Tudi v šoli je vsak od nas študiral enačbe in zagotovo sisteme enačb. Toda malo ljudi ve, da obstaja več načinov za njihovo rešitev. Danes bomo podrobno analizirali vse metode za reševanje sistema linearnih algebraičnih enačb, ki je sestavljen iz več kot dveh enakosti.
Zgodovina
Danes je znano, da umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov izvira iz starega Babilona in Egipta. Vendar so se enakosti v svoji običajni obliki pojavile po pojavu znaka enakosti "=", ki ga je leta 1556 uvedel angleški matematik Record. Mimogrede, ta znak je bil izbran z razlogom: pomeni dva vzporedna enaka segmenta. Pravzaprav ni boljšega primera enakosti.
Ustanovitelj sodobnih črkovnih oznak neznank in znakov stopinj je francoski matematik Francois Viet. Vendar so se njegove oznake bistveno razlikovale od današnjih. Kvadrat neznanega števila je na primer označil s črko Q (lat. "quadratus"), kocko pa s črko C (lat. "cubus"). Te oznake se zdaj zdijo neprijetne, a takratto je bil najbolj razumljiv način pisanja sistemov linearnih algebraičnih enačb.
Vendar je bila pomanjkljivost takratnih metod reševanja ta, da so matematiki upoštevali le pozitivne korenine. Morda je to posledica dejstva, da negativne vrednosti niso imele praktične uporabe. Tako ali drugače so bili italijanski matematiki Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano in Rafael Bombelli tisti, ki so v 16. stoletju prvi upoštevali negativne korenine. In sodoben videz, glavna metoda za reševanje kvadratnih enačb (z diskriminanto), je nastala šele v 17. stoletju po zaslugi Descartesa in Newtona.
Sredi 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Cramer našel nov način za lažje reševanje sistemov linearnih enačb. Ta metoda je bila pozneje poimenovana po njem in jo še danes uporabljamo. Toda o Cramerjevi metodi bomo govorili malo kasneje, za zdaj pa bomo obravnavali linearne enačbe in metode za njihovo reševanje ločeno od sistema.
linearne enačbe
Linearne enačbe so najpreprostejše enakosti s spremenljivkami. Uvrščamo jih med algebraične. Linearne enačbe so zapisane v splošni obliki, kot sledi: 2+…a x =b. Njihovo predstavitev v tej obliki bomo potrebovali pri nadaljnjem prevajanju sistemov in matrik.
Sistemi linearnih algebraičnih enačb
Definicija tega izraza je naslednja: to je niz enačb, ki imajo skupne neznanke in skupno rešitev. Praviloma so v šoli vse odločali sistemiz dvema ali celo tremi enačbami. Vendar obstajajo sistemi s štirimi ali več komponentami. Najprej ugotovimo, kako jih zapisati, da jih bo kasneje priročno rešiti. Prvič, sistemi linearnih algebraičnih enačb bodo videti bolje, če so vse spremenljivke zapisane kot x z ustreznim indeksom: 1, 2, 3 itd. Drugič, vse enačbe je treba zmanjšati na kanonično obliko: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Po vseh teh korakih se lahko začnemo pogovarjati o tem, kako najti rešitev za sisteme linearnih enačb. Matrice bodo za to zelo uporabne.
Matrice
Matrika je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, njeni elementi pa se nahajajo na njihovem presečišču. To so lahko določene vrednosti ali spremenljivke. Najpogosteje se za označevanje elementov pod njimi postavijo indeksi (na primer a11 ali a23). Prvi indeks pomeni številko vrstice, drugi pa številko stolpca. Na matrikah, pa tudi na katerem koli drugem matematičnem elementu, lahko izvajate različne operacije. Torej lahko:
1) Odštejte in dodajte tabele enake velikosti.
2) Pomnožite matriko z neko številko ali vektorjem.
3) Transponiranje: pretvorite vrstice matrike v stolpce in stolpce v vrstice.
4) Pomnožite matrike, če je število vrstic ene od njih enako številu stolpcev druge.
O vseh teh tehnikah bomo podrobneje razpravljali, saj nam bodo v prihodnosti koristile. Odštevanje in seštevanje matrik je zelo enostavno. Torejker vzamemo matrike enake velikosti, potem vsak element ene tabele ustreza vsakemu elementu druge. Tako ta dva elementa dodamo (odštejemo) (pomembno je, da sta v svojih matrikah na istih mestih). Ko množite matriko s številom ali vektorjem, preprosto morate vsak element matrike pomnožiti s to številko (ali vektorjem). Transpozicija je zelo zanimiv proces. Včasih ga je zelo zanimivo videti v resničnem življenju, na primer pri spreminjanju orientacije tablice ali telefona. Ikone na namizju so matrica in ko spremenite položaj, se transponira in postane širša, vendar se zmanjša v višino.
