Nekatere matematične težave zahtevajo sposobnost izračuna kvadratnega korena. Ti problemi vključujejo reševanje enačb drugega reda. V tem članku predstavljamo učinkovito metodo za izračun kvadratnih korenin in jo uporabljamo pri delu s formulami za korenine kvadratne enačbe.
Kaj je kvadratni koren?
V matematiki ta koncept ustreza simbolu √. Zgodovinski podatki pravijo, da se je začela prvič uporabljati okoli prve polovice 16. stoletja v Nemčiji (prvo nemško delo o algebri Christopha Rudolfa). Znanstveniki verjamejo, da je ta simbol preoblikovana latinska črka r (radix pomeni "koren" v latinščini).
Koren katerega koli števila je enak takšni vrednosti, katere kvadrat ustreza korenskemu izrazu. V jeziku matematike bo ta definicija videti takole: √x=y, če y2=x.
Koren pozitivnega števila (x > 0) je prav takopozitivno število (y > 0), če pa je koren vzet iz negativnega števila (x < 0), bo njegov rezultat že kompleksno število, vključno z namišljeno enoto i.
Tu sta dva preprosta primera:
√9=3, ker je 32 =9; √(-9)=3i, ker i2=-1.
Heronova iterativna formula za iskanje kvadratnih korenin
Zgornji primeri so zelo preprosti in izračunavanje korenin v njih ni težko. Težave se začnejo pojavljati že pri iskanju korenskih vrednosti za katero koli vrednost, ki je ni mogoče predstaviti kot kvadrat naravnega števila, na primer √10, √11, √12, √13, da ne omenjam dejstva, da je v praksi je potrebno najti korenine za necela števila: na primer √(12, 15), √(8, 5) in tako naprej.
V vseh zgornjih primerih je treba uporabiti posebno metodo za izračun kvadratnega korena. Trenutno je znanih več takih metod: na primer razširitev v nizu Taylor, deljenje s stolpcem in nekatere druge. Od vseh znanih metod je morda najenostavnejša in najučinkovitejša uporaba Heronove iterativne formule, ki je znana tudi kot babilonska metoda za določanje kvadratnih korenin (obstajajo dokazi, da so jo stari Babilonci uporabljali pri svojih praktičnih izračunih).
Naj je treba določiti vrednost √x. Formula za iskanje kvadratnega korena je naslednja:
an+1=1/2(a+x/a), kjer je limn->∞(a)=> x.
Dešifriraj ta matematični zapis. Za izračun √x morate vzeti neko število a0 (lahko je poljubno, vendar za hiter rezultat izberite tako, da (a0) 2 je bilo čim bližje x, nato ga nadomestite z določeno formulo kvadratnega korena in dobite novo število a1, ki bo že biti bližje želeni vrednosti. V izraz je treba nadomestiti 1 in dobiti 2 Ta postopek je treba ponavljati, dokler ne dosežemo zahtevane natančnosti.
Primer uporabe Heronove iterativne formule
Zgoraj opisani algoritem za pridobivanje kvadratnega korena nekega danega števila se morda za mnoge sliši precej zapleteno in zmedeno, v resnici pa se vse izkaže za veliko preprostejše, saj se ta formula zelo hitro zbliža (še posebej, če je srečna številka je izbran a0).
Vzemimo preprost primer: izračunati moramo √11. Izberemo a0=3, saj je 32=9, kar je bližje 11 kot 42=16. Če v formulo nadomestimo, dobimo:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nima smisla nadaljevati z izračuni, saj smo dobili, da se a2 in a3 začneta razlikovati le v 5. decimalki mesto. Tako je bilo dovolj, da nanesete samo 2-krat formuloizračunaj √11 na 0,0001.
Trenutno se za izračun korenin pogosto uporabljajo kalkulatorji in računalniki, vendar si je koristno zapomniti označeno formulo, da lahko ročno izračunamo njihovo natančno vrednost.
enačbe drugega reda
Razumevanje, kaj je kvadratni koren in sposobnost izračuna, se uporablja pri reševanju kvadratnih enačb. Te enačbe so enakosti z eno neznano, katere splošna oblika je prikazana na spodnji sliki.
