Koti med ravninami. Kako določiti kot med ravninami

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-02 17:55

Pri reševanju geometrijskih problemov v prostoru se pogosto pojavljajo tisti, kjer je treba izračunati kote med različnimi prostorskimi objekti. V tem članku bomo obravnavali vprašanje iskanja kotov med ravninami in med njimi ter ravno črto.

Črta v prostoru

Znano je, da je absolutno vsako ravno črto v ravnini mogoče definirati z naslednjo enakostjo:

y=ax + b

Tukaj sta a in b nekaj številk. Če z enakim izrazom predstavljamo ravno črto v prostoru, potem dobimo ravnino, vzporedno z osjo z. Za matematično definicijo prostorske črte se uporablja drugačna metoda rešitve kot v dvodimenzionalnem primeru. Sestoji iz uporabe koncepta "vektorja smeri".

Usmerjevalni vektor ravne črte kaže njeno orientacijo v prostoru. Ta parameter pripada vrstici. Ker obstaja neskončna množica vektorjev, vzporednih v prostoru, je za enolično določitev obravnavanega geometrijskega predmeta potrebno poznati tudi koordinate točke, ki mu pripada.

Predpostavimo, da obstajatočka P(x₀; y₀; z_{0) in vektor smeri v¯(a; b; c), potem lahko enačbo ravne črte podamo na naslednji način:}

(x; y; z)=P + αv¯ ali

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Ta izraz se imenuje parametrična vektorska enačba ravne črte. Koeficient α je parameter, ki lahko sprejme absolutno vse realne vrednosti. Koordinate premice lahko eksplicitno predstavimo z razširitvijo te enakosti:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

enačba ravnine

Obstaja več oblik zapisa enačbe za ravnino v prostoru. Tukaj bomo obravnavali enega od njih, ki se najpogosteje uporablja pri izračunu kotov med dvema ravninama ali med eno od njih in ravno črto.

Če je znan vektor n¯(A; B; C), ki je pravokoten na želeno ravnino, in točka P(x₀; y ₀; z_{0), ki ji pripada, potem je splošna enačba za slednjo:}

Ax + By + Cz + D=0, kjer je D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Izpustili smo izpeljavo tega izraza, ki je precej preprost. Tukaj le opozorimo, da ob poznavanju koeficientov spremenljivk v enačbi ravnine zlahka najdemo vse vektorje, ki so pravokotni nanjo. Slednje imenujemo normale in se uporabljajo pri izračunu kotov med nagnjeno in ravnino ter medpoljubni analogi.

Lokacija ravnin in formula za kot med njima

Recimo, da sta dve ravnini. Kakšne so možnosti za njihov relativni položaj v prostoru. Ker ima ravnina dve neskončni dimenziji in eno nič, sta možni le dve možnosti za njuno medsebojno orientacijo:

bosta vzporedna drug z drugim;
lahko se prekrivajo.

Kot med ravninama je indeks med njihovimi vektorji smeri, to je med njunima normalama n₁¯ in n_2¯.

Očitno je, če sta vzporedna z ravnino, potem je presečni kot med njima enak nič. Če se sekata, potem ni nič, a vedno ostra. Poseben primer presečišča bo kot 90o, ko sta ravnini medsebojno pravokotni.

Kot α med n₁¯ in n_{2¯ je enostavno določiti iz skalarnega produkta teh vektorjev. To pomeni, da se zgodi formula:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Predpostavimo, da so koordinate teh vektorjev: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Nato z uporabo formul za izračun skalarnega produkta in modulov vektorjev prek njihovih koordinat lahko zgornji izraz prepišemo kot:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modul v števcu se je pojavil, ker je izključil vrednosti topih kotov.

Primeri reševanja nalog za določanje kota presečišča ravnin

Ko vemo, kako najti kot med ravninama, bomo rešili naslednji problem. Podani sta dve ravnini, katerih enačbe so:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Kolikšen je kot med ravninama?

Za odgovor na vprašanje problema se spomnimo, da so koeficienti spremenljivk v splošni enačbi ravnine koordinate vodilnega vektorja. Za navedene ravnine imamo naslednje koordinate njihovih normal:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Sedaj najdemo skalarni produkt teh vektorjev in njihovih modulov, imamo:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Zdaj lahko najdene številke nadomestite s formulo, podano v prejšnjem odstavku. Dobimo:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Dobljena vrednost ustreza ostremu kotu preseka ravnin, določenih v pogojunaloge.

Zdaj razmislite o drugem primeru. Glede na dve ravnini:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Ali se križajo? Zapišimo vrednosti koordinat njihovih smernih vektorjev, izračunajmo njihov skalarni produkt in module:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Potem je kot presečišča:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Ta kot označuje, da se ravnine ne sekata, ampak sta vzporedni. Dejstvo, da se med seboj ne ujemajo, je enostavno preveriti. Vzemimo za to poljubno točko, ki pripada prvi od njih, na primer P(0; 3; 2). Njegove koordinate nadomestimo v drugo enačbo, dobimo:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

To pomeni, da točka P pripada samo prvi ravnini.

Torej sta dve ravnini vzporedni, ko sta njuni normali.

