Črta in ravnina sta dva najpomembnejša geometrijska elementa, ki ju je mogoče uporabiti za konstruiranje različnih oblik v 2D in 3D prostoru. Razmislite, kako najti razdaljo med vzporednimi črtami in vzporednimi ravninami.
matematična naloga ravna črta
Iz šolskega tečaja geometrije je znano, da je v dvodimenzionalnem pravokotnem koordinatnem sistemu mogoče določiti črto v naslednji obliki:
y=kx + b.
Kjer sta k in b številki (parametri). Pisna oblika predstavljanja premice v ravnini je ravnina, ki je vzporedna z osjo z v tridimenzionalnem prostoru. Glede na to bomo v tem članku za matematično dodelitev ravne črte uporabili bolj priročno in univerzalno obliko - vektorsko.
Predpostavimo, da je naša premica vzporedna z nekim vektorjem u¯(a, b, c) in poteka skozi točko P(x0, y0, z0). V tem primeru bo v vektorski obliki njena enačba predstavljena na naslednji način:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Tukaj je λ poljubno število. Če koordinate eksplicitno predstavimo z razširitvijo zapisanega izraza, bomo dobili parametrično obliko zapisa ravne črte.
Z vektorsko enačbo je priročno delati pri reševanju različnih nalog, pri katerih je treba določiti razdaljo med vzporednimi premici.
Črte in razdalja med njimi
O razdalji med črtami je smiselno govoriti le, če so vzporedne (v tridimenzionalnem primeru obstaja tudi razdalja med poševnimi črtami, ki ni nič). Če se premici sekata, je očitno, da sta drug od drugega na ničelni razdalji.
Razdalja med vzporednima črtama je dolžina navpičnice, ki ju povezuje. Za določitev tega indikatorja je dovolj, da izberete poljubno točko na eni od premic in spustite pravokotnik z nje na drugo.
Na kratko opišemo postopek iskanja želene razdalje. Recimo, da poznamo vektorske enačbe dveh vrstic, ki sta predstavljeni v naslednji splošni obliki:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Na teh premicih konstruirajte paralelogram, tako da je ena od stranic PQ, druga pa, na primer, u. Očitno je višina te figure, potegnjena iz točke P, dolžina zahtevane pravokotnice. Če ga želite najti, lahko uporabite naslednje preprosteformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Ker je razdalja med premicami dolžina pravokotnega odseka med njima, je po zapisanem izrazu dovolj poiskati modul vektorskega produkta PQ¯ in u¯ ter rezultat deliti z dolžina vektorja u¯.
Primer naloge za določitev razdalje med ravnimi črtami
Dve ravni črti sta podani z naslednjimi vektorskimi enačbami:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Iz zapisanih izrazov je jasno, da imamo dve vzporedni premici. Dejansko, če pomnožimo z -1 koordinate smernega vektorja prve vrstice, dobimo koordinate vektorja smeri druge vrstice, kar kaže na njihovo vzporednost.
Razdalja med ravnimi črtami se izračuna s formulo, napisano v prejšnjem odstavku članka. Imamo:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Potem dobimo:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Upoštevajte, da bi namesto točk P in Q za rešitev problema lahko uporabili absolutno vse točke, ki pripadajo tem premicam. V tem primeru bi dobili enako razdaljo d.
Nastavitev ravnine v geometriji
Vprašanje o razdalji med vrsticami je bilo podrobno obravnavano zgoraj. Zdaj pa pokažimo, kako najti razdaljo med vzporednima ravninama.
Vsak predstavlja, kaj je letalo. Po matematični definiciji je določen geometrijski element zbirka točk. Poleg tega, če z uporabo teh točk sestavite vse možne vektorje, bodo vsi pravokotni na en sam vektor. Slednje se običajno imenuje normala na ravnino.
Za določitev enačbe ravnine v tridimenzionalnem prostoru se najpogosteje uporablja splošna oblika enačbe. Izgleda takole:
Ax + By + Cz + D=0.
Kjer so velike latinične črke nekatere številke. Tovrstno ravninsko enačbo je priročno uporabiti, ker so v njej eksplicitno podane koordinate normalnega vektorja. So A, B, C.
Lahko je videti, da sta dve ravnini vzporedni le, če sta njuni normali vzporedni.
Kako najti razdaljo med dvema vzporednima ravninama?
Če želite določiti določeno razdaljo, morate jasno razumeti, kaj je na kocki. Razdalja med ravninami, ki sta vzporedni med seboj, se razume kot dolžina odseka, ki je pravokotni nanje. Konci tega segmenta pripadajo ravninam.
Algoritem za reševanje takšnih problemov je preprost. Če želite to narediti, morate najti koordinate absolutno katere koli točke, ki pripada eni od obeh ravnin. Nato uporabite to formulo:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Ker je razdalja pozitivna vrednost, je predznak modula v števcu. Napisana formula je univerzalna, saj omogoča izračun razdalje od ravnine do popolnoma katerega koli geometrijskega elementa. Dovolj je vedeti koordinate ene točke tega elementa.
Zaradi popolnosti ugotavljamo, da če normali dveh ravnin nista med seboj vzporedni, se bosta taki ravnini sekali. Razdalja med njima bo potem enaka nič.
Problem določanja razdalje med ravninami
Znano je, da sta dve ravnini podani z naslednjimi izrazi:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Dokazati je treba, da sta ravnini vzporedni, in tudi določiti razdaljo med njima.
Če želite odgovoriti na prvi del težave, morate prvo enačbo spraviti v splošno obliko. Upoštevajte, da je podana v tako imenovani obliki enačbe v segmentih. Njegov levi in desni del pomnožimo s 15 in vse člene premaknemo na eno stran enačbe, dobimo:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Napišimo koordinate dveh normalnih vektorjev ravnin:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Vidimo, da če n2¯ pomnožimo s 5, potem bomo natančno dobili koordinate n1¯. Tako so obravnavane ravninevzporedno.
Za izračun razdalje med vzporednimi ravninami izberite poljubno točko prve od njih in uporabite zgornjo formulo. Vzemimo za primer točko (0, 0, 1), ki pripada prvi ravnini. Potem dobimo:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Želena razdalja je 31 mm.
Razdalja med ravnino in črto
Ponujeno teoretično znanje nam omogoča tudi reševanje problema določanja razdalje med premo in ravnino. Zgoraj je bilo že omenjeno, da je formula, ki velja za izračune med ravninami, univerzalna. Lahko se uporablja tudi za rešitev težave. Če želite to narediti, samo izberite katero koli točko, ki pripada dani črti.
Glavni problem pri določanju razdalje med obravnavanimi geometrijskimi elementi je dokaz njihove vzporednosti (če ne, potem d=0). Paralelizem je enostavno dokazati, če izračunate skalarni produkt normale in vektorja smeri za premico. Če so obravnavani elementi vzporedni, bo ta produkt enak nič.
