Ravna črta je glavni geometrijski objekt na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru. Iz ravnih črt so zgrajene številne figure, na primer: paralelogram, trikotnik, prizma, piramida itd. V članku razmislite o različnih načinih postavljanja enačb vrstic.
Definicija ravne črte in vrste enačb za njen opis
Vsak študent ima dobro predstavo o tem, o katerem geometrijskem predmetu govori. Ravno črto lahko predstavimo kot zbirko točk in če vsako od njih po vrsti povežemo z vsemi drugimi, dobimo nabor vzporednih vektorjev. Z drugimi besedami, do vsake točke premice je mogoče priti iz ene od njenih fiksnih točk in jo prenesti v neki enotni vektor, pomnožen z realnim številom. Ta definicija ravne črte se uporablja za definiranje vektorske enakosti za njen matematični opis tako v ravnini kot v tridimenzionalnem prostoru.
Ravno črto je mogoče matematično predstaviti z naslednjimi vrstami enačb:
- splošno;
- vektor;
- parametrično;
- v segmentih;
- simetrično (kanonično).
Naprej bomo upoštevali vse poimenovane tipe in pokazali, kako z njimi delati na primerih reševanja problemov.
Vektorski in parametrični opis ravne črte
Začnimo z definiranjem ravne črte skozi znani vektor. Recimo, da obstaja fiksna točka v prostoru M(x0; y0; z0). Znano je, da premica poteka skozi njo in je usmerjena vzdolž vektorskega segmenta v¯(a; b; c). Kako iz teh podatkov najti poljubno točko premice? Odgovor na to vprašanje bo dal naslednjo enakost:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Kjer je λ poljubno število.
Podoben izraz lahko zapišemo za dvodimenzionalni primer, kjer so koordinate vektorjev in točk predstavljene z nizom dveh števil:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Napisane enačbe se imenujejo vektorske enačbe, usmerjeni segment v¯ pa je sam vektor smeri za premico.
Iz zapisanih izrazov dobimo ustrezne parametrične enačbe preprosto, dovolj je, da jih eksplicitno prepišemo. Na primer, za primer v prostoru dobimo naslednjo enačbo:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Priročno je delati s parametričnimi enačbami, če morate analizirati vedenjevsaka koordinata. Upoštevajte, da čeprav ima lahko parameter λ poljubne vrednosti, mora biti enak v vseh treh enačbah.
Splošna enačba
Drug način za definiranje ravne črte, ki se pogosto uporablja za delo z obravnavanim geometrijskim objektom, je uporaba splošne enačbe. Za dvodimenzionalni primer je videti tako:
Ax + By + C=0
Tukaj velike latinične črke predstavljajo določene številčne vrednosti. Priročnost te enakosti pri reševanju problemov je v tem, da eksplicitno vsebuje vektor, ki je pravokoten na ravno črto. Če ga označimo z n¯, lahko zapišemo:
n¯=[A; B
Poleg tega je izraz primeren za določitev razdalje od ravne črte do neke točke P(x1; y1). Formula za razdaljo d je:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Lahko je pokazati, da če eksplicitno izrazimo spremenljivko y iz splošne enačbe, dobimo naslednjo dobro znano obliko pisanja ravne črte:
y=kx + b
Kjer sta k in b enolično določena s številkami A, B, C.
enačba v segmentih in kanonična
Enačbo v segmentih je najlažje dobiti iz splošnega pogleda. Pokazali vam bomo, kako to storiti.
Predpostavimo, da imamo naslednjo vrstico:
Ax + By + C=0
Prosti člen premaknite na desno stran enakosti, nato z njim delite celotno enačbo, dobimo:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, kjer je q=-C / A, p=-C / B
Dobili smo tako imenovano enačbo v segmentih. Ime je dobil zaradi dejstva, da imenovalec, s katerim je razdeljena vsaka spremenljivka, prikazuje vrednost koordinate presečišča premice z ustrezno osjo. To dejstvo je priročno uporabiti za prikaz ravne črte v koordinatnem sistemu, pa tudi za analizo njene relativne lege glede na druge geometrijske objekte (ravne črte, točke).
Sedaj pa pojdimo na pridobitev kanonične enačbe. To je lažje narediti, če upoštevamo parametrično možnost. Za primer na letalu imamo:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
V vsaki enačbi izrazimo parameter λ, nato jih enačimo, dobimo:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
To je želena enačba, zapisana v simetrični obliki. Tako kot vektorski izraz, eksplicitno vsebuje koordinate vektorja smeri in koordinate ene od točk, ki pripada premici.
Vidimo, da smo v tem odstavku dali enačbe za dvodimenzionalni primer. Podobno lahko napišete enačbo ravne črte v prostoru. Tu je treba opozoriti, da če kanonična oblikazapisi in izrazi v segmentih bodo imeli enako obliko, potem je splošna enačba v prostoru za ravno črto predstavljena s sistemom dveh enačb za sekajoče se ravnine.
Problem sestavljanja enačbe ravne črte
Iz geometrije vsak učenec ve, da lahko skozi dve točki narišeš eno samo črto. Predpostavimo, da so v koordinatni ravnini podane naslednje točke:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Treba je najti enačbo premice, ki ji pripadata obe točki, v segmentih, v vektorski, kanonični in splošni obliki.
Najprej dobimo vektorsko enačbo. Če želite to narediti, definirajte za vektor neposredne smeri M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Zdaj lahko ustvarite vektorsko enačbo tako, da vzamete eno od dveh točk, navedenih v izjavi o problemu, na primer M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Da dobimo kanonično enačbo, je dovolj, da najdeno enakost pretvorimo v parametrično obliko in izključimo parameter λ. Imamo:
x=-1 - 2λ, torej λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, potem dobimo λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Preostali dve enačbi (splošno in v segmentih) je mogoče najti iz kanonične tako, da jo preoblikujemo na naslednji način:
x + 1=-2y + 6;
splošna enačba: x + 2y - 5=0;
v segmentih enačba: x / 5 + y / 2, 5=1
Nastale enačbe kažejo, da mora biti vektor (1; 2) pravokoten na premico. Dejansko, če najdete njegov skalarni produkt z vektorjem smeri, bo enak nič. Enačba segmenta črte pravi, da premica seka os x pri (5; 0) in os y pri (2, 5; 0).
Problem določanja točke presečišča premic
Dve ravni črti sta podani na ravnini z naslednjimi enačbami:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Določiti je treba koordinate točke, kjer se te črte sekata.
Težavo lahko rešite na dva načina:
- Pretvorite vektorsko enačbo v splošno obliko, nato rešite sistem dveh linearnih enačb.
- Ne izvajajte nobenih transformacij, ampak preprosto nadomestite koordinato presečišča, izraženo s parametrom λ, v prvo enačbo. Nato poiščite vrednost parametra.
Naredimo drugi način. Imamo:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Dobljeno število nadomestite v vektorsko enačbo:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Tako je edina točka, ki pripada obema črtama, točka s koordinatami (-2; 5). V njem se črte sekajo.
