Kvadrične enačbe se pogosto pojavljajo v številnih nalogah iz matematike in fizike, zato bi jih moral vsak učenec znati rešiti. Ta članek podrobno opisuje glavne metode za reševanje kvadratnih enačb in ponuja tudi primere njihove uporabe.
Katera enačba se imenuje kvadratna
Najprej bomo odgovorili na vprašanje tega odstavka, da bi bolje razumeli, o čem bo članek. Torej ima kvadratna enačba naslednjo splošno obliko: c + bx+ax2=0, kjer so a, b, c nekatera števila, ki se imenujejo koeficienti. Tukaj je a≠0 obvezen pogoj, sicer se navedena enačba izrodi v linearno. Preostali koeficienti (b, c) imajo lahko popolnoma vse vrednosti, vključno z nič. Tako izrazi, kot so ax2=0, kjer je b=0 in c=0, ali c+ax2=0, kjer je b=0 ali bx+ax2=0, kjer so c=0 tudi kvadratne enačbe, ki se imenujejo nepopolne, saj je bodisi linearni koeficient b v njih nič ali ničje prosti izraz c, ali pa oba izgineta.
Enčba, v kateri je a=1, se imenuje reducirana, to pomeni, da ima obliko: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Rešitev kvadratne enačbe je najti takšne vrednosti x, ki izpolnjujejo njeno enakost. Te vrednosti se imenujejo korenine. Ker je obravnavana enačba izraz druge stopnje, to pomeni, da največje število njenih korenov ne more preseči dveh.
Katere metode za reševanje kvadratnih enačb obstajajo
Na splošno obstajajo 4 metode rešitve. Njihova imena so navedena spodaj:
- faktoring.
- Dodatek k kvadratu.
- Uporaba znane formule (prek diskriminanta).
- Rešitvena metoda je geometrijska.
Kot lahko vidite iz zgornjega seznama, so prve tri metode algebraične, zato se uporabljajo pogosteje kot zadnja, ki vključuje risanje funkcije.
Obstaja še en način reševanja kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka. Lahko bi bil vključen na 5. mestu na zgornjem seznamu, vendar to ni storjeno, saj je Vietin izrek preprosta posledica 3. metode.
Pozneje v članku bomo podrobneje obravnavali imenovane metode reševanja in podali tudi primere njihove uporabe za iskanje korenin določenih enačb.
Metoda 1. Faktoring
Za to metodo v matematiki kvadratnih enačb obstaja čudovitaime: faktorizacija. Bistvo te metode je naslednje: kvadratno enačbo je treba predstaviti kot produkt dveh členov (izrazov), ki morata biti enaka nič. Po takšni predstavitvi lahko uporabite lastnost produkta, ki bo enaka nič le, če je eden ali več (vseh) njegovih članov nič.
Sedaj razmislite o zaporedju določenih dejanj, ki jih je treba izvesti, da najdete korenine enačbe:
- Premakni vse člane v en del izraza (na primer v levo), tako da v drugem delu izraza (desno) ostane samo 0.
- Predstavi vsoto členov v enem delu enačbe kot zmnožek dveh linearnih enačb.
- Nastavite vsak linearni izraz na nič in jih rešite.
Kot vidite, je algoritem faktorizacije precej preprost, vendar ima večina študentov težave pri izvajanju 2. točke, zato ga bomo podrobneje razložili.
Če želite uganiti, katera 2 linearna izraza, pomnožena drug z drugim, bosta dala želeno kvadratno enačbo, se morate spomniti dveh preprostih pravil:
- Linearni koeficienti dveh linearnih izrazov, pomnoženi drug z drugim, bi morali dati prvi koeficient kvadratne enačbe, to je število a.
- Prosti izrazi linearnih izrazov, ko jih pomnožimo, bi morali dati številko c želene enačbe.
Ko so izbrana vsa števila faktorjev, jih je treba pomnožiti in če dajo želeno enačbo, pojdite na korak 3 vzgornji algoritem, sicer bi morali spremeniti množitelje, vendar morate to storiti, da se zgornja pravila vedno upoštevajo.
Primer rešitve z metodo faktorizacije
Pokažimo jasno, kako je algoritem za reševanje kvadratne enačbe sestaviti in poiskati neznane korenine. Naj bo podan poljuben izraz, na primer 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Pojdimo na njegovo rešitev, pri čemer upoštevamo zaporedje točk od 1 do 3, ki so določene v prejšnjem odstavku članka.
