Cilinder je ena izmed preprostih tridimenzionalnih figur, ki se preučuje pri šolskem predmetu geometrije (odsek trdna geometrija). V tem primeru se pogosto pojavijo težave pri izračunu prostornine in mase cilindra ter pri določanju njegove površine. Odgovori na označena vprašanja so podani v tem članku.
Kaj je cilinder?
Preden nadaljujemo z odgovorom na vprašanje, kolikšna je masa cilindra in njegova prostornina, je vredno razmisliti, kakšna je ta prostorska figura. Takoj je treba opozoriti, da je valj tridimenzionalni predmet. To pomeni, da lahko v prostoru izmerite tri njegove parametre vzdolž vsake od osi v kartezijanskem pravokotnem koordinatnem sistemu. Pravzaprav je za nedvoumno določitev dimenzij cilindra dovolj poznati le dva njegova parametra.
Cilinder je tridimenzionalna figura, ki jo tvorita dva kroga in valjasta površina. Za bolj jasno predstavitev tega predmeta je dovolj, da vzamete pravokotnik in ga začnete vrteti okoli katere koli njegove strani, ki bo os vrtenja. V tem primeru bo vrtljivi pravokotnik opisal oblikovrtenje - cilinder.
Dve okrogli ploskvi se imenujejo bazi cilindra, zanje je značilen določen polmer. Razdalja med bazami se imenuje višina. Dve bazi sta med seboj povezani s cilindrično površino. Premica, ki poteka skozi središča obeh krogov, se imenuje os cilindra.
Prostornina in površina
Kot lahko vidite iz zgornjega, je valj definiran z dvema parametroma: višino h in polmerom njegove osnove r. Če poznamo te parametre, je mogoče izračunati vse druge značilnosti obravnavanega telesa. Spodaj so glavne:
- Območje baz. Ta vrednost se izračuna po formuli: S1=2pir2, kjer je pi enako pi enako 3, 14. Številka 2 v formuli se pojavi, ker ima cilinder dve enaki bazi.
- Cilindrična površina. Lahko se izračuna takole: S2=2pirh. To formulo je enostavno razumeti: če valjasto površino navpično razrežemo od ene osnove do druge in jo razširimo, dobimo pravokotnik, katerega višina bo enaka višini valja, širina pa bo ustrezala obseg osnove tridimenzionalne figure. Ker je površina nastalega pravokotnika produkt njegovih stranic, ki sta enaki h in 2pir, dobimo zgornjo formulo.
- Površina valja. Enaka je vsoti območij S1 in S2, dobimo: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Prostor. To vrednost je enostavno najti, le površino ene osnove morate pomnožiti z višino figure: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Določanje mase valja
Nazadnje je vredno iti neposredno na temo članka. Kako določiti maso valja? Če želite to narediti, morate poznati njegovo prostornino, formulo za izračun, ki je bila predstavljena zgoraj. In gostota snovi, iz katere je sestavljen. Maso določimo s preprosto formulo: m=ρV, kjer je ρ gostota materiala, ki tvori zadevni predmet.
Koncept gostote označuje maso snovi, ki je v enoti prostornine prostora. Na primer. Znano je, da ima železo večjo gostoto kot les. To pomeni, da bo imela prva v primeru enakih količin železa in lesa veliko večjo maso kot druga (približno 16-krat).
Izračun mase bakrenega valja
Razmislite o preprostem problemu. Treba je najti maso cilindra iz bakra. Za natančnost naj ima valj premer 20 cm in višino 10 cm.
Preden začnete reševati problem, se morate ukvarjati z izvornimi podatki. Polmer valja je enak polovici njegovega premera, kar pomeni r=20/2=10 cm, medtem ko je višina h=10 cm. Ker je valj, obravnavan v nalogi, izdelan iz bakra, potem se sklicujemo na referenčne podatke zapišemo vrednost gostote tega materiala: ρ=8, 96 g/cm3 (za temperaturo 20 °C).
Zdaj lahko začnete reševati težavo. Najprej izračunajmo prostornino: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Potem bo masa cilindra: m=ρV=8,963140=28134 gramov ali približno 28 kilogramov.
Bodite pozorni na dimenzijo enot med njihovo uporabo v ustreznih formulah. Torej, v problemu so bili vsi parametri predstavljeni v centimetrih in gramih.
Homogeni in votli cilindri
Iz zgornjega rezultata je razvidno, da ima bakreni valj z relativno majhnimi dimenzijami (10 cm) veliko maso (28 kg). To je posledica ne le dejstva, da je izdelan iz težkega materiala, temveč tudi dejstva, da je homogen. To dejstvo je pomembno razumeti, saj je zgornjo formulo za izračun mase mogoče uporabiti le, če je valj v celoti (zunaj in znotraj) izdelan iz istega materiala, torej je homogen.
V praksi se pogosto uporabljajo votle jeklenke (na primer cilindrični sodi za vodo). To pomeni, da so narejeni iz tankih listov nekega materiala, v notranjosti pa so prazni. Za votli cilinder navedene formule za izračun mase ni mogoče uporabiti.
Izračun mase votlega valja
Zanimivo je izračunati, kakšno maso bo imel bakreni valj, če je v notranjosti prazen. Na primer, naj bo izdelan iz tanke bakrene pločevine z debelino samo d=2 mm.
Za rešitev tega problema morate najti prostornino samega bakra, iz katerega je predmet izdelan. Ne prostornina cilindra. Ker debelinapločevina je majhna v primerjavi z dimenzijami valja (d=2 mm in r=10 cm), potem lahko prostornino bakra, iz katerega je predmet izdelan, pomnožimo s celotno površino valja z debeline bakrene pločevine, dobimo: V=dS 3=d2pir(r+h). Če zamenjamo podatke iz prejšnjega problema, dobimo: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Maso votlega valja lahko dobimo tako, da dobljeni volumen bakra, ki je bil potreben za njegovo izdelavo, pomnožimo z gostoto bakra: m=251,28,96=2251 g ali 2,3 kg. To pomeni, da je obravnavani votli cilinder tehta 12 (28, 1/2, 3)-krat manj od homogenega.
