Neenakosti in sistemi neenakosti so ena od tem, ki se poučujejo v srednji šoli algebre. Po zahtevnosti ni najtežje, saj ima preprosta pravila (o njih malo kasneje). Šolarji se praviloma zlahka naučijo reševanja sistemov neenakosti. To je tudi posledica dejstva, da učitelji svoje učence preprosto »trenirajo« na to temo. In tega ne morejo storiti, saj se v prihodnosti preučuje z uporabo drugih matematičnih veličin in se preverja tudi za OGE in enotni državni izpit. V šolskih učbenikih je tematika neenakosti in sistemov neenakosti zelo podrobno obravnavana, zato če jo boste študirali, je najbolje, da se zatečete k njim. Ta članek je samo parafraza velikega dela gradiva in lahko vsebuje nekaj izpustov.
Koncept sistema neenakosti
Če se obrnemo na znanstveni jezik, lahko opredelimo pojem "sistemneenakosti". To je tak matematični model, ki predstavlja več neenakosti. Seveda ta model zahteva rešitev in bo splošen odgovor za vse neenakosti sistema, ki je predlagan v nalogi (običajno je zapisano tako, za primer: "Reši sistem neenakosti 4 x + 1 > 2 in 30 - x > 6 … ").
Sistemi neenakosti in sistemi enačb
V procesu učenja nove teme pogosto nastanejo nesporazumi. Po eni strani je vse jasno in bi se raje lotil reševanja nalog, po drugi strani pa nekateri trenutki ostanejo v »senci«, niso dobro razumljeni. Prav tako je mogoče nekatere elemente že pridobljenega znanja prepletati z novimi. Zaradi tega prekrivanja se pogosto pojavijo napake.
Zato se moramo, preden nadaljujemo z analizo naše teme, spomniti na razlike med enačbami in neenakostmi, njihovimi sistemi. Da bi to naredili, je treba še enkrat razjasniti, kaj so ti matematični koncepti. Enačba je vedno enakost in je vedno enaka nečemu (v matematiki je ta beseda označena z znakom "="). Neenakost je model, v katerem je ena vrednost večja ali manjša od druge ali pa vsebuje trditev, da nista enaki. Tako je v prvem primeru primerno govoriti o enakosti, v drugem pa, ne glede na to, kako očitno se sliši izsamo ime, o neenakosti začetnih podatkov. Sistemi enačb in neenakosti se med seboj praktično ne razlikujejo in metode za njihovo reševanje so enake. Edina razlika je v tem, da prvi uporablja enakosti, medtem ko drugi uporablja neenakosti.
Vrste neenakosti
Obstajata dve vrsti neenakosti: številčne in z neznano spremenljivko. Prvi tip vsebuje vrednosti (številke), ki si med seboj niso enake, na primer 8 > 10. Druga vrsta so neenakosti, ki vsebujejo neznano spremenljivko (označeno z neko črko latinske abecede, najpogosteje X). To spremenljivko je treba najti. Glede na to, koliko jih je, matematični model razlikuje med neenakostmi z eno (sestavljajo sistem neenakosti z eno spremenljivko) ali več spremenljivkami (sestavljajo sistem neenakosti z več spremenljivkami).
Zadnji dve vrsti glede na stopnjo konstrukcije in stopnjo zahtevnosti rešitve delimo na enostavne in kompleksne. Enostavne se imenujejo tudi linearne neenakosti. Ti pa so razdeljeni na stroge in nestroge. Strogi posebej "recimo", da mora biti ena vrednost manjša ali več, torej je to čista neenakost. Primerov je več: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. Nestrogi vključujejo tudi enakost. To pomeni, da je ena vrednost lahko večja ali enaka drugi vrednosti (znak "≧") ali manjša ali enaka drugi vrednosti (znak "≦"). Še vedno v vrstiV neenakostih spremenljivka ne stoji v korenu, kvadratna, ni z ničemer deljiva, zato jih imenujemo "preproste". Kompleksne vključujejo neznane spremenljivke, katerih iskanje zahteva več matematičnih operacij. Pogosto so v kvadratu, kocki ali pod korenom, lahko so modularni, logaritemski, ulomki itd. Ker pa je naša naloga razumeti rešitev sistemov neenakosti, bomo govorili o sistemu linearnih neenakosti. Vendar je treba pred tem povedati nekaj besed o njihovih lastnostih.
Lastnosti neenakosti
Lastnosti neenakosti vključujejo naslednje določbe:
- Znak neenakosti se obrne, če se uporabi operacija za spremembo zaporedja strani (na primer, če t1 ≦ t2, nato t 2 ≧ t1).
