Kaj so iracionalna števila? Zakaj se tako imenujejo? Kje se uporabljajo in kaj so? Le malokdo zna odgovoriti na ta vprašanja brez obotavljanja. Toda v resnici so odgovori nanje precej preprosti, čeprav jih ne potrebujejo vsi in v zelo redkih primerih
Bistvo in poimenovanje
Iracionalna števila so neskončni neperiodični decimalni ulomki. Potreba po uvedbi tega koncepta je posledica dejstva, da prej obstoječi koncepti realnih ali realnih, celih, naravnih in racionalnih števil niso bili več dovolj za reševanje novih nastajajočih problemov. Na primer, če želite izračunati kvadrat 2, morate uporabiti neponavljajoče se neskončne decimalke. Poleg tega številne najpreprostejše enačbe nimajo rešitve brez uvedbe koncepta iracionalnega števila.
Ta niz je označen kot I. In, kot je že jasno, teh vrednosti ni mogoče predstaviti kot preprost ulomek, v števcu katerega bo celo število, v imenovalcu pa naravno število.
Prvič doslejsicer pa so se indijski matematiki s tem pojavom srečali v 7. stoletju pred našim štetjem, ko je bilo odkrito, da kvadratnih korenov nekaterih veličin ni mogoče izrecno navesti. In prvi dokaz obstoja takšnih številk pripisujejo Pitagorejcu Hipasu, ki je to storil v procesu preučevanja enakokrakega pravokotnega trikotnika. K preučevanju tega sklopa so resno prispevali nekateri drugi znanstveniki, ki so živeli pred našo dobo. Uvedba koncepta iracionalnih števil je povzročila revizijo obstoječega matematičnega sistema, zato so tako pomembna.
Izvor imena
Če razmerje v latinščini pomeni "ulomek", "razmerje", potem predpona "ir"
daje tej besedi nasproten pomen. Tako ime množice teh številk kaže, da jih ni mogoče povezati s celim ali ulomkom, imajo ločeno mesto. To izhaja iz njihovega bistva.
Mesto v skupni razvrstitvi
Iracionalna števila skupaj z racionalnimi števili spadajo v skupino realnih ali realnih števil, ki pa spadajo v kompleksna števila. Ni podmnožic, vendar obstajajo algebraične in transcendentalne sorte, o katerih bomo razpravljali spodaj.
Lastnosti
Ker so iracionalna števila del množice realnih števil, zanje veljajo vse njihove lastnosti, ki jih preučujemo v aritmetiki (imenujemo jih tudi osnovni algebraični zakoni).
a + b=b + a (komutativnost);
(a + b) + c=a + (b + c)(asociativnost);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (obstoj nasprotnega števila);
ab=ba (zakon o premiku);
(ab)c=a(bc) (distributivnost);
a(b+c)=ab + ac (distributivni zakon);
a x 1=a
a x 1/a=1 (obstoj inverznega števila);
Primerjava se izvaja tudi v skladu s splošnimi zakoni in načeli:
Če je a > b in b > c, potem > c (prehodnost razmerja) in. itd.
Seveda je mogoče vsa iracionalna števila pretvoriti z uporabo osnovne aritmetike. Za to ni posebnih pravil.
Poleg tega Arhimedov aksiom velja za iracionalna števila. Pravi, da je za kateri koli dve količini a in b resnična trditev, da lahko s tem, ko vzamete a kot izraz dovolj krat, presežete b.
Uporabi
Kljub temu, da se v običajnem življenju z njimi ni treba pogosto soočiti, iracionalnih številk ni mogoče prešteti. Veliko jih je, a so skoraj nevidni. Povsod smo obkroženi z iracionalnimi številkami. Primeri, ki jih poznajo vsi, so število pi, enako 3, 1415926 … ali e, ki je v bistvu osnova naravnega logaritma, 2, 718281828 … V algebri, trigonometriji in geometriji jih je treba nenehno uporabljati. Mimogrede, znana vrednost "zlatega reza", to je razmerje med večjim delom in manjšim in obratno, je tudi
sodi v ta niz. Tudi manj znano "srebro".
Na številski premici se nahajajo zelo gosto, tako da se med katerima koli dvema vrednostima, povezanima z nizom racionalnih, zagotovo pojavi iracionalna.
Še vedno je veliko nerešenih problemov, povezanih s tem kompletom. Obstajajo merila, kot sta mera iracionalnosti in normalnost števila. Matematiki še naprej preučujejo najpomembnejše primere njihove pripadnosti eni ali drugi skupini. Na primer, verjame se, da je e normalno število, to pomeni, da je verjetnost, da se v njegovem zapisu pojavijo različne številke, enaka. Kar zadeva pi, raziskave o tem še potekajo. Meri iracionalnosti pravimo tudi vrednost, ki kaže, kako dobro je mogoče to ali ono število približati z racionalnimi številkami.
Algebraično in transcendentalno
Kot že omenjeno, se iracionalna števila pogojno delijo na algebraična in transcendentna. Pogojno, saj se, strogo gledano, ta klasifikacija uporablja za deljenje množice C.
Ta oznaka skriva kompleksna števila, ki vključujejo realna ali realna števila.
Torej, algebraična vrednost je vrednost, ki je koren polinoma, ki ni identično enak nič. Na primer, kvadratni koren iz 2 bi bil v tej kategoriji, ker je rešitev enačbe x2 - 2=0.
Vsa druga realna števila, ki ne izpolnjujejo tega pogoja, se imenujejo transcendentna. Za to sortovključujejo najbolj znane in že omenjene primere - število pi in osnovo naravnega logaritma e.
Zanimivo je, da ne enega ne drugega matematiki prvotno niso izpeljali v tej vlogi, njihova iracionalnost in transcendenca sta bili dokazani mnogo let po odkritju. Za pi je bil dokaz podan leta 1882 in poenostavljen leta 1894, kar je končalo 2500-letno polemiko o problemu kvadrature kroga. Še vedno ni povsem razumljeno, zato imajo sodobni matematiki nekaj za delati. Mimogrede, prvi dovolj natančen izračun te vrednosti je izvedel Arhimed. Pred njim so bili vsi izračuni preveč približni.
Za e (števila Euler ali Napier) je bil leta 1873 ugotovljen dokaz o njegovi transcendenčnosti. Uporablja se pri reševanju logaritmičnih enačb.
Drugi primeri vključujejo vrednosti sinusa, kosinusa in tangente za vse algebraične vrednosti, ki niso nič.