Oglejmo si še enkrat takšen proces, kot je množenje matrik. Čeprav nam to ne bo koristilo, ga bo vseeno koristno vedeti. Dve matriki lahko pomnožite le, če je število stolpcev v eni tabeli enako številu vrstic v drugi. Zdaj vzemimo elemente vrstice ene matrike in elemente ustreznega stolpca druge. Med seboj jih pomnožimo in nato dodamo (to je na primer zmnožek elementov a11 in a12 z b 12in b22 bo enako: a11b12 + a 12 b22). Tako dobimo en element tabele, ki se na podoben način zapolni naprej.
Zdaj lahko začnemo gledati, kako je rešen sistem linearnih enačb.
Gaussova metoda
Ta tema začne prehajati tudi v šoli. Dobro poznamo pojem "sistem dveh linearnih enačb" in jih znamo rešiti. Kaj pa, če je število enačb več kot dve? Pri tem nam bo pomagala Gaussova metoda.
Seveda je ta metoda priročna za uporabo, če iz sistema naredite matriko. Vendar ga ne morete preoblikovati in rešiti v najčistejši obliki.
Kako ta metoda rešuje sistem linearnih Gaussovih enačb? Mimogrede, čeprav je ta metoda poimenovana po njem, je bila odkrita že v starih časih. Gauss predlaga naslednje: izvesti operacije z enačbami, da bi sčasoma zmanjšali celotno množico v stopničasto obliko. To pomeni, da je potrebno, da se od zgoraj navzdol (če je pravilno postavljena) od prve enačbe do zadnje ena neznanka zmanjša. Z drugimi besedami, poskrbeti moramo, da dobimo recimo tri enačbe: v prvi - tri neznanke, v drugi - dve, v tretji - eno. Nato iz zadnje enačbe poiščemo prvo neznano, njeno vrednost nadomestimo z drugo ali prvo enačbo in nato poiščemo preostali dve spremenljivki.
Cramerjeva metoda
Za obvladovanje te metode je ključnega pomena, da obvladate veščine seštevanja, odštevanja matrik, poleg tega pa morate znati najti determinante. Če torej vse to narediš slabo ali sploh ne znaš, se boš moral učiti in vaditi.
Kaj je bistvo te metode in kako jo narediti tako, da dobimo sistem linearnih Cramerjevih enačb? Vse je zelo preprosto. Iz številčnih (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih algebraičnih enačb moramo sestaviti matriko. Če želite to narediti, preprosto vzemite številke pred neznankami in jih razporeditetabelo v vrstnem redu, v katerem so zabeleženi v sistemu. Če je pred številko znak "-", zapišemo negativni koeficient. Torej, prvo matriko smo sestavili iz koeficientov neznank, brez številk za predznakoma enakosti (seveda je treba enačbo zmanjšati na kanonično obliko, ko je na desni samo število, vse neznanke pa z koeficienti na levi). Nato morate ustvariti več matrik - eno za vsako spremenljivko. Da bi to naredili, zamenjamo vsak stolpec s koeficienti v prvi matriki s stolpcem števil za znakom enakosti. Tako dobimo več matrik in nato poiščemo njihove determinante.
Ko smo našli determinante, je zadeva majhna. Imamo začetno matriko in obstaja več rezultatov matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da bi dobili rešitve sistema, delimo determinanto nastale tabele z determinanto začetne tabele. Nastala številka je vrednost ene od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznanke.
Druge metode
Obstaja več metod za rešitev sistemov linearnih enačb. Na primer tako imenovana Gauss-Jordanova metoda, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratnih enačb in je povezana tudi z uporabo matrik. Obstaja tudi Jacobijeva metoda za reševanje sistema linearnih algebraičnih enačb. Najlažje se prilagaja računalniku in se uporablja v računalništvo.
težki primeri
Zapletenost se običajno pojavi, ko je število enačb manjše od števila spremenljivk. Potem lahko zagotovo rečemo, da je sistem nedosleden (torej nima korenin) ali pa se število njegovih rešitev nagiba k neskončnosti. Če imamo drugi primer, potem moramo zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vseboval bo vsaj eno spremenljivko.
Sklep
Tukaj smo pri koncu. Če povzamemo: analizirali smo, kaj sta sistem in matrika, naučili smo se, kako najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega so bile obravnavane druge možnosti. Ugotovili smo, kako se rešuje sistem linearnih enačb: Gaussova metoda in Cramerjeva metoda. Pogovarjali smo se o težkih primerih in drugih načinih iskanja rešitev.
Pravzaprav je ta tema veliko obsežnejša in če jo želite bolje razumeti, vam svetujemo, da preberete bolj strokovno literaturo.