- Oba dela neenakosti vam omogočata, da sebi dodate isto število (na primer, če t1 ≦ t2, nato t 1 + številka ≦ t2 + številka).
- Dve ali več neenakosti s predznakom iste smeri vam omogočata, da dodate njun levi in desni del (na primer, če je t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, nato t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Oba dela neenakosti se dopuščata pomnožiti ali deliti z istim pozitivnim številom (na primer, če je t1 ≦ t2in številka ≦ 0, nato številka t1 ≧ številka t2).
- Dve ali več neenakosti s pozitivnimi členi in znakom iste smeri dovoljujetapomnožite drug drugega (na primer, če je t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 nato t1 t3 ≦ t2 t4).
- Oba dela neenakosti se dopuščata pomnožiti ali deliti z istim negativnim številom, vendar se predznak neenakosti spremeni (na primer, če je t1 ≦ t2 in številka ≦ 0, nato številka t1 ≧ številka t2).
- Vse neenakosti so prehodne (na primer, če je t1 ≦ t2 in t2≦ t3, nato t1 ≦ t3).
Zdaj, ko preučimo glavne določbe teorije, povezane z neenakostmi, lahko nadaljujemo neposredno z obravnavo pravil za reševanje njihovih sistemov.
Rešitev sistemov neenakosti. Splošne informacije. Rešitve
Kot že omenjeno, so rešitev vrednosti spremenljivke, ki ustrezajo vsem neenakostim danega sistema. Rešitev sistemov neenakosti je izvedba matematičnih operacij, ki na koncu pripeljejo do rešitve celotnega sistema ali dokažejo, da nima rešitev. V tem primeru naj bi se spremenljivka nanašala na prazen nabor številk (zapisan takole: črka, ki označuje spremenljivko ∈ (znak »pripada«) ø (znak »prazen niz«), na primer x ∈ ø (bere se takole: "Spremenljivka "x" pripada praznemu nizu"). Sisteme neenakosti lahko rešimo na več načinov:grafična, algebraična, substitucijska metoda. Omeniti velja, da se nanašajo na tiste matematične modele, ki imajo več neznanih spremenljivk. V primeru, ko je samo ena, bo primerna metoda presledkov.
Grafična metoda
Omogoča reševanje sistema neenakosti z več neznankami (od dveh ali več). Zahvaljujoč tej metodi se sistem linearnih neenakosti rešuje precej enostavno in hitro, zato je najpogostejša metoda. To je zato, ker risanje zmanjša količino pisanja matematičnih operacij. Še posebej prijetno postane, da se malo odpočijete od peresa, vzamete svinčnik z ravnilom in nadaljujete z nadaljnjimi dejanji z njihovo pomočjo, ko je bilo opravljenega veliko dela in želite malo raznolikosti. Nekaterim pa ta metoda ni všeč zaradi dejstva, da se morate odmakniti od naloge in svojo miselno dejavnost preklopiti na risanje. Vendar je to zelo učinkovit način.
Za reševanje sistema neenakosti z grafično metodo je potrebno vse člane vsake neenakosti prenesti na njihovo levo stran. Predznaki bodo obrnjeni, na desni naj bo napisana nič, nato pa vsaka neenakost ločeno. Posledično bodo funkcije pridobljene iz neenakosti. Po tem lahko dobite svinčnik in ravnilo: zdaj morate narisati graf vsake pridobljene funkcije. Celoten niz številk, ki bo v intervalu njihovega presečišča, bo rešitev sistema neenakosti.
Algebrska pot
Omogoča reševanje sistema neenakosti z dvema neznanima spremenljivkama. Neenakosti morajo imeti tudi enak predznak neenakosti (to pomeni, da morajo vsebovati bodisi samo predznak »večje od« ali samo znak »manj kot« itd.) Kljub omejitvam je ta metoda tudi bolj zapletena. Uporablja se v dveh korakih.
Prva vključuje odstranitev ene od neznanih spremenljivk. Najprej jo morate izbrati, nato preveriti prisotnost številk pred to spremenljivko. Če jih ni (potem bo spremenljivka videti kot ena črka), potem ne spreminjamo ničesar, če obstaja (vrsta spremenljivke bo na primer 5y ali 12y), potem je treba zagotoviti da je v vsaki neenakosti število pred izbrano spremenljivko enako. Če želite to narediti, morate vsak član neenakosti pomnožiti s skupnim faktorjem, na primer, če je v prvi neenakosti zapisano 3y, v drugi pa 5y, potem morate vse člane prve neenakosti pomnožiti s 5, drugi pa za 3. Dobiš 15 let oziroma 15 let.
