Reševanje enačb v matematiki ima posebno mesto. Pred tem procesom je veliko ur študija teorije, med katerim se študent nauči reševati enačbe, določati njihovo obliko in veščino pripeljati do popolnega avtomatizma. Vendar iskanje korenin ni vedno smiselno, saj morda preprosto ne obstajajo. Obstajajo posebne metode za iskanje korenin. V tem članku bomo analizirali glavne funkcije, njihove obsege, pa tudi primere, ko njihove korenine ni.
Katera enačba nima korenin?
Enčba nima korenin, če ni takih realnih argumentov x, za katere je enačba enako resnična. Za nespecialista je ta formulacija, tako kot večina matematičnih izrekov in formul, videti zelo nejasna in abstraktna, vendar je to v teoriji. V praksi postane vse izjemno preprosto. Na primer: enačba 0x=-53 nima rešitve, saj ni takšnega števila x, katerega zmnožek z ničlo bi dal nekaj drugega kot nič.
Zdaj si bomo ogledali najosnovnejše vrste enačb.
1. Linearna enačba
Enčba se imenuje linearna, če sta njen desni in levi del predstavljena kot linearni funkciji: ax + b=cx + d ali v posplošeni obliki kx + b=0. Kjer so znani a, b, c, d števila, x pa je neznana količina. Katera enačba nima korenin? Primeri linearnih enačb so prikazani na spodnji sliki.
V bistvu se linearne enačbe rešujejo tako, da se številčni del preprosto premakne na en del in vsebina x v drugega. Izkazalo se je enačba v obliki mx \u003d n, kjer sta m in n številki, x pa je neznanka. Za iskanje x je dovolj, da oba dela delimo z m. Potem je x=n/m. V bistvu imajo linearne enačbe samo en koren, vendar obstajajo primeri, ko je korenin neskončno veliko ali jih sploh ni. Z m=0 in n=0 ima enačba obliko 0x=0. Popolnoma katero koli število bo rešitev takšne enačbe.
Katera enačba nima korenin?
Ko je m=0 in n=0, enačba nima korenin iz množice realnih števil. 0x=-1; 0x=200 - te enačbe nimajo korenin.
2. Kvadratna enačba
Kvadratna enačba je enačba v obliki ax2 + bx + c=0 za a=0. Najpogostejši način za reševanje kvadratne enačbe je, da jo rešite prek diskriminanta. Formula za iskanje diskriminante kvadratne enačbe: D=b2 - 4ac. Potem sta dva korena x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Ko je D > 0, ima enačba dva korena, ko je D=0 - en koren. Toda katera kvadratna enačba nima korenin?Število korenov kvadratne enačbe najlažje opazujemo na grafu funkcije, ki je parabola. Pri > 0 so veje usmerjene navzgor, pri < 0 so veje spuščene navzdol. Če je diskriminanta negativna, taka kvadratna enačba nima korenin v nizu realnih števil.
Število korenov lahko tudi vizualno določite, ne da bi izračunali diskriminanto. Če želite to narediti, morate najti vrh parabole in določiti, v katero smer so usmerjene veje. Koordinato x oglišča lahko določite s formulo: x0 =-b / 2a. V tem primeru y-koordinato oglišča najdemo tako, da preprosto zamenjamo vrednost x0 v prvotno enačbo.
Kvadratna enačba x2 – 8x + 72=0 nima korenin, ker ima negativno diskriminanco D=(–8)2 - 4172=-224. To pomeni, da se parabola ne dotika osi x in funkcija nikoli ne prevzame vrednosti 0, zato enačba nima pravih korenin.
3. Trigonometrične enačbe
Trigonometrične funkcije se obravnavajo v trigonometričnem krogu, lahko pa jih predstavimo tudi v kartezijanskem koordinatnem sistemu. V tem članku si bomo ogledali dve osnovni trigonometrični funkciji in njuni enačbi: sinx in cosx. Ker te funkcije tvorijo trigonometrični krog s polmerom 1, |sinx| in |cosx| ne more biti večja od 1. Katera sinx enačba torej nima korenin? Razmislite o grafu funkcije sinx, predstavljenem na slikispodaj.
Vidimo, da je funkcija simetrična in ima obdobje ponovitve 2pi. Na podlagi tega lahko rečemo, da je največja vrednost te funkcije lahko 1, najmanjša pa -1. Na primer, izraz cosx=5 ne bo imel korenin, saj je njegov modul večji od ena.
To je najenostavnejši primer trigonometričnih enačb. Pravzaprav lahko njihova rešitev zavzame veliko strani, na koncu katerih ugotovite, da ste uporabili napačno formulo in morate začeti znova. Včasih lahko tudi ob pravilnem iskanju korenin pozabite upoštevati omejitve na ODZ, zato se v odgovoru pojavi dodaten koren ali interval, celoten odgovor pa se spremeni v napačnega. Zato strogo upoštevajte vse omejitve, saj vse korenine ne ustrezajo obsegu naloge.
4. Sistemi enačb
Sistem enačb je niz enačb v kombinaciji s kodrastimi ali oglatimi oklepaji. Zavite oklepaje označujejo skupno izvedbo vseh enačb. To pomeni, da če vsaj ena enačba nima korenin ali je v nasprotju z drugo, celoten sistem nima rešitve. Oglati oklepaji označujejo besedo "ali". To pomeni, da če ima vsaj ena enačba sistema rešitev, potem ima celoten sistem rešitev.
Odgovor sistema z oglatimi oklepaji je vsota vseh korenin posameznih enačb. In sistemi s kodrastimi oklepaji imajo le skupne korenine. Sistemi enačb lahko vključujejo popolnoma različne funkcije, zato ta zapletenost nivam omogoča, da takoj ugotovite, katera enačba nima korenin.
Posplošitev in nasveti za iskanje korenin enačbe
V problemskih knjigah in učbenikih so različne vrste enačb: tiste, ki imajo korenine, in tiste, ki jih nimajo. Najprej, če ne najdete korenin, ne mislite, da sploh ne obstajajo. Morda ste se nekje zmotili, nato samo še enkrat preverite svojo rešitev.
Pokrili smo najosnovnejše enačbe in njihove vrste. Zdaj lahko ugotovite, katera enačba nima korenin. V večini primerov to sploh ni težko narediti. Za uspeh pri reševanju enačb sta potrebni le pozornost in koncentracija. Vadite več, to vam bo pomagalo veliko bolje in hitreje krmariti po gradivu.
Torej, enačba nima korenin, če:
- v linearni enačbi mx=n vrednost m=0 in n=0;
- v kvadratni enačbi, če je diskriminanta manjša od nič;
- v trigonometrični enačbi v obliki cosx=m / sinx=n, če je |m| > 0, |n| > 0;
- v sistemu enačb s kodrastimi oklepaji, če vsaj ena enačba nima korenin, in z oglatimi oklepaji, če vse enačbe nimajo korenin.
