Vektor je pomemben geometrijski objekt, s pomočjo njegovih lastnosti je priročno reševati številne probleme na ravnini in v prostoru. V tem članku ga bomo opredelili, razmislili o njegovih glavnih značilnostih in tudi pokazali, kako lahko vektor v prostoru uporabimo za definiranje ravnin.
Kaj je vektor: dvodimenzionalni primer
Najprej je treba jasno razumeti, o katerem predmetu govorimo. V geometriji se usmerjen segment imenuje vektor. Kot vsak segment je zanj značilna dva glavna elementa: začetna in končna točka. Koordinate teh točk enolično določajo vse značilnosti vektorja.
Upoštevajmo primer vektorja na ravnini. Za to narišemo dve medsebojno pravokotni osi x in y. Označimo poljubno točko P(x, y). Če to točko povežemo z izhodiščem (točka O) in nato določimo smer na P, dobimo vektor OP¯ (pozneje v članku črtica nad simbolom označuje, da razmišljamo o vektorju). Vektorska risba na ravnini je prikazana spodaj.
Tu je prikazan še en vektor AB¯ in lahko vidite, da so njegove značilnosti popolnoma enake kot OP¯, vendar je v drugem delu koordinatnega sistema. Z vzporednim prevajanjem OP¯ lahko dobite neskončno število vektorjev z enakimi lastnostmi.
Vektor v vesolju
Vsi resnični predmeti, ki nas obdajajo, so v tridimenzionalnem prostoru. Proučevanje geometrijskih lastnosti tridimenzionalnih figur se ukvarja s stereometrijo, ki operira s konceptom tridimenzionalnih vektorjev. Od dvodimenzionalnih se razlikujejo le po tem, da njihov opis zahteva dodatno koordinato, ki se meri vzdolž tretje pravokotne osi x in y z.
Spodnja slika prikazuje vektor v prostoru. Koordinate njegovega konca vzdolž vsake osi so označene z barvnimi segmenti. Začetek vektorja se nahaja na presečišču vseh treh koordinatnih osi, torej ima koordinate (0; 0; 0).
Ker je vektor na ravnini poseben primer prostorsko usmerjenega segmenta, bomo v članku obravnavali le tridimenzionalni vektor.
Vektorske koordinate na podlagi znanih koordinat njegovega začetka in konca
Predpostavimo, da obstajata dve točki P(x1; y1; z1) in Q(x2; y2; z2). Kako določiti koordinate vektorja PQ¯. Najprej se je treba dogovoriti, katera od točk bo začetek in katera konec vektorja. V matematiki je običajno, da zadevni predmet pišemo vzdolž njegove smeri, to je P je začetek, Q- konec. Drugič, koordinate vektorja PQ¯ se izračunajo kot razlika med ustreznima koordinatama konca in začetka, to je:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Upoštevajte, da se s spremembo smeri vektorja njegove koordinate spremenijo predznak, kot sledi:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
To pomeni PQ¯=-QP¯.
Pomembno je razumeti še eno stvar. Zgoraj je bilo rečeno, da je v ravnini neskončno število vektorjev, ki je enako danemu. To dejstvo velja tudi za prostorski primer. Ko smo v zgornjem primeru izračunali koordinate PQ¯, smo izvedli operacijo vzporednega prevajanja tega vektorja na način, da je njegov izvor sovpadal z izhodiščem. Vektor PQ¯ je mogoče narisati kot usmerjen segment od izhodišča do točke M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektorske lastnosti
Tako kot vsak geometrijski objekt ima vektor nekaj inherentnih značilnosti, ki jih je mogoče uporabiti za reševanje problemov. Na kratko jih naštejmo.
Vektorski modul je dolžina usmerjenega segmenta. Če poznamo koordinate, jih je enostavno izračunati. Za vektor PQ¯ v zgornjem primeru je modul:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektorski modul je vklopljenravnina se izračuna po podobni formuli, le brez sodelovanja tretje koordinate.
Vsota in razlika vektorjev se izvedeta po pravilu trikotnika. Spodnja slika prikazuje, kako sešteti in odšteti te predmete.
Če želite dobiti vektor vsote, dodajte začetek drugega na konec prvega vektorja. Želeni vektor se bo začel na začetku prvega in končal na koncu drugega vektorja.
Razlika se izvede ob upoštevanju dejstva, da se odšteti vektor nadomesti z nasprotnim, nato pa se izvede zgoraj opisana operacija seštevanja.
Poleg seštevanja in odštevanja je pomembno, da lahko vektor pomnožimo s številom. Če je število enako k, dobimo vektor, katerega modul je k-krat drugačen od prvotnega, smer pa je enaka (k>0) ali nasprotna od prvotne (k<0).
Definirana je tudi operacija množenja vektorjev med seboj. Zanj bomo v članku izpostavili ločen odstavek.
Skalarno in vektorsko množenje
Predpostavimo, da obstajata dva vektorja u¯(x1; y1; z1) in v¯(x2; y2; z2). Vektor z vektorjem je mogoče pomnožiti na dva različna načina:
- Skalar. V tem primeru je rezultat številka.
