Vsi smo v šoli pri pouku algebre študirali aritmetične kvadratne korene. Zgodi se, da če se znanje ne osveži, se hitro pozabi, enako s koreninami. Ta članek bo koristen osmošolcem, ki želijo osvežiti svoje znanje na tem področju, in ostalim šolarjem, saj delamo s koreninami v 9., 10. in 11. razredu.
Zgodovina korena in stopnje
Tudi v starih časih in še posebej v starem Egiptu so ljudje potrebovali stopnje za izvajanje operacij s številkami. Ko tega pojma ni bilo, so Egipčani dvajsetkrat zapisali zmnožek istega števila. Toda kmalu je bila izumljena rešitev problema - v zgornjem desnem kotu nad njo je začelo pisati, kolikokrat je treba število pomnožiti samo s seboj, in ta oblika zapisa se je ohranila do danes.
Zgodovina kvadratnega korena se je začela pred približno 500 leti. Označeno je bilo na različne načine in šele v sedemnajstem stoletju je Rene Descartes uvedel tak znak, ki ga uporabljamo še danes.
Kaj je kvadratni koren
Začnimo z razlago, kaj je kvadratni koren. Kvadratni koren nekega števila c je nenegativno število, ki bo, če je na kvadrat, enako c. V tem primeru je c večji ali enak nič.
Če želimo številko spraviti pod koren, jo kvadriramo in čeznjo postavimo korenski znak:
32=9, 3=√9
Prav tako ne moremo dobiti vrednosti kvadratnega korena negativnega števila, saj je vsako število v kvadratu pozitivno, to je:
c2 ≧ 0, če je √c negativno število, potem c2 < 0 - v nasprotju s pravilom.
Če želite hitro izračunati kvadratne korene, morate poznati tabelo kvadratov števil.
Lastnosti
Upoštevajmo algebraične lastnosti kvadratnega korena.
1) Če želite izvleči kvadratni koren produkta, morate vzeti koren vsakega faktorja. To pomeni, da ga lahko zapišemo kot produkt korenin faktorjev:
√ac=√a × √c, na primer:
√36=√4 × √9
2) Pri izločanju korena iz ulomka je treba koren izločiti ločeno od števca in imenovalca, torej ga zapisati kot količnik njihovih korenov.
3) Vrednost, pridobljena s kvadratnim korenom števila, je vedno enaka modulu tega števila, saj je modul lahko samo pozitiven:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Če želimo dvigniti koren na katero koli potenco, dvignemo nanjoradikalni izraz:
(√с)4=√с4, na primer:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Kvadrat aritmetičnega korena od c je enak tej številki:
(√s)2=s.
Korenine iracionalnih števil
Recimo, da je koren iz šestnajstih preprost, toda kako vzeti koren števil, kot so 7, 10, 11?
Število, katerega koren je neskončen neperiodični ulomek, se imenuje iracionalno. Korenine iz nje ne moremo izluščiti sami. Lahko ga primerjamo le z drugimi številkami. Na primer, vzemite koren iz 5 in ga primerjajte z √4 in √9. Jasno je, da je √4 < √5 < √9, nato 2 < √5 < 3. To pomeni, da je vrednost korena iz petih nekje med dvema in tremi, vendar je med njimi veliko decimalnih ulomkov in izbiranje vsakega je dvomljiv način iskanja korena.
To operacijo lahko izvedete na kalkulatorju - to je najlažji in najhitrejši način, vendar vam v 8. razredu nikoli ne bo treba izluščiti iracionalnih števil iz aritmetičnega kvadratnega korena. Zapomniti si morate le približne vrednosti korena dveh in korena treh:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Primeri
Zdaj bomo na podlagi lastnosti kvadratnega korena rešili več primerov:
1) √172 - 82
Zapomni si formulo za razliko kvadratov:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Poznamo lastnost kvadratnega aritmetičnega korena - če želite izvleči koren iz produkta, ga morate izvleči iz vsakega faktorja:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Uporabi drugo lastnost korena - kvadrat aritmetičnega korena števila je enak temu številu:
2 × 3 + 6=12
Pomembno! Pogosto učenci, ko začnejo delati in reševati primere z aritmetičnimi kvadratnimi koreni, naredijo naslednjo napako:
√12 + 3=√12 + √3 - tega ne morete storiti!
Ne moremo vzeti korenine vsakega izraza. Takšnega pravila ni, vendar se zamenjuje z jemanjem korena vsakega dejavnika. Če bi imeli ta vnos:
√12 × 3, potem bi bilo pošteno napisati √12 × 3=√12 × √3.
In tako lahko pišemo samo:
√12 + 3=√15