Predmet 1. Premaknite vse člene na levo stran in jih razporedite v klasično zaporedje za kvadratno enačbo. Imamo naslednjo enakost: 2x+(-8)+x2=0.
Točka 2. Razdelimo ga na produkt linearnih enačb. Ker je a=1 in c=-8, bomo izbrali na primer tak produkt (x-2)(x+4). Zadovoljuje pravila za iskanje pričakovanih dejavnikov iz zgornjega odstavka. Če odpremo oklepaje, dobimo: -8+2x+x2, torej dobimo popolnoma enak izraz kot na levi strani enačbe. To pomeni, da smo množitelje pravilno uganili in lahko nadaljujemo s 3. korakom algoritma.
Postavka 3. Vsak faktor izenačimo z nič, dobimo: x=-4 in x=2.
Če obstajajo dvomi o rezultatu, je priporočljivo preveriti tako, da najdene korene nadomestite v izvirno enačbo. V tem primeru imamo: 22+22-8=0 in 2(-4)+(-4)2 -8=0. Korenine so bile najdene pravilno.
Tako smo z metodo faktorizacije ugotovili, da ima dana enačba dva različna korenaima: 2 in -4.
Metoda 2. Dopolnitev celotnega kvadrata
V algebri kvadratnih enačb metode množitelja ni mogoče vedno uporabiti, saj se v primeru ulomnih vrednosti koeficientov kvadratne enačbe pojavijo težave pri izvajanju 2. odstavka algoritma.
Metoda polnih kvadratov je univerzalna in jo je mogoče uporabiti za kvadratne enačbe katere koli vrste. Njegovo bistvo je izvajanje naslednjih operacij:
- Izraze enačbe, ki vsebuje koeficienta a in b, je treba prenesti v en del enačbe, prosti člen c pa v drugega.
- Nato je treba dele enakosti (desno in levo) deliti s koeficientom a, torej predstaviti enačbo v zmanjšani obliki (a=1).
- Seštejte člene s koeficientoma a in b, da jih predstavite kot kvadrat linearne enačbe. Ker je \u003d 1, bo linearni koeficient enak 1, kot za prosti člen linearne enačbe, mora biti enak polovici linearnega koeficienta reducirane kvadratne enačbe. Ko je kvadrat linearnega izraza sestavljen, je treba na desno stran enakosti, kjer se nahaja prosti člen, dodati ustrezno število, ki ga dobimo s širitvijo kvadrata.
- Vzemite kvadratni koren z znakoma "+" in "-" in rešite že pridobljeno linearno enačbo.
Opisani algoritem se na prvi pogled morda zdi precej zapleten, vendar je v praksi lažji za izvedbo kot metoda faktorizacije.
Primer rešitve z uporabo polnega kvadratnega komplementa
Dajmo primer kvadratne enačbe za usposabljanje njene rešitve po metodi, opisani v prejšnjem odstavku. Naj bo podana kvadratna enačba -10 - 6x+5x2=0. Začnemo jo reševati po zgoraj opisanem algoritmu.
Postavka 1. Pri reševanju kvadratnih enačb uporabljamo metodo prenosa, dobimo: - 6x+5x2=10.
Točka 2. Zmanjšano obliko te enačbe dobimo tako, da se vsak njen člen deli s številom 5 (če oba dela delimo ali pomnožimo z istim številom, bo enakost ohranjena). Kot rezultat transformacij dobimo: x2 - 6/5x=2.
Temelj 3. Polovica koeficienta - 6/5 je -6/10=-3/5, uporabite to številko, da dokončate kvadrat, dobimo: (-3/5+x) 2 . Razširimo ga in nastali prosti člen je treba odšteti od leve strani enačbe, da zadovoljimo prvotno obliko kvadratne enačbe, ki je enakovredna dodajanju na desno stran. Kot rezultat dobimo: (-3/5+x)2=59/25.
Postavka 4. Izračunajte kvadratni koren s pozitivnimi in negativnimi predznaki in poiščite korene: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dve najdeni koreni imata naslednje vrednosti: x1=(√59+3)/5 in x1=(3-√59)/5.
Ker so izvedeni izračuni povezani s koreninami, obstaja velika verjetnost, da se naredi napaka. Zato je priporočljivo preveriti pravilnost korenov x2 in x1. Dobimo za x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Nadomestite zdajx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Tako smo pokazali, da so najdene korenine enačbe resnične.
