Svet je urejen tako, da je rešitev velikega števila problemov odvisna od iskanja korenin kvadratne enačbe. Korenine enačb so pomembne za opis različnih vzorcev. To so vedeli celo geodeti starodavnega Babilona. Takšne probleme so bili prisiljeni reševati tudi astronomi in inženirji. V 6. stoletju našega štetja je indijski znanstvenik Aryabhata razvil osnove za iskanje korenin kvadratne enačbe. Formule so bile dokončane v 19. stoletju.
Splošni koncepti
Vabimo vas, da se seznanite z osnovnimi zakonitostmi kvadratnih enakosti. Na splošno lahko enakost zapišemo na naslednji način:
ax2 + bx + c=0, Število korenov kvadratne enačbe je lahko enako enemu ali dvema. Hitro analizo je mogoče narediti s konceptom diskriminanta:
D=b2 - 4ac
Odvisno od izračunane vrednosti dobimo:
- Ko D > 0 obstajata dve različni koreni. Splošna formula za določanje korenin kvadratne enačbe je videti kot (-b± √D) / (2a).
- D=0, v tem primeru je koren ena in ustreza vrednosti x=-b / (2a)
- D < 0, za negativno vrednost diskriminante ni rešitve enačbe.
Opomba: če je diskriminanta negativna, enačba nima korenin le v območju realnih števil. Če je algebra razširjena na koncept kompleksnih korenin, ima enačba rešitev.
Podajmo verigo dejanj, ki potrjuje formulo za iskanje korenin.
Iz splošne oblike enačbe sledi:
ax2 + bx=-c
Pomnožimo desni in levi del s 4a in dodamo b2, dobimo
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Pretvorite levo stran v kvadrat polinoma (2ax + b)2. Izvlečemo kvadratni koren obeh stranic enačbe 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), prenesemo koeficient b na desno stran, dobimo:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Od tu sledi:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Kaj je bilo potrebno za prikaz.
posebni primer
V nekaterih primerih je rešitev problema mogoče poenostaviti. Torej, za sodi koeficient b dobimo enostavnejšo formulo.
Označimo k=1/2b, potem ima formula splošne oblike korenov kvadratne enačbe obliko:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Ko je D=0, dobimo x=-k / a
Drug poseben primer je rešitev enačbe z a=1.
Za obliko x2 + bx + c=0 bodo koreni x=-k ± √(k2 - c) z diskriminanco večjo od 0. V primeru, ko je D=0, bo koren določen s preprosto formulo: x=-k.
Uporabi karte
Vsak človek, ne da bi se tega zavedal, se nenehno sooča s fizičnimi, kemičnimi, biološkimi in celo družbenimi pojavi, ki jih dobro opisuje kvadratna funkcija.
Opomba: krivulja, zgrajena na podlagi kvadratne funkcije, se imenuje parabola.
Tu je nekaj primerov.
- Pri izračunu poti izstrelka se uporabi lastnost gibanja vzdolž parabole telesa, izstreljenega pod kotom proti obzorju.
- Lastnost parabole, da enakomerno porazdeli obremenitev, se pogosto uporablja v arhitekturi.
Razumemo pomen parabolične funkcije, ugotovimo, kako uporabiti graf za raziskovanje njegovih lastnosti z uporabo konceptov "diskriminanta" in "korenine kvadratne enačbe".
Odvisno od vrednosti koeficientov a in b je na voljo le šest možnosti za položaj krivulje:
- Diskriminanta je pozitivna, a in b imata različna predznaka. Veje parabole gledajo navzgor, kvadratna enačba ima dve rešitvi.
- Diskriminanta in koeficient b sta enaka nič, koeficient a je večji od nič. Graf je v pozitivnem območju, enačba ima 1 koren.
- Diskriminanta in vsi koeficienti so pozitivni. Kvadratna enačba nima rešitve.
- Diskriminanta in koeficient a sta negativna, b je večji od nič. Veje grafa so usmerjene navzdol, enačba ima dva korena.
- Diskriminantno inkoeficient b enak nič, koeficient a je negativen. Parabola gleda navzdol, enačba ima en koren.
- Vrednosti diskriminante in vseh koeficientov so negativne. Rešitev ni, vrednosti funkcije so popolnoma v negativnem območju.
Opomba: možnost a=0 se ne upošteva, saj se v tem primeru parabola izrodi v ravno črto.
Vse zgoraj je dobro prikazano na spodnji sliki.
Primeri reševanja problemov
Pogoj: z uporabo splošnih lastnosti naredite kvadratno enačbo, katere korenine so med seboj enake.
Rešitev:
glede na pogoj problema x1 =x2 ali -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Poenostavitev zapisa:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, odprite oklepaje in podajte podobne izraze. Enačba postane 2√(b2 - 4ac)=0. Ta trditev velja, ko je b2 - 4ac=0, torej b 2=4ac, potem se vrednost b=2√(ac) nadomesti v enačbo
ax2 + 2√(ac)x + c=0, v zmanjšani obliki dobimo x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Odgovor:
za a, ki ni enak 0 in kateri koli c, obstaja samo ena rešitev, če je b=2√(c / a).
Kvadrične enačbe so kljub svoji preprostosti velikega pomena pri inženirskih izračunih. Skoraj vsak fizični proces je mogoče opisati z nekaterimi približkifunkcije moči reda n. Kvadratna enačba bo prvi tak približek.