Druga faza odločitve. Levo stran vsake neenakosti je treba prenesti na njihove desne strani s spremembo predznaka vsakega člena na nasprotno, na desni zapišite nič. Nato sledi zabavni del: znebiti se izbrane spremenljivke (sicer znane kot "zmanjšanje") in seštevati neenakosti. Dobili boste neenakost z eno spremenljivko, ki jo je treba rešiti. Po tem morate storiti enako, le z drugo neznano spremenljivko. Dobljeni rezultati bodo rešitev sistema.
Nadomestni način
Omogoča reševanje sistema neenakosti, ko imate priložnost uvesti novo spremenljivko. Običajno se ta metoda uporablja, ko se neznana spremenljivka v enem členu neenakosti dvigne na četrto potenco, v drugem členu pa je na kvadrat. Tako je ta metoda namenjena zmanjšanju stopnje neenakosti v sistemu. Vzorčna neenakost x4 - x2 - 1 ≦ 0 se reši na naslednji način. Uvedena je nova spremenljivka, na primer t. Napišejo: "Naj t=x2", potem se model prepiše v novi obliki. V našem primeru dobimo t2 - t - 1 ≦0. To neenakost je treba rešiti z intervalno metodo (o tem malo kasneje), nato se vrniti nazaj na spremenljivko X, nato narediti enako z drugo neenakostjo. Prejeti odgovori bodo odločitev sistema.
Intervalna metoda
To je najlažji način za reševanje sistemov neenakosti, hkrati pa je univerzalen in razširjen. Uporablja se v srednji šoli in celo v srednji šoli. Njegovo bistvo je v tem, da učenec išče intervale neenakosti na številski premici, ki je narisana v zvezku (to ni graf, ampak le navadna ravna črta s številkami). Kjer se intervali neenakosti sekajo, najdemo rešitev sistema. Če želite uporabiti metodo presledkov, sledite tem korakom:
- Vsi člani vsake neenakosti se prenesejo na levo stran s spremembo predznaka v nasprotno (na desni je zapisana nič).
- Neenakosti se zapišejo ločeno, rešitev vsake od njih je določena.
- Presečišča neenakosti na številkinaravnost. Vse številke na teh križiščih bodo rešitev.
Kateri način uporabiti?
Očitno tista, ki se zdi najlažja in najbolj priročna, vendar včasih naloge zahtevajo določeno metodo. Najpogosteje pravijo, da morate rešiti bodisi z grafom bodisi z uporabo intervalne metode. Algebraična metoda in substitucija se uporabljata izjemno redko ali pa sploh ne, saj sta precej zapletena in zmedena, poleg tega pa se bolj uporabljata za reševanje sistemov enačb in ne neenak, zato se morate zateči k risanju grafov in intervalov. Prinašajo vidnost, ki ne more le prispevati k učinkovitemu in hitremu izvajanju matematičnih operacij.
Če kaj ne deluje
Med študijem določene teme iz algebre seveda lahko pride do težav z njenim razumevanjem. In to je normalno, saj so naši možgani zasnovani tako, da kompleksnega materiala ne morejo razumeti naenkrat. Pogosto morate ponovno prebrati odstavek, poiskati pomoč učitelja ali vaditi reševanje tipičnih problemov. V našem primeru izgledajo na primer takole: "Reši sistem neenakosti 3 x + 1 ≧ 0 in 2 x - 1 > 3". Tako osebno prizadevanje, pomoč zunanjih ljudi in praksa pomagajo pri razumevanju katere koli zapletene teme.
Rešebnik?
In knjiga rešitev je tudi zelo dobra, vendar ne za goljufanje domače naloge, ampak za samopomoč. V njih lahko najdete sisteme neenakosti z rešitvijo, poglejte(kot predloge), poskusite natančno razumeti, kako se je avtor rešitve spopadel z nalogo, nato pa jo poskusite narediti sam.
Sklepi
Algebra je eden najtežjih predmetov v šoli. No, kaj lahko storiš? Matematika je bila vedno taka: nekaterim je zlahka, drugim je težko. Vsekakor pa se je treba spomniti, da je splošnoizobraževalni program zasnovan tako, da se z njim lahko spopade vsak študent. Poleg tega morate upoštevati ogromno število pomočnikov. Nekateri od njih so bili omenjeni zgoraj.