Tukaj so c, b in a nekaj številk in a ne sme biti enaka nič, vrednosti c in b pa sta lahko popolnoma poljubni, vključno z ničlo.
Vse vrednosti x, ki izpolnjujejo enakost, prikazano na sliki, se imenujejo njene korenine (tega koncepta ne smemo zamenjevati s kvadratnim korenom √). Ker ima obravnavana enačba 2. red (x2), potem za njene korene ne moreta biti več kot dve številki. Oglejmo si, kako najti te korenine kasneje v članku.
Iskanje korenin kvadratne enačbe (formule)
Ta način reševanja obravnavane vrste enakosti se imenuje tudi univerzalna ali metoda preko diskriminanta. Lahko se uporabi za katero koli kvadratno enačbo. Formula za diskriminanto in korenine kvadratne enačbe je naslednja:
Kaže, da so koreni odvisni od vrednosti vsakega od treh koeficientov enačbe. Poleg tega izračunx1 se od izračuna x2 razlikuje le po znaku pred kvadratnim korenom. Radikalni izraz, ki je enak b2 - 4ac, ni nič drugega kot diskriminanta obravnavane enakosti. Diskriminanta v formuli za korenine kvadratne enačbe igra pomembno vlogo, saj določa število in vrsto rešitev. Torej, če je nič, bo obstajala samo ena rešitev, če je pozitivna, potem ima enačba dve realni koreni, končno negativni diskriminant vodi do dveh kompleksnih korenov x1 in x 2.
Vietin izrek ali nekatere lastnosti korenin enačb drugega reda
Ob koncu 16. stoletja je eden od utemeljiteljev sodobne algebre, Francois Francois Viet, ki je preučeval enačbe drugega reda, uspel pridobiti lastnosti njenih korenin. Matematično jih lahko zapišemo takole:
x1 + x2=-b / a in x1 x 2=c / a.
Obe enakosti zlahka dobi vsak, za to je potrebno izvesti le ustrezne matematične operacije s koreninami, pridobljenimi s formulo z diskriminanto.
Kombinacijo teh dveh izrazov lahko upravičeno imenujemo druga formula korenov kvadratne enačbe, ki omogoča ugibanje njenih rešitev brez uporabe diskriminanta. Pri tem je treba opozoriti, da čeprav sta oba izraza vedno veljavna, ju je priročno uporabiti za reševanje enačbe le, če jo je mogoče faktorizirati.
Naloga utrjevanja pridobljenega znanja
Rešimo matematični problem, v katerem bomo prikazali vse tehnike, obravnavane v članku. Pogoji težave so naslednji: najti morate dve števili, za katera je zmnožek -13, vsota pa 4.
Ta pogoj takoj spomni na Vietin izrek, pri čemer uporabimo formule za vsoto kvadratnih korenov in njihov produkt, zapišemo:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Ob predpostavki, da je a=1, potem je b=-4 in c=-13. Ti koeficienti nam omogočajo, da zapišemo enačbo drugega reda:
x2 - 4x - 13=0.
Uporabimo formulo z diskriminanto, dobimo naslednje korenine:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
To pomeni, da je bila naloga zmanjšana na iskanje števila √68. Upoštevajte, da je 68=417, nato pa z uporabo lastnosti kvadratnega korena dobimo: √68=2√17.
Zdaj uporabimo veljavno formulo kvadratnega korena: a0=4, nato:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Ni treba izračunati a3, ker se najdene vrednosti razlikujejo le za 0,02. Tako je √68=8,246. Če ga nadomestimo v formulo za x 1, 2, dobimo:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 in x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Kot vidite, je vsota najdenih številk res 4, a če najdete njihov produkt, bo enaka -12,999, ki izpolnjuje pogoj problema z natančnostjo 0,001.