- Vektor. Rezultat je nov vektor.
Skalarni produkt vektorjev u¯ in v¯ se izračuna na naslednji način:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Kjer je α kot med danima vektorjema.
Lahko se pokaže, da je mogoče, če poznamo koordinate u¯ in v¯, njun pikčasti produkt izračunati z naslednjo formulo:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalarni produkt je primeren za uporabo pri razgradnji vektorja na dva pravokotno usmerjena segmenta. Uporablja se tudi za izračun vzporednosti ali ortogonalnosti vektorjev in za izračun kota med njimi.
Navzkrižni produkt u¯ in v¯ daje nov vektor, ki je pravokoten na prvotne in ima modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Smer novega vektorja navzdol ali navzgor je določena s pravilom desne roke (štirje prsti desne roke so usmerjeni od konca prvega vektorja do konca drugega, palec pa štrli navzgor označuje smer novega vektorja). Spodnja slika prikazuje rezultat navzkrižnega produkta za poljubna a¯ in b¯.
Navzkrižni produkt se uporablja za izračun površin številk, pa tudi za določanje koordinat vektorja, pravokotnega na dano ravnino.
Vektorje in njihove lastnosti so priročne za uporabo pri definiranju enačbe ravnine.
Normalna in splošna enačba ravnine
Obstaja več načinov za definiranje ravnine. Ena izmed njih je izpeljava splošne enačbe ravnine, ki izhaja neposredno iz poznavanja vektorja, ki je pravokotni nanjo, in neke znane točke, ki pripada ravnini.
Predpostavimo, da obstajata vektor n¯ (A; B; C) in točka P (x0; y0; z 0). Kateri pogoj bo izpolnjeval vse točke Q(x; y; z) ravnine? Ta pogoj je pravokotnost katerega koli vektorja PQ¯ na normalo n¯. Za dva pravokotna vektorja pik produkt postane nič (cos(90o)=0), zapišite to:
(n¯PQ¯)=0 ali
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Če odpremo oklepaje, dobimo:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ali
Ax + By + Cz +D=0, kjer je D=-Ax0-By0-Cz0.
Ta enačba se imenuje splošna za ravnino. Vidimo, da so koeficienti pred x, y in z koordinate pravokotnega vektorja n¯. Imenuje se letalski vodnik.
Vektorska parametrična enačba ravnine
Drugi način za definiranje ravnine je uporaba dveh vektorjev, ki ležita v njej.
Predpostavimo, da obstajajo vektorji u¯(x1; y1; z1) in v¯(x2; y2; z2). Kot rečeno, lahko vsakega od njih v prostoru predstavlja neskončno število enakih usmerjenih segmentov, zato je za enolično določitev ravnine potrebna še ena točka. Naj bo ta točka P(x0;y0; z0). Vsaka točka Q(x; y; z) bo ležala v želeni ravnini, če lahko vektor PQ¯ predstavimo kot kombinacijo u¯ in v¯. To pomeni, da imamo:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Kjer sta α in β nekaj realnih števil. Iz te enakosti sledi izraz:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Imenuje se parametrična vektorska enačba ravnine glede na 2 vektorja u¯ in v¯. Če zamenjamo poljubna parametra α in β, lahko najdemo vse točke (x; y; z), ki pripadajo tej ravnini.
Iz te enačbe je enostavno dobiti splošni izraz za ravnino. Za to je dovolj, da poiščemo vektor smeri n¯, ki bo pravokoten na oba vektorja u¯ in v¯, to pomeni, da je treba uporabiti njihov vektorski produkt.
Problem določanja splošne enačbe ravnine
Pokažimo, kako uporabiti zgornje formule za reševanje geometrijskih problemov. Recimo, da je vektor smeri ravnine n¯(5; -3; 1). Morali bi najti enačbo ravnine, saj vemo, da ji pripada točka P(2; 0; 0).
Splošna enačba je zapisana kot:
Ax + By + Cz +D=0.
Ker je vektor, pravokoten na ravnino, znan, bo enačba imela obliko:
5x - 3y + z +D=0.
Ostaja še najti prosti izraz D. Izračunamo ga iz poznavanja koordinat P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Tako ima želena enačba ravnine obliko:
5x - 3y + z -10=0.
Spodnja slika prikazuje, kako izgleda nastala ravnina.
Navedene koordinate točk ustrezajo presečišču ravnine z osmi x, y in z.
Problem določanja ravnine skozi dva vektorja in točko
Sedaj recimo, da je prejšnja ravnina definirana drugače. Znana sta dva vektorja u¯(-2; 0; 10) in v¯(-2; -10/3; 0) ter točka P(2; 0; 0). Kako zapisati ravninsko enačbo v vektorski parametrični obliki? Z uporabo obravnavane ustrezne formule dobimo:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Upoštevajte, da je definicije te enačbe ravnine, vektorjev u¯ in v¯ mogoče vzeti popolnoma poljubno, vendar z enim pogojem: ne smejo biti vzporedni. V nasprotnem primeru ravnine ni mogoče enolično določiti, vendar je mogoče najti enačbo za žarek ali niz ravnin.
