Ena od pogostih težav v stereometriji so naloge prečkanja ravnih črt in ravnin ter izračunavanje kotov med njimi. Oglejmo si v tem članku podrobneje tako imenovano koordinatno metodo in kote med premico in ravnino.
Črta in ravnina v geometriji
Preden razmislite o koordinatni metodi in kotu med črto in ravnino, se morate seznaniti z imenovanimi geometrijskimi predmeti.
Premica je takšna zbirka točk v prostoru ali na ravnini, od katerih je vsako mogoče dobiti z linearnim prenosom prejšnje na določen vektor. V nadaljevanju ta vektor označujemo s simbolom u¯. Če ta vektor pomnožimo s katerim koli številom, ki ni enako nič, dobimo vektor, vzporeden z u¯. Črta je linearen neskončen predmet.
Ravnina je tudi zbirka točk, ki se nahajajo tako, da če iz njih sestavite poljubne vektorje, bodo vse pravokotne na nek vektor n¯. Slednje se imenuje normalno ali preprosto normalno. Ravnina je za razliko od ravne črte dvodimenzionalni neskončen objekt.
Koordinatna metoda za reševanje geometrijskih problemov
Na podlagi imena same metode lahko sklepamo, da govorimo o metodi za reševanje problemov, ki temelji na izvajanju analitičnih zaporednih izračunov. Z drugimi besedami, koordinatna metoda vam omogoča reševanje geometrijskih problemov z uporabo univerzalnih algebrskih orodij, od katerih so glavne enačbe.
Opozoriti je treba, da se je obravnavana metoda pojavila na zori sodobne geometrije in algebre. K njegovemu razvoju so veliko prispevali Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton in Leibniz v 17.-18. stoletju.
Bistvo metode je izračunati razdalje, kote, površine in prostornine geometrijskih elementov na podlagi koordinat znanih točk. Upoštevajte, da je oblika dobljenih končnih enačb odvisna od koordinatnega sistema. Najpogosteje se pri težavah uporablja pravokotni kartezijev sistem, saj je z njim najbolj priročno delati.
enačba
Upoštevanje koordinatne metode in kotov med premico in ravnino, začnimo z nastavitvijo enačbe premice. Obstaja več načinov za predstavitev črt v algebraični obliki. Tukaj upoštevamo samo vektorsko enačbo, saj jo je mogoče zlahka dobiti iz nje v kateri koli drugi obliki in z njo je enostavno delati.
Predpostavimo, da obstajata dve točki: P in Q. Znano je, da je mogoče skozi njih potegniti črto inbo edini. Ustrezna matematična predstavitev elementa izgleda takole:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Kjer je PQ¯ vektor, katerega koordinate so pridobljene na naslednji način:
PQ¯=Q - P.
Simbol λ označuje parameter, ki lahko sprejme popolnoma poljubno število.
V pisnem izrazu lahko spremenite smer vektorja, namesto točke P pa tudi zamenjate koordinate Q. Vse te transformacije ne bodo vodile do spremembe geometrijske lokacije črte.
Upoštevajte, da je pri reševanju problemov včasih potrebno predstaviti napisano vektorsko enačbo v eksplicitni (parametrični) obliki.
Nastavitev ravnine v vesolju
Tako kot za ravno črto obstaja tudi več oblik matematičnih enačb za ravnino. Med njimi opazimo vektor, enačbo v segmentih in splošno obliko. V tem članku bomo posebno pozorni na zadnji obrazec.
Splošno enačbo za poljubno ravnino lahko zapišemo na naslednji način:
Ax + By + Cz + D=0.
Latinske velike črke so določene številke, ki opredeljujejo ravnino.
Priročnost tega zapisa je, da eksplicitno vsebuje vektor, normalen na ravnino. Enako je:
n¯=(A, B, C).
Poznavanje tega vektorja omogoča, da si s kratkim pogledom na enačbo ravnine predstavljamo lokacijo slednje v koordinatnem sistemu.
Vzajemni dogovor vprostor črte in ravnine
V naslednjem odstavku članka bomo prešli na obravnavo koordinatne metode in kota med premico in ravnino. Tukaj bomo odgovorili na vprašanje, kako se obravnavani geometrijski elementi lahko nahajajo v prostoru. Obstajajo trije načini:
- Ravna črta seka ravnino. S koordinatno metodo lahko izračunate, v kateri posamezni točki se premica in ravnina sekata.
- Ravnina premice je vzporedna. V tem primeru sistem enačb geometrijskih elementov nima rešitve. Za dokaz vzporednosti se običajno uporablja lastnost skalarnega produkta usmerjevalnega vektorja premice in normale ravnine.
- Letalo vsebuje črto. Z reševanjem sistema enačb v tem primeru bomo prišli do zaključka, da za katero koli vrednost parametra λ dobimo pravilno enakost.
V drugem in tretjem primeru je kot med določenimi geometrijskimi predmeti enak nič. V prvem primeru leži med 0 in 90o.
Izračun kotov med črtami in ravninami
Pojdimo neposredno na temo članka. Vsako presečišče premice in ravnine se pojavi pod nekim kotom. Ta kot tvori sama ravna črta in njena projekcija na ravnino. Projekcijo lahko dobimo, če iz katere koli točke premice spustimo pravokotnico na ravnino, nato pa skozi dobljeno presečišče ravnine in pravokotnice ter točko presečišča ravnine in prvotne premice narišemo ravna črta, ki bo projekcija.
Izračunavanje kotov med črtami in ravninami ni težka naloga. Za njegovo rešitev je dovolj poznati enačbe ustreznih geometrijskih objektov. Recimo, da so te enačbe videti takole:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Želeni kot je enostavno najti s pomočjo lastnosti produkta skalarnih vektorjev u¯ in n¯. Končna formula izgleda takole:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Ta formula pravi, da je sinus kota med črto in ravnino enak razmerju med modulom skalarnega produkta označenih vektorjev in zmnožkom njihovih dolžin. Če želite razumeti, zakaj se je namesto kosinusa pojavil sinus, se obrnimo na spodnjo sliko.
Vidimo, da če uporabimo kosinusno funkcijo, bomo dobili kot med vektorjema u¯ in n¯. Želeni kot θ (α na sliki) dobimo na naslednji način:
θ=90o- β.
Sinus se pojavi kot rezultat uporabe redukcijskih formul.
Primer težave
Pojdimo na praktično uporabo pridobljenega znanja. Rešimo tipičen problem o kotu med ravno črto in ravnino. Podane so naslednje koordinate štirih točk:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Vemo, da skozi točke PQMskoznjo teče ravnina, skozi MN pa ravna črta. Z uporabo koordinatne metode je treba izračunati kot med ravnino in črto.
Najprej zapišimo enačbe premice in ravnine. Za ravno črto jo je enostavno sestaviti:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Da bi sestavili enačbo ravnine, najprej poiščemo normalo nanjo. Njegove koordinate so enake vektorskemu produktu dveh vektorjev, ki ležita v dani ravnini. Imamo:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Zdaj zamenjajmo koordinate katere koli točke, ki leži v njej, v enačbo splošne ravnine, da dobimo vrednost prostega izraza D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Ravninska enačba je:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Preostalo je uporabiti formulo za kot, ki nastane na presečišču premice in ravnine, da dobimo odgovor na problem. Imamo:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Na primeru te težave smo pokazali, kako uporabiti koordinatno metodo za reševanje geometrijskih problemov.