Metoda 3. Uporaba dobro znane formule
Ta metoda reševanja kvadratnih enačb je morda najpreprostejša, saj sestoji iz zamenjave koeficientov v znano formulo. Če ga želite uporabiti, vam ni treba razmišljati o sestavljanju algoritmov rešitev, dovolj je, da se spomnite samo ene formule. To je prikazano na zgornji sliki.
V tej formuli se radikalni izraz (b2-4ac) imenuje diskriminant (D). Od njegove vrednosti je odvisno, kakšne korenine dobimo. Obstajajo 3 primeri:
- D>0, potem ima korenska dva enačba dejanske in različne.
- D=0, potem dobimo koren, ki ga lahko izračunamo iz izraza x=-b/(a2).
- D<0, potem dobite dva različna namišljena korena, ki sta predstavljena kot kompleksna števila. Na primer, število 3-5i je kompleksno, medtem ko imaginarna enota i izpolnjuje lastnost: i2=-1.
Primer rešitve z izračunom diskriminanta
Dajmo primer kvadratne enačbe za vadbo z uporabo zgornje formule. Poiščite korene za -3x2-6+3x+4x=0. Najprej izračunajte vrednost diskriminante, dobimo: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Ker dobimo D<0, to pomeni, da so korenine obravnavane enačbe kompleksna števila. Poiščimo jih tako, da najdeno vrednost D nadomestimo s formulo, podano v prejšnjem odstavku (prikazano je tudi na zgornji fotografiji). Dobimo: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metoda 4. Uporaba grafa funkcij
Imenuje se tudi grafična metoda za reševanje kvadratnih enačb. Povedati je treba, da se praviloma ne uporablja za kvantitativno, ampak za kvalitativno analizo obravnavane enačbe.
Bistvo metode je narisati kvadratno funkcijo y=f(x), ki je parabola. Nato je treba določiti, v katerih točkah parabola seka os x (X), bodo korenine ustrezne enačbe.
Da bi ugotovili, ali bo parabola sekala os X, je dovolj, da poznamo položaj njenega minimuma (maksimuma) in smer njenih vej (lahko se povečajo ali zmanjšajo). Zapomniti si je treba dve lastnosti te krivulje:
- Če a>0 - parabole veje so usmerjene navzgor, nasprotno, če a<0, potem gredo navzdol.
- Najmanjša (največja) koordinata parabole je vedno x=-b/(2a).
Na primer, morate ugotoviti, ali ima enačba -4x+5x2+10=0. Ustrezna parabola bo usmerjena navzgor, saj=5>0. Njegov ekstrem ima koordinate: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Ker minimum krivulje leži nad osjo x (y=9, 2), potem slednje ne seka za nobenox vrednosti. To pomeni, da podana enačba nima pravih korenin.
Vietin izrek
Kot je navedeno zgoraj, je ta izrek posledica metode št. 3, ki temelji na uporabi formule z diskriminanto. Bistvo Vietovega izreka je, da vam omogoča, da povežete koeficiente enačbe in njene korenine v enakost. Dobimo ustrezne enakosti.
Uporabimo formulo za izračun korenin skozi diskriminanto. Če dodamo dva korena, dobimo: x1+x2=-b/a. Zdaj pa pomnožimo korenine drug z drugim: x1x2, po vrsti poenostavitev dobimo številko c/a.
Tako lahko za reševanje kvadratnih enačb po Vietinem izreku uporabite dobljeni dve enakosti. Če so znani vsi trije koeficienti enačbe, lahko korenine najdemo z reševanjem ustreznega sistema teh dveh enačb.
Primer uporabe Vietinega izreka
Kvadratno enačbo morate napisati, če veste, da ima obliko x2+c=-bx in da sta njeni koreni 3 in -4.
Ker je a=1 v obravnavani enačbi, bodo formule Vieta videti takole: x2+x1=-b in x2x1=str. Če nadomestimo znane vrednosti korenin, dobimo: b=1 in c=-12. Kot rezultat, bo obnovljena kvadratna reducirana enačba videti takole: x2-12=-1x. Vanj lahko nadomestite vrednost korenin in se prepričate, da velja enakost.
Obratna uporaba Vietinega izreka, to je izračun korenin zznana oblika enačbe omogoča majhnim celim številom a, b in c za hitro (intuitivno) iskanje rešitev.