Ravna in ravna črta

V primeru upoštevanja relativne lege med ravnino in ravno črto obstaja več možnosti kot pri dveh ravninah. To dejstvo je povezano z dejstvom, da je ravna črta enodimenzionalen objekt. Premica in ravnina sta lahko:

medsebojno vzporedni, v tem primeru ravnina ne seka premice;
slednja lahko pripada ravnini, hkrati pa bo z njo vzporedna;
oba predmeta lahkosekajo pod nekim kotom.

Najprej razmislimo o zadnjem primeru, saj zahteva uvedbo koncepta presečnega kota.

Premica in ravnina, kot med njima

Če ravna črta seka ravnino, se imenuje nagnjena glede nanjo. Točka presečišča se imenuje osnova pobočja. Za določitev kota med temi geometrijskimi predmeti je treba s katere koli točke spustiti ravno pravokotno na ravnino. Nato točka presečišča navpičnice z ravnino in mesto presečišča nagnjene črte z njo tvorita ravno črto. Slednje se imenuje projekcija prvotne črte na obravnavano ravnino. Ostri kot med črto in njeno projekcijo je zahtevan.

Nekoliko zmedena definicija kota med ravnino in poševnico bo razjasnila spodnjo sliko.

Tukaj je kot ABO kot med premico AB in ravnino a.

Če želite zapisati formulo za to, upoštevajte primer. Naj obstajata ravna črta in ravnina, ki sta opisani z enačbami:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Želeni kot za te objekte je enostavno izračunati, če najdete skalarni produkt med vektorjema smeri premice in ravnine. Nastali akutni kot je treba odšteti od 90o, nato pa ga dobimo med ravno črto in ravnino.

Zgornja slika prikazuje opisani algoritem za iskanjeupoštevan kot. Tukaj je β kot med normalo in premico, α pa med premico in njeno projekcijo na ravnino. Vidi se, da je njihova vsota 90o.

Zgoraj je bila predstavljena formula, ki odgovarja na vprašanje, kako najti kot med ravninama. Zdaj podamo ustrezen izraz za primer ravne črte in ravnine:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modul v formuli omogoča izračun samo ostrih kotov. Funkcija arcsinusa se je pojavila namesto arkkosinusa zaradi uporabe ustrezne redukcijske formule med trigonometričnimi funkcijami (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problem: ravnina seka ravno črto

Zdaj pokažimo, kako delati z zgornjo formulo. Rešimo problem: treba je izračunati kot med osjo y in ravnino, ki jo poda enačba:

y - z + 12=0

To letalo je prikazano na sliki.

Vidite, da seka osi y in z v točkah (0; -12; 0) oziroma (0; 0; 12) in je vzporedna z osjo x.

Vektor smeri premice y ima koordinate (0; 1; 0). Za vektor, pravokoten na dano ravnino, so značilne koordinate (0; 1; -1). Uporabimo formulo za kot presečišča premice in ravnine, dobimo:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problem: ravna črta, vzporedna z ravnino

Sedaj se odločimopodobno kot prejšnji problem, katerega vprašanje je zastavljeno drugače. Znane so enačbe ravnine in premice:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Ugotoviti je treba, ali so ti geometrijski objekti vzporedni drug z drugim.

Imamo dva vektorja: smer premice je (0; 2; 2) in smer ravnine je (1; 1; -1). Poiščite njihov pikčasti produkt:

01 + 12 - 12=0

Nastala ničla pomeni, da je kot med tema vektorjema 90o, kar dokazuje, da sta premica in ravnina vzporedni.

Sedaj preverimo, ali je ta premica samo vzporedna ali leži tudi v ravnini. Če želite to narediti, izberite poljubno točko na črti in preverite, ali pripada ravnini. Na primer, vzemimo λ=0, potem točka P(1; 0; 0) pripada premici. Nadomestite v enačbo ravnine P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Točka P ne pripada ravnini, kar pomeni, da tudi cela premica ne leži v njej.

Kje je pomembno vedeti kote med obravnavanimi geometrijskimi predmeti?

Zgornje formule in primeri reševanja problemov niso le teoretični interes. Pogosto se uporabljajo za določanje pomembnih fizikalnih količin resničnih tridimenzionalnih figur, kot so prizme ali piramide. Pomembno je, da znamo določiti kot med ravninama pri izračunu prostornine figur in površin njihovih površin. Poleg tega, če v primeru ravne prizme ni mogoče uporabiti teh formul za določanjedoločene vrednosti, potem je za katero koli vrsto piramid njihova uporaba neizogibna.

Spodaj razmislite o primeru uporabe zgornje teorije za določanje kotov piramide s kvadratno osnovo.

Piramida in njeni vogali

Spodnja slika prikazuje piramido, na dnu katere leži kvadrat s stranico a. Višina figure je h. Najti morate dva vogala:

med stransko površino in podlago;
med stranskim rebrom in osnovo.

Za rešitev problema morate najprej vnesti koordinatni sistem in določiti parametre ustreznih vozlišč. Slika prikazuje, da izvor koordinat sovpada s točko v središču kvadratne osnove. V tem primeru je osnovna ravnina opisana z enačbo:

z=0

To pomeni, da je za kateri koli x in y vrednost tretje koordinate vedno nič. Bočna ravnina ABC seka os z v točki B(0; 0; h), os y pa v točki s koordinatami (0; a/2; 0). Ne prečka osi x. To pomeni, da lahko enačbo ravnine ABC zapišemo kot: