Tipična geometrijska težava je iskanje kota med črtami. Na ravnini, če so enačbe premic znane, jih lahko narišemo in izmerimo kot s kotomerjem. Vendar je ta metoda naporna in ni vedno možna. Da bi ugotovili imenovani kot, ni treba risati ravnih črt, lahko ga izračunamo. Ta članek bo odgovoril, kako se to naredi.
Premica in njena vektorska enačba
Vsako ravno črto lahko predstavimo kot vektor, ki se začne pri -∞ in konča pri +∞. V tem primeru vektor prehaja skozi neko točko v prostoru. Tako bodo vsi vektorji, ki jih je mogoče narisati med katerima koli točkama na ravni črti, vzporedni drug z drugim. Ta definicija vam omogoča, da nastavite enačbo ravne črte v vektorski obliki:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Tukaj je vektor s koordinatami (a; b; c) vodilo za to črto, ki poteka skozi točko (x0; y0; z0). Parameter α vam omogoča prenos podane točke na katero koli drugo za to vrstico. Ta enačba je intuitivna in enostavna za delo tako v 3D prostoru kot na ravnini. Za ravnino ne bo vseboval koordinat z in vektorske komponente tretje smeri.
Priročnost izvajanja izračunov in preučevanja relativnega položaja ravnih črt zaradi uporabe vektorske enačbe je posledica dejstva, da je njen usmerjevalni vektor znan. Njegove koordinate se uporabljajo za izračun kota med črtami in razdalje med njima.
Splošna enačba za ravno črto na ravnini
Napišimo eksplicitno vektorsko enačbo ravne črte za dvodimenzionalni primer. Izgleda tako:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Sedaj izračunamo parameter α za vsako enakost in enačimo prave dele dobljenih enakosti:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Če odpremo oklepaje in vse izraze prenesemo na eno stran enakosti, dobimo:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, kjer je A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Dobljeni izraz se imenuje splošna enačba za ravno črto, podano v dvodimenzionalnem prostoru (v tridimenzionalnem prostoru ta enačba ustreza ravnini, vzporedni z osjo z, ne ravni črti).
Če v tem izrazu izrecno zapišemo y skozi x, dobimo naslednjo obliko, znanovsak študent:
y=kx + p, kjer je k=-A/B, p=-C/B
Ta linearna enačba enolično definira ravno črto na ravnini. Zelo enostavno ga je narisati po dobro znani enačbi, za to morate po vrsti postaviti x=0 in y=0, označiti ustrezne točke v koordinatnem sistemu in narisati ravno črto, ki povezuje dobljene točke.
Formula kota med črtami
Na ravnini se lahko dve premici sekata ali sta vzporedni. V prostoru je tem možnostim dodana možnost obstoja poševnih črt. Ne glede na različico relativne lege teh enodimenzionalnih geometrijskih objektov je mogoče vedno določiti kot med njimi z naslednjo formulo:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Kjer sta v1¯ in v2¯ vodilna vektorja za vrstico 1 oziroma 2. Števec je modul pik produkta, ki izključuje tope kote in upošteva samo ostre.
Vektorja v1¯ in v2¯ je mogoče podati z dvema ali tremi koordinatami, medtem ko je formula za kot φ ostane nespremenjen.
Vzporednost in pravokotnost premic
Če je kot med dvema črtama, izračunanim po zgornji formuli, 0o, se pravi, da sta vzporedni. Če želite ugotoviti, ali so črte vzporedne ali ne, ne morete izračunati kotaφ, zadostuje pokazati, da je eno smerni vektor mogoče predstaviti s podobnim vektorjem druge črte, to je:
v1¯=qv2¯
Tukaj je q nekaj realnega števila.
Če so enačbe vrstic podane kot:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
potem bodo vzporedni le, če so koeficienti x enaki, to je:
k1=k2
To dejstvo je mogoče dokazati, če upoštevamo, kako je koeficient k izražen s koordinatami usmerjevalnega vektorja premice.
Če je kot presečišča premic 90o, se imenujejo pravokotne. Za določitev pravokotnosti premic tudi ni treba izračunati kota φ, za to je dovolj izračunati samo skalarni produkt vektorjev v1¯ in v 2¯. Mora biti nič.
V primeru sekanja ravnih črt v prostoru lahko uporabimo tudi formulo za kot φ. V tem primeru je treba rezultat pravilno interpretirati. Izračunan φ kaže kot med vektorji smeri premic, ki se ne sekajo in niso vzporedne.
Naloga 1. Navpične črte
Znano je, da imajo enačbe premic obliko:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Ugotoviti je treba, ali so te vrsticepravokotno.
Kot že omenjeno, je za odgovor na vprašanje dovolj izračunati skalarni produkt vektorjev vodil, ki ustrezajo koordinatama (1; 2) in (-4; 2). Imamo:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Ker smo dobili 0, to pomeni, da se obravnavane premice sekajo pod pravim kotom, torej da so pravokotne.
Naloga 2. Kot presečišča črt
Znano je, da imata dve enačbi za ravne črte naslednjo obliko:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Treba je najti kot med črtami.
Ker imajo koeficienti x različne vrednosti, te premice niso vzporedne. Da bi našli kot, ki nastane, ko se sekata, vsako enačbo prevedemo v vektorsko obliko.
Za prvo vrstico dobimo:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Na desni strani enačbe imamo vektor, katerega koordinate so odvisne od x. Predstavimo ga kot vsoto dveh vektorjev, koordinate prvega pa bodo vsebovale spremenljivko x, koordinate drugega pa bodo sestavljene izključno iz števil:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Ker ima x poljubne vrednosti, ga je mogoče nadomestiti s parametrom α. Vektorska enačba za prvo vrstico postane:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Naredimo enaka dejanja z drugo enačbo vrstice, dobimo:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Izvirne enačbe smo prepisali v vektorski obliki. Zdaj lahko uporabite formulo za kot presečišča in vanjo nadomestite koordinate usmerjevalnih vektorjev črt:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Tako se obravnavane črte sekajo pod kotom 71,565o ali 1,249 radianov.
Ta problem bi lahko rešili drugače. Da bi to naredili, je bilo treba vzeti dve poljubni točki vsake premice, iz njih sestaviti neposredne vektorje in nato uporabiti formulo za φ.
