x).
Primeri:
treba najti ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Spletna pomoč
V nekaterih primerih, za katere je lahko kriva lenoba ali nujna potreba, lahko uporabite spletne nasvete ali bolje rečeno, uporabite kalkulator za nedoločen integral. Kljub vsej navidezni zapletenosti in spornosti integralov je njihovo reševanje podvrženo določenemu algoritmu, ki temelji na načelu "če ne …, potem …".
Seveda tak kalkulator ne bo obvladal posebej zapletenih primerov, saj obstajajo primeri, ko je treba rešitev poiskati umetno, "na silo" vnašati določene elemente v proces, saj rezultata ni mogoče doseči na očiten način načine. Kljub vsej kontroverznosti te trditve je res, saj je matematika načeloma abstraktna znanost in meni, da je potreba po širjenju meja možnosti svojo primarno nalogo. Dejansko se je zelo težko premikati navzgor in se razvijati v skladu z gladkimi, zatečenimi teorijami, zato ne smete domnevati, da so primeri reševanja nedoločenih integralov, ki smo jih navedli, višina možnosti. Ampak nazaj k tehnični plati stvari. Vsaj za preverjanje izračunov lahko uporabite storitve, v katerih je bilo vse napisano pred nami. Če obstaja potreba po samodejnem izračunu zapletenega izraza, se jim ni mogoče opustiti, se boste morali zateči k resnejši programski opremi. Najprej je vredno biti pozoren na okolje MatLab.
Prijava
Rešitev nedoločenih integralov se na prvi pogled zdi popolnoma brez stika z realnostjo, saj je težko videti očitna področja uporabe. Dejansko jih ni mogoče nikjer neposredno uporabiti, vendar veljajo za nujen vmesni element v procesu izpeljave rešitev, ki se uporabljajo v praksi. Torej je integracija inverzna diferenciaciji, zaradi česar aktivno sodeluje v procesu reševanja enačb.
Po drugi strani te enačbe neposredno vplivajo na reševanje mehanskih problemov, izračun poti in toplotne prevodnosti – skratka, vse, kar sestavlja sedanjost in oblikuje prihodnost. Nedoločen integral, katerega primere smo preučili zgoraj, je le na prvi pogled trivialen, saj je osnova za vedno več novih odkritij.
