V geometriji je za točko ravna črta morda najpreprostejši element. Uporablja se pri gradnji vseh kompleksnih figur na ravnini in v tridimenzionalnem prostoru. V tem članku bomo obravnavali splošno enačbo ravne črte in z njeno uporabo rešili nekaj težav. Začnimo!
ravna črta v geometriji
Vsi vedo, da oblike, kot so pravokotnik, trikotnik, prizma, kocka in tako naprej, nastanejo s sekanjem ravnih črt. Ravna črta v geometriji je enodimenzionalni predmet, ki ga lahko dobimo s prenosom določene točke na vektor, ki ima isto ali nasprotno smer. Da bi bolje razumeli to definicijo, si predstavljamo, da je v prostoru neka točka P. V tem prostoru vzemite poljuben vektor u¯. Potem je mogoče katero koli točko Q premice dobiti kot rezultat naslednjih matematičnih operacij:
Q=P + λu¯.
Tukaj je λ poljubno število, ki je lahko pozitivno ali negativno. Če enakostzapišemo zgoraj v smislu koordinat, potem dobimo naslednjo enačbo ravne črte:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ta enakost se imenuje enačba ravne črte v vektorski obliki. In vektor u¯ se imenuje vodnik.
Splošna enačba premice v ravnini
Vsak študent jo lahko brez težav zapiše. Najpogosteje pa je enačba zapisana takole:
y=kx + b.
Kjer sta k in b poljubni številki. Število b imenujemo prosti član. Parameter k je enak tangentu kota, ki ga tvori presečišče premice z osjo x.
Zgornja enačba je izražena glede na spremenljivko y. Če ga predstavimo v bolj splošni obliki, dobimo naslednji zapis:
Ax + By + C=0.
Lahko je pokazati, da se ta oblika zapisovanja splošne enačbe ravne črte na ravnini zlahka pretvori v prejšnjo obliko. Za to je treba levi in desni del deliti s faktorjem B in izraziti y.
Zgornja slika prikazuje ravno črto, ki poteka skozi dve točki.
Črta v 3D prostoru
Nadaljujmo s študijem. Preučili smo vprašanje, kako je enačba premice v splošni obliki podana na ravnini. Če za prostorski primer uporabimo zapis iz prejšnjega odstavka člena, kaj bomo dobili? Vse je preprosto - ni več ravna črta, ampak ravnina. Dejansko naslednji izraz opisuje ravnino, ki je vzporedna z osjo z:
Ax + By + C=0.
Če je C=0, potem taka ravnina gre mimoskozi os z. To je pomembna lastnost.
Kako biti potem s splošno enačbo ravne črte v prostoru? Če želite razumeti, kako ga vprašati, se morate nečesa spomniti. Dve ravnini se sekata vzdolž določene premice. Kaj to pomeni? Le da je splošna enačba rezultat reševanja sistema dveh enačb za ravnine. Zapišimo ta sistem:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ta sistem je splošna enačba ravne črte v prostoru. Upoštevajte, da ravnine ne smejo biti med seboj vzporedne, to pomeni, da morajo biti njihovi normalni vektorji nagnjeni pod določenim kotom drug proti drugemu. V nasprotnem primeru sistem ne bo imel rešitev.
Zgoraj smo dali vektorsko obliko enačbe za ravno črto. To je priročno za uporabo pri reševanju tega sistema. Če želite to narediti, morate najprej najti vektorski produkt normal teh ravnin. Rezultat te operacije bo vektor smeri ravne črte. Nato je treba izračunati katero koli točko, ki pripada premici. Če želite to narediti, morate katero koli od spremenljivk nastaviti na določeno vrednost, dve preostali spremenljivki lahko najdete z reševanjem reduciranega sistema.
Kako prevesti vektorsko enačbo v splošno? Nianse
To je dejanska težava, ki se lahko pojavi, če morate zapisati splošno enačbo ravne črte z uporabo znanih koordinat dveh točk. Pokažimo, kako je ta problem rešen s primerom. Naj bodo znane koordinate dveh točk:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Enačbo v vektorski obliki je zelo enostavno sestaviti. Vektorske koordinate smeri so:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Upoštevajte, da ni razlike, če od koordinat točke P odštejemo koordinate Q, bo vektor samo spremenil svojo smer v nasprotno. Zdaj morate vzeti katero koli točko in zapisati vektorsko enačbo:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Za pisanje splošne enačbe premice je treba v obeh primerih izraziti parameter λ. In potem primerjaj rezultate. Imamo:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Ostane le še odpreti oklepaje in vse člene enačbe prenesti na eno stran enačbe, da dobimo splošni izraz za premico, ki poteka skozi dve znani točki.
V primeru tridimenzionalnega problema je algoritem rešitve ohranjen, le njegov rezultat bo sistem dveh enačb za ravnine.
Naloga
Treba je narediti splošno enačboravna črta, ki seka os x pri (-3, 0) in je vzporedna z osjo y.
Začnimo reševati problem tako, da zapišemo enačbo v vektorski obliki. Ker je črta vzporedna z osjo y, bo usmerjevalni vektor zanjo naslednji:
u¯=(0, 1).
Potem bo želena vrstica zapisana na naslednji način:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Zdaj ta izraz prevedemo v splošno obliko, za to izrazimo parameter λ:
- x=-3;
- y=λ.
Tako vsaka vrednost spremenljivke y pripada vrstici, vendar ji ustreza samo ena vrednost spremenljivke x. Zato bo splošna enačba imela obliko:
x + 3=0.
Problem z ravno črto v prostoru
Vemo, da sta dve sekajoči se ravnini podani z naslednjimi enačbami:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Treba je najti vektorsko enačbo premice, vzdolž katere se te ravnine sekata. Začnimo.
Kot rečeno, je splošna enačba premice v tridimenzionalnem prostoru že podana v obliki sistema dveh s tremi neznankami. Najprej določimo vektor smeri, po kateri se ravnine sekata. Če pomnožimo vektorske koordinate normal na ravnine, dobimo:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Ker množenje vektorja z negativnim številom obrne njegovo smer, lahko zapišemo:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Zada bi našli vektorski izraz za premico, je treba poleg vektorja smeri poznati neko točko te premice. Poišči, ker morajo njegove koordinate izpolnjevati sistem enačb v pogoju problema, potem jih bomo našli. Na primer, postavimo x=0, potem dobimo:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Tako ima točka, ki pripada želeni ravni črti, koordinate:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Takrat dobimo odgovor na to težavo, vektorska enačba želene črte bo videti takole:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Pravilnost rešitve je mogoče enostavno preveriti. Če želite to narediti, morate izbrati poljubno vrednost parametra λ in dobljene koordinate točke premice nadomestiti v obe enačbi za ravnine, v obeh primerih boste dobili identiteto.
