Paralelizem ravnin je koncept, ki se je prvič pojavil v evklidski geometriji pred več kot dva tisoč leti.
Glavne značilnosti klasične geometrije
Rojstvo te znanstvene discipline je povezano s slavnim delom starogrškega misleca Evklida, ki je napisal pamflet "Začetki" v tretjem stoletju pr. Elementi, razdeljeni na trinajst knjig, so bili najvišji dosežek vse starodavne matematike in so postavili temeljne postulate, povezane z lastnostmi ravninskih figur.
Klasični pogoj za vzporednost ravnin je bil oblikovan takole: dve ravnini lahko imenujemo vzporedni, če nimata skupnih točk med seboj. To je bil peti postulat evklidskega dela.
Lastnosti vzporednih ravnin
V evklidski geometriji jih je običajno pet:
Prva lastnost (opisuje vzporednost ravnin in njihovo edinstvenost). Skozi eno točko, ki leži zunaj določene ravnine, lahko narišemo eno in samo eno ravnino, ki je vzporedna z njo
- Druga lastnost (imenovana tudi lastnost treh vzporednic). Ko sta dve ravninivzporedni s tretjim, so tudi vzporedni drug z drugim.
Tretja lastnost (z drugimi besedami, imenujemo jo lastnost premice, ki seka vzporednost ravnin). Če ena sama ravna črta seka eno od teh vzporednih ravnin, bo presekala drugo
Četrta lastnost (lastnost ravnih črt, odrezanih na ravninah, ki so vzporedne med seboj). Ko se dve vzporedni ravnini sekata s tretjo (pod katerim koli kotom), sta tudi njuni presečni premici vzporedni
Peta lastnost (lastnost, ki opisuje segmente različnih vzporednih premic, ki so zaprte med ravninami, vzporednimi med seboj). Odseki tistih vzporednih premic, ki so zaprti med dvema vzporednima ravninama, so nujno enaki
Vzporednost ravnin v neevklidskih geometrijah
Takšni pristopi so zlasti geometrija Lobačevskega in Riemanna. Če je bila Evklidova geometrija realizirana na ravnih prostorih, je bila geometrija Lobačevskega realizirana v negativno ukrivljenih prostorih (preprosto ukrivljeni), pri Riemannu pa najde svojo realizacijo v pozitivno ukrivljenih prostorih (z drugimi besedami, kroglah). Obstaja zelo razširjeno stereotipno mnenje, da se vzporedne ravnine Lobačevskega (in tudi premice) sekajo.
Vendar to ni pravilno. Pravzaprav je bilo rojstvo hiperbolične geometrije povezano z dokazom Evklidovega petega postulata in spremembopogledi nanjo pa sama definicija vzporednih ravnin in premic implicira, da se ne morejo sekati ne pri Lobačevskem ne pri Riemannu, ne glede na to, v katerih prostorih se uresničujejo. In sprememba pogledov in formulacij je bila naslednja. Postulat, da je mogoče skozi točko, ki ne leži na dani ravnini, potegniti samo eno vzporedno ravnino, je bila zamenjana z drugo formulacijo: skozi točko, ki ne leži na določeni ravnini, vsaj dve premici, ki ležita v ista ravnina kot dana in je ne seka.
