Formula za povprečno kvadratno hitrost molekul idealnega plina. Primer naloge

2024 Avtor: Angel Austin | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-17 05:41

Molekularno-kinetična teorija omogoča, da z analizo mikroskopskega obnašanja sistema in z uporabo metod statistične mehanike pridobimo pomembne makroskopske značilnosti termodinamičnega sistema. Ena od mikroskopskih značilnosti, ki je povezana s temperaturo sistema, je povprečna kvadratna hitrost molekul plina. Zanj podajamo formulo in jo upoštevamo v članku.

Idealni plin

Takoj ugotavljamo, da bo formula za kvadratno povprečno hitrost molekul plina podana posebej za idealen plin. Pod njim se v fiziki obravnava takšen sistem z več delci, v katerem delci (atomi, molekule) med seboj ne delujejo (njihova kinetična energija presega potencialno energijo interakcije za več vrst velikosti) in nimajo dimenzij, to pomeni, da so točke s končno maso (razdalja med delci, ki je nekaj vrst velikosti večja od njihove velikosti.linearna).

Vsak plin, ki je sestavljen iz kemično nevtralnih molekul ali atomov in je pod nizkim tlakom in ima visoko temperaturo, se lahko šteje za idealnega. Na primer, zrak je idealen plin, vendar vodna para ni več taka (med molekulami vode delujejo močne vodikove vezi).

Molekularno kinetična teorija (MKT)

Pri preučevanju idealnega plina v okviru MKT bodite pozorni na dva pomembna procesa:

1. Plin ustvarja pritisk tako, da na stene posode, ki ga vsebuje, prenese zagon, ko molekule in atomi trčijo vanje. Takšni trki so popolnoma elastični.
2. Molekule in atomi plina se gibljejo naključno v vse smeri z različnimi hitrostmi, katerih porazdelitev je podrejena Maxwell-Boltzmannovi statistiki. Verjetnost trka med delci je izjemno nizka zaradi njihove zanemarljive velikosti in velikih razdalj med njimi.

Kljub temu, da so posamezne hitrosti plinskih delcev med seboj zelo različne, povprečna vrednost te vrednosti ostane konstantna skozi čas, če na sistem ni zunanjih vplivov. Formulo za srednjo kvadratno hitrost molekul plina lahko dobimo z upoštevanjem razmerja med kinetično energijo in temperaturo. To vprašanje bomo obravnavali v naslednjem odstavku članka.

Izpeljava formule za kvadratno povprečno hitrost molekul idealnega plina

Vsak študent iz splošnega predmeta fizike ve, da se kinetična energija translacijskega gibanja telesa z maso m izračuna na naslednji način:

E_k=mv²/2

Kjer je v linearna hitrost. Po drugi strani pa lahko kinetično energijo delca določimo tudi glede na absolutno temperaturo T z uporabo pretvorbenega faktorja k_B (Boltzmannova konstanta). Ker je naš prostor tridimenzionalen, se E_k izračuna na naslednji način:

E_k=3/2k_BT.

Ekvivalentno obema enačbama in iz njih izrazimo v, dobimo formulo za povprečno hitrost kvadratnega idealnega plina:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

V tej formuli je m - masa plinskega delca. Njeno vrednost je neprimerno uporabljati v praktičnih izračunih, saj je majhna (≈ 10^-27kg). Da bi se izognili tej neprijetnosti, se spomnimo univerzalne plinske konstante R in molske mase M. Konstanta R s k_B je povezana z enakostjo:

k_B=R/N_A.

Vrednost M je definirana na naslednji način:

M=mN_A.

Ob upoštevanju obeh enakosti dobimo naslednji izraz za povprečno kvadratno hitrost molekul:

v=√(3RT/M).

Tako je povprečna kvadratna hitrost plinskih delcev neposredno sorazmerna s kvadratnim korenom absolutne temperature in obratno sorazmerna s kvadratnim korenom molske mase.

Primer reševanja problemov

Vsi vedo, da je zrak, ki ga dihamo, 99 % dušika in kisika. Treba je določiti razlike v povprečnih hitrostih molekul N₂ in O₂ pri temperaturi 15 ^o C.

Ta težava bo rešena zaporedno. Najprej prevedemo temperaturo v absolutne enote, imamo:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Zdaj napišite molsko maso za vsako obravnavano molekulo:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Ker se vrednosti molskih mas nekoliko razlikujejo, bi morale biti tudi njihove povprečne hitrosti pri isti temperaturi blizu. Z uporabo formule za v dobimo naslednje vrednosti za molekule dušika in kisika:

v (N₂)=√(38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√(38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Ker so molekule dušika nekoliko lažje od molekul kisika, se premikajo hitreje. Povprečna razlika v hitrosti je:

v (N₂) - v (O₂)=506,6 - 473,9=32,7 m/s.

Nastala vrednost je le 6,5 % povprečne hitrosti molekul dušika. Opozarjamo na visoke hitrosti molekul v plinih, tudi pri nizkih temperaturah.